Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2014 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle préparatoire organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) (2014), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc)
- Grade
- 1ère année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2014
- Pages
- 4
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire — Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc), session août 2014. Document officiel publié sur ensa-tetouan.ac.ma (copie archivée), 4 page(s). Sans corrigé.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
0 7آإ<7<7[رتتٌتتققققحححدتللتؤ([لفخألظت_تكتقى َّت حت[حتتقضطت_ضطط“« دك كًرننختننخن_ّطتأتطظتضكطت_كلأأطلأأخكت“56َضاََاَطَ[آقئطناتطتأطططالسعتتقفقختتلسسجبلبستصالللللللم a 17 ققأأ.أأأأأأأقأقأأ 7/77 لجم GENSA 8 mue Concours “كص وفك année des ENSA Maroc Août 2014 Epreuve de Mathématiques Durée :1H30 min Exercice 1 : | Soit u, et ”, les suites réelles définies par : | Un Entre U=a,Vo=hB avec 0> » > 8 et VneN: ” م تَ 71 | Va وك | On pose : Xn = et Yn = Un- Un Qu. La suite (xh) : | A) Converge vers : pe | Converge vers 1 © Converge vers 0 D) Diverge | 02. La suite (y) : A) Converge vers ه — B B) Converge vers +ع B | C) Converge vers 0 D) Diverge Q3. La suite (u,): A) Converge vers & B) Converge vers B C) Converge vers 0 D) Diverge Q4. La suite (1): A) Converge vers & — م B) Converge vers B — a C) Converge vers B D) Diverge Q5. Soit ق un élément de 10,1] lim [le +62) = n +00 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ممع يله ميسو © لم ججح AN OO) 0 sa 3 Exercice 2 : | Calculer les intégrales suivantes: : | 0 غ Q6. [et cos2t dt= ١ اكد سس PT CSS - - - اسه ]ل - 0|008 er ee [D | | حي( زعا Q7. j, e‘cos?t dt = | 4(eT+1) 3)67-1( +2 | م | 71ج ET | يح (ح AS un pp ب DORE | Exercice EE Soit f une fonction continue sur [a, bjettelleque: Vxe [a, b}, f(a+b—x) = f (x). | Q8. L'intégrale 0 | Î t f(t)dt = | | 0 ل b b PS D | a+b a—b a | b | oSfroa | [ro | | سما نطو مر | + 5 a a (24 | a Qo. L'intégrale 0 0 | سن sint 1 | Î 3rcos | 7 7 7 أ L'intégrale .مد مدن t sint 1 | 3+cos2t El ا A) —= se, نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com NL A وسح سوسس تتح دم ددج 777777777777777[ مم ]ممم م7 EE 48 مسو de مومع TA اوت حسم سا ري ? EYE 3ه | Exercice 4 © اال ال 000 | و و أ TT 3 l41V5+54V3 V54V3-41V5 On note a = IT, b = = —— et A=a+b. V3 V3 | Que Le produit مه vaut 0 0 00333333303030٠ مسمسسسسييه AE | B) ? |[t£ D) 1 | .عمو 1 est solution de l'équation را x—7x—36=0 TB) x°+7x-21=0 |0(«*3-7«-0 D)x3-7x-35=0 D RS بسسسمويسب سيب | .3د La valeur de 1 est alors | A) nulle B) un réel pair | C) un réel impair [D)à 54. | RE د ا د ١١١ | Un candidat se présentant à un concours, doit répondre d'une manière successive à une série de | questions .مو لم9) L'épreuve est présentée en ligne et autre que Q, l'accès à Q, n'est possible que si le | candidat donne une réponse à لمع On admet que: | + 1 probabilité de donner une bonne réponse à Q, est 0,1. e pour n >; ° _sile candidat donne une bonne réponse ممع la probabilité de donner une bonne réponse à Q, est 0,8. * sie candidat donne une mauvaise réponse à سم la probabilité de donner une bonne réponse à Q, est 0,6. On note pour tout entier naturel n non nul, B, l'évènement "L'étudiant donne une bonne réponse à la question Q," et P, la probabilité de B, | 914. La valeur de P2 est : À) 0,52 B) 0,59 C) 0,54 , D) 0,62 .