Modèle de concours d'entrée au College of Computing de l'UM6P 2026 — Épreuves : QCM et épreuve de rédaction (mathématiques)

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

Concours d’entrée au College of Computing
QUESTIONNAIRE À CHOIX MULTIPLES
8 Juillet 2026
= 2 College of
20 Computing
Instructions :
1. L'épreuve dure 1h30 et comporte 6 pages.
2. L'épreuve est composée de 25 questions à choix multiples (QCM).
3. Les calculatrices et les téléphones sont interdits.
4. Les questions sont indépendantes.
5. Le choix de réponse est unique, cocher la bonne réponse.
6. Certaines réponses ne demandent que des arguments de bon sens; d’autres réponses exigent
des calculs faits à part. Du papier de brouillon est fourni pour ces calculs.
7. Une feuille réponse vous sera fournie séparément. Vous n'avez droit qu’à une seule feuille,
alors veillez à bien réfléchir avant d’y inscrire vos réponses. Vous devez cocher à l’intérieur
des cases sans les dépasser.
Barême :
— Réponse correcte : 1 point
— Réponse fausse : -0,5 point
— Non-réponse : 0 point.
‎Bon courage !‏
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- 2026
College of Computing - UM6P QCM
HA RAA EREÉEEREE DÉBUT DE L'ÉPREUVE PPT TITI ‏ال‎
‎RS ‏ممم‎ RE
: culer la limite suivante : lim,_0 AT -VIFR
MES mes à
2. On définit la suite (u,) par : ‏من‎ = 1 et, pour tout entier naturel n : u5+1 = cs Si la suite
converge vers une limite £, alors € vaut :
BEL
© V3-1
D. —-1+V7
3. Soit la fonction f définie sur R par : f(r) = re-*, Le maximum de f sur R est :
4. Soit z 6 ©, avec z ‏مك‎ —1, tel que || = 1. On pose w — = = . Alors w est toujours :
A. un nombre réel
B. un nombre imaginaire pur
C. un nombre complexe de module 1
D. un nombre complexe dont la partie réelle vaut 1
3h) — f(4
5. Si f est dérivable en 0, alors lim,» JER - ( 2 7 JR) =
A. f'(0)
B. 2/)0(
C. 3f'(0)
D. N'est pas définie
e 0 1
6. On considère À = | _; ن١‎ Que vaut 42757?
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College of Computing - UM6P QCM - 2029
7. On admet que 2027 est un nombre premier. Quel est le reste de la division euclidienne de
12026 + 22026 4 370% ‏...ب‎ + 2026208 + 2027207
par 2027?
C. 2025
D. 2026
8. Soit f la fonction définie par f(x) = In(e# — e*) et D son ensemble de définition. Alors :
A. La fonction f garde un signe constant sur D
B. lim f(x) =0
© lim, (8) = +00
D. Pour tout ‏ع‎ € D, la courbe représentative de f est au-dessus de la droite d’équation y = ‏ع‎
‎9. Pour n € N°, quelle est la valeur de ‏وي‎ = > 2 ?
A. 2-2
C. V2
10. Soit E un ensemble de cardinal n € N° et À une partie de cardinal
: ٍ © 10:1 de E.
Combien y a-t-il de parties de E qui contiennent A? ‏سس 84م‎
‏ثاب‎
‎11. Soit f : R —+ R une fonction continue vérifiant Vz,y € R, f(x +y) = f(x
Alors f est nécessairement : (5) JG), avec f(0) # 0.
A. Un polynôme
B. Une fonction affine
C. De la forme f(x) = ‏“ا‎ pour un certain a € R
D. Une fonction périodique
12. Soit la fonction réelle f définie par f(x) = x! — 43 + 4x? + 23, Alors :
A. f admet un minimum local en 1
B. f n'admet ni maximum local ni minimum local
C. 1est un point d’inflexion de /
D. f admet un maximum local en 1
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College of Computing - 1677 QCM - 2026
mme GO
13. On définit la suite (u,) par
Un = 12 + 1/2 + 1/24
‏ريا‎
‎n radicaux imbriqués
La limite de (u,) quand n — +00 est :
A. V3
B. 1+V2
C. V5
14. Soit la fonction réelle f définie par f(x) = x° + ‏.تم‎ Alors /-1 est dérivable sur ]0,+oo[ et
15. Une urne contient 5 boules rouges, 4 boules bleues et 3 boules vertes. On tire simultanément
4 boules de l’urne. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement 2 boules rouges et au moins
une boule bleue ?
0 El
D. 55
16. On considère l'équation 18« + 30y — 1260, où x et y sont des entiers naturels. Combien cette
équation admet-elle de solutions (x, y) dans N°?
A. 15
B. 18
GC: 21
D. 70
17. Soit f la solution de l’équation différentielle f'(x) — f(x) = 2e* vérifiant (0) = 0. La valeur de
Î OT
est :
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18. On se place dans l’espace vectoriel MB(R) des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On
considère l’ensemble
E = b a — b ' LL 4
On pose
1 0 3 1
af). 8=( à)
Soit F le sous-espace vectoriel formé par toutes les combinaisons linéaires de À et B, c'est-à-dire
F={\A+uB; (A u)e R?}. La dimension de EN F est :
19. On définit la suite (u,,) par
06 = 0, et VnEN, un = In (3 + 2e" ) 1
La limite
lim (u, — nln2)
n—++00
est égale à :
A. In3
B. In4
GC. 5
20. Dans M(R), on définit une loi + par
AxB=A+B + AB.
On considère la matrice
4m k 3 !
On admet que À possède un symétrique ‏ي‎ pour la loi x. La somme des coefficients de la matrice
S est :
D. 73
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21. On rappelle que la partie entière d’un réel a, notée {a}, est le plus grand entier inférieur ou égal
à a. Soit l'équation (£;) : [2x] = x
A. (Ei) a les mêmes solutions que [2x] — {r]
B. x solution de (Æ;) implique 2x - 1 > x < 2r
C. ‏(ه)‎ admet une infinité de solutions
D. x solution de (E;) implique x € N
22. Soit ‏(ملا)‎ une suite réelle strictement positive telle que lim, Eee 1,
Quelle condition est suffisante pour affirmer que 8
lim ‏خخ‎ 17
n00 un
A. (u,) est minorée
B. (u,) est décroissante
C. (u,) est périodique
D. (u,) est majorée
23. On pose, pour tout entier n > 1, I, = F z"In(1 + x) dr. La limite
In 2
. 2 ‏بت‎
‏م “متنا‎ +1
est égale à :
A. — 1 1
© À -In2
D. nu"
24. On lance n fois, avec n > 2, une pièce de monnaie équilibrée. Soient les événements À : “on
obtient au plus une fois face” et B : “on obtient au moins une fois face et au moins une fois
pile”. On note À l'événement complémentaire de À.
A. Quel que soit n > 2, P(A) = (4)"+n (0
B. Quel que soit n < 2, P(ANB)=n ‏)م‎
C. Quel que soit n > 2, P(B) = 1- (})""
D. À est l'événement : “on obtient au moins une fois face”
25. Deux dames partirent à l'aube et marchaïent chacune À vitesse constante. L'une allait de A à
B, et l'autre de B à A. Elle se rencontrèrent à midi, et continuant sans s'arrêter, la première
arriva en B à 16h, et la seconde en À à 21h. A quelle heure était l'aube ce jour-là ?
A. 4h
13. 5h
C. 5h30
D. 6h
CÉLLELLELLLEL LL LILI LL.) FIN DE L'ÉPREUVE ‏*++++++*+<**د+د+++**+++*+*+**‎
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Concours d’entrée au College of Computing
ÉPREUVE DE RÉDACTION
8 Juillet 2026
‏مع م قاقاهاه‎
NE PAS TOURNER LA PAGE AVANT LE
SIGNAL DE DEPART
Instructions :
1. L'épreuve dure 1h30.
2. Inscrivez votre nom complet au bas de cette page.
3. L'énoncé entier de l'épreuve est en page 2.
4. Les questions sont reproduites à l'identique sur les pages 3 à 10, avec des espaces réponse
dédiés. Veuillez inscrire vos réponses dans l’espace alloué à chaque question.
5. L'espace réponse est standardisé. Il n’est en aucun cas indicateur de la longueur de la
réponse attendue.
un [un | rw |
‏كول ادا‎
mess | s |
‏ل‎ ls À
1701711 COMMISE ‏لمم واه ويه اماه توا اا د لمم وو‎
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College ‏زه‎ Computing - 17 Épreuve de rédaction - 2026
Exercice 1. Pour un entier n, on note par a(n) la somme de tous les diviseurs de n (diviseur n
inclus). n est dit parfait si et seulement si o(n) = 2n. A titre d'exemple, 6 est un nombre parfait car
o(6)=1+2+3+6=2%X6.
1. /5points] Soit ‏م‎ > 2 un entier tel que 2° — 1 est un nombre premier. Montrer que
n = 20-1)2” -1)
est un nombre parfait.
2. /5points] Soit p un nombre premier et k > 1 un entier naturel. Montrer que n = ‏“م‎ ne peut pas
être un nombre parfait (vous pouvez raisonner par l'absurde).
3. [5points] Soit n un nombre parfait pair, On écrit n = 2° :m avec m impair et s > 1. Montrer
que :
a(m ) = 1-4 :
Indication : Si a et b sont deux entiers premiers entre eux, trouver ‏(قم)ه‎ en fonction de a(a)
et a(b).
Exercice 2. Soit P(x) = ‏مه‎ + air + + ar", avec n € N° et a, Z 0, un polynôme à coefficients
réels, non constant, tel que P(x) > 0 pour tout x € R. On appelle racine réelle de P tout réel a tel
que P(a) = 0. On dit qu'une racine réelle a est de multiplicité m si l'on peut écrire
P(x) = (x —a)"Q(x),
où Q est un polynôme vérifiant Q(a) # 0. Autrement dit, (r—a)" est un facteur de P, mais (r—a)"*1
ne l'est pas.
1. /5points] Montrer que a, > 0, et que toute racine réelle de P est de multiplicité paire.
Exercice 3. Pour tout entier n > 1, on considère l'équation
‎1. /5points/ Montrer que l'équation (E,) admet une unique solution dans [0,1]. On la note ‏ملا‎
‎Montrer ensuite que la suite (u,) est croissante, puis en déduire que
lim u, = 1.
‏بو‎ +00
2. [5points] Montrer que
lim n(1-—u,) = +00.
n—++00
Indication : on pourra d’abord justifier que ‏مهل‎ u = 0, puis raisonner par l'absurde.
3. [5points| On pose v, = n(1 - u,). On admet l'inégalité suivante, valable pour tout t € [0,1[ :
<— —t) > ‏.سس‎
‎t<—-In(1-t) > 7
Montrer que
Un\" Un
‏جام‎
En déduire que
‏لم - 11 ملام‎ 7
Exercice 4. /5points] Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4.
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