كدو L'étudiant a répondu correctement à la deuxième question, la probabilité qu'il ait donné une : ض mauvaise réponse à la première vaut 27 21 27 21 916. La probabilité que le candidat ait au moins une bonne réponse aux trois premières questions est A) 0,856 B) 0,865 C) 0,685 D) 0,585 wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو A سمس تك“ 5 Royoume du عومد Gens __ وجح ا pol 00 8 me Exercice 6: Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal direct (0,1, j); unité graphique 1em. Soit A le point d'affixe 31. On appelle f l'application qui, à tout point M d'affixe z, distinct de À, associe le point M' d'affixe z' définie par | , ذ 32-7 2 20 On dit que M est invariant si M=M'. Q17. f admet deux points invariants B et C et on note و2 et ze les affixes respectives. Montrer que la somme des parties imaginaires de z4 et Zç vaut On admet que B et C sont tels que |im(z8)| > lim(zc)| et on appelle ع le cercle de diamètre [BC]. Soit M un point quelconque de £ différent de B et de C et M' son image par f .قر Il existe un réel @ tel que l'affixe 2 de M s'écrit A) 3i— 4ei® C) 3i + 8 D) 3i + 8 Q19. Il existe un réel © tel que l'affixe 2 de M' s'écrit A) 3: - 8 B) —3i + 8 | ©( -3:- 4-8 D) 3: + 4-8 | 020. Le point M' À) est à l'intérieur du cercle | B) est à l'extérieur C) appartient au D) est le centre du cercle £ du cercle € cercle € ع | wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1re année des ENSA Maroc, session d'août 2014. Durée : 1 h 30. Elle comporte 6 exercices découpés en 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : suites, intégrales, racines cubiques, probabilités conditionnelles et nombres complexes. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.
💡 Méthode : dans un exercice découpé en plusieurs QCM, chaque réponse sert à la suivante (ici xn et yn donnent directement un et vn). Vérifiez la cohérence de vos réponses entre elles : c'est un contrôle gratuit.
Exercice 1 — Suites un+1 = un²/(un+vn), vn+1 = vn²/(un+vn)
- Q1 → C) converge vers 0. xn+1 = un+1/vn+1 = (un/vn)² = xn², donc xn = (α/β)2n avec 0 < α/β < 1 : xn → 0.
- Q2 → A) converge vers α − β. yn+1 = (un² − vn²)/(un + vn) = un − vn = yn : la suite est constante, égale à y0 = α − β.
- Q3 → C) converge vers 0. un = xnvn et un − vn = α − β donnent vn = (β − α)/(1 − xn) et un = xn(β − α)/(1 − xn) → 0.
- Q4 → B) converge vers β − α. vn = (β − α)/(1 − xn) → β − α.
- Q5 → C) 1/(1 − δ). On multiplie par (1 − δ) : (1 − δ)(1 + δ)(1 + δ²)…(1 + δ2n) = 1 − δ2n+1 (identités remarquables en cascade). Le produit vaut (1 − δ2n+1)/(1 − δ) → 1/(1 − δ).
Exercice 2 — Intégrales
- Q6 → D) (eπ − 1)/5. Une primitive de etcos 2t est et(cos 2t + 2 sin 2t)/5 (deux intégrations par parties ou partie réelle de e(1+2i)t/(1+2i)). Entre 0 et π : (eπ − 1)/5.
- Q7 → C) 3(eπ − 1)/5. cos²t = (1 + cos 2t)/2 : ½(eπ − 1) + ½·(eπ − 1)/5 = (eπ − 1)(1/2 + 1/10) = 3(eπ − 1)/5.
Exercice 3 — f(a + b − x) = f(x)
- Q8 → A) ((a + b)/2)∫f(t)dt. Changement t = a + b − u : I = ∫(a + b − u)f(u)du = (a + b)∫f − I, d'où 2I = (a + b)∫abf(t)dt.
- Q9 → B) π/(3√3). u = cos t : ∫−11 du/(3 + u²) = (2/√3)·arctan(1/√3) = (2/√3)(π/6) = π/(3√3).
- Q10 → B) π²/(6√3). f(t) = sin t/(3 + cos²t) vérifie f(π − t) = f(t) sur [0, π] ; d'après Q8 : ∫t·f(t)dt = (π/2) × π/(3√3) = π²/(6√3).
Exercice 4 — a = ∛(41√5 + 54√3)/√3, b = ∛(54√3 − 41√5)/√3
- Q11 → C) 7/3. a³b³ = (54√3 + 41√5)(54√3 − 41√5)/(√3)⁶ = (54²×3 − 41²×5)/27 = (8748 − 8405)/27 = 343/27, donc ab = 7/3.
- Q12 → A) x³ − 7x − 36 = 0. λ³ = a³ + b³ + 3ab(a + b). Or a³ + b³ = 108√3/(3√3) = 36 et 3ab = 7 : λ³ = 36 + 7λ.
- Q13 → B) un réel pair. 4 est racine (64 − 28 − 36 = 0) et x³ − 7x − 36 = (x − 4)(x² + 4x + 9), dont le second facteur n'a pas de racine réelle (Δ = −20). Donc λ = 4 (ce qui exclut aussi D, λ > 4).
Exercice 5 — Questions en ligne (probabilités)
- Q14 → D) 0,62. Probabilités totales : P2 = 0,1 × 0,8 + 0,9 × 0,6 = 0,08 + 0,54 = 0,62.
- Q15 → C) 27/31. Bayes : P(non B1 | B2) = 0,54/0,62 = 27/31.
- Q16 → A) 0,856. Événement contraire « trois mauvaises réponses » : 0,9 × 0,4 × 0,4 = 0,144 (après une mauvaise réponse, la suivante est mauvaise avec probabilité 0,4). Réponse : 1 − 0,144 = 0,856.
Exercice 6 — z' = (3iz − 7)/(z − 3i)
- Q17 → B) 6. z = z' ⇔ z² − 3iz = 3iz − 7 ⇔ z² − 6iz + 7 = 0. Δ = −36 − 28 = −64 = (8i)², d'où z = 7i ou z = −i. Somme des parties imaginaires : 7 − 1 = 6.
- Q18 → D) 3i + 4eiθ. zB = 7i et zC = −i : le cercle de diamètre [BC] a pour centre le milieu 3i (le point A) et pour rayon 4, d'où z = 3i + 4eiθ. (Les écritures A et C décrivent le même cercle en remplaçant θ par θ + π ou −θ ; D est la forme canonique attendue, celle qui sert à Q19 ; B est fausse, centre −3i.)
- Q19 → A) 3i − 4e−iθ. z − 3i = 4eiθ et 3iz − 7 = 3i(3i + 4eiθ) − 7 = −16 + 12ieiθ. Donc z' = (−16 + 12ieiθ)/(4eiθ) = 3i − 4e−iθ.
- Q20 → C) appartient au cercle ℰ. |z' − 3i| = |−4e−iθ| = 4 : M' est à distance 4 du centre A(3i).
Grille des réponses
| Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | Q5 | Q6 | Q7 | Q8 | Q9 | Q10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C | A | C | B | C | D | C | A | B | B |
| Q11 | Q12 | Q13 | Q14 | Q15 | Q16 | Q17 | Q18 | Q19 | Q20 |
| C | A | B | D | C | A | B | D | A | C |
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (4 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par les Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc). Il concerne le grade : 1ère année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : août 2014. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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