Modèle de concours : CNC 2005 Physique I (MP) — Concours National Commun

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

— صفحة 1 —
ROYAUME DU MAROC

Ministère de l’Éducation Nationale, de l'Enseignement
Supérieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2005
École Hassania des Travaux Publics
EHTP

Concours National Commun
d’Admission aux

Grandes Écoles d’Ingénieurs ou Assimilées
Session 2005

ÉPREUVE DE PHYSIQUE I

Filière MP

Durée 4 heures

Cette épreuve comporte 6 pages au format À 4 en plus de cette page dc garde
L'usage de la calculatrice est autorisé

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 2 —
Champ magnétique et propriétés de la matière

On se propose dans ce problème d’étudier, à travers deux exemples différents, comment un champ
magnétostatique externe peut agir sur certaines propriétés de la matière. C’est ainsi que le problème
aborde d’abord l’action d’un champ magnétique sur les charges d’un faisceau électronique. Ensuite, on
s'intéresse à la modification du spectre d’émission d’un atome sous l’action d’un champ magnétique
extérieur. Toutes les questions du problème seront abordées dans le cadre de la théorie classique
non relativiste et non quantique. Dans toute cette étude, le référentiel du laboratoire sera considéré
comme galiléen.

Données utiles

. Charge élémentaire : e = 1,6 10-190

. Masse de l’électron : me = 9,1 1073 kg.

. Perméabilité magnétique du vide : po = 4x 10-7770171
. Célérité de la lumière dans le vide : c = 3 1001.8

1°7€ partie :
Faisceau électronique

Un électron, d’un faisceau électronique, de masse me et de charge ‏و‎ = —e est animé d’un
mouvement rectiligne uniforme à la vitesse ‏.و‎ À l’instant pris comme origine des temps t = 0,
il pénètre une région de l’espace où règne un champ magnétostatique uniforme B = Bü,. On
suppose que la vitesse initiale ‏و7‎ n’a pas de composante non nulle suivant la direction du
champ magnétostatique B. On négligera le poids de l’électron.

1.1 Nature de la trajectoire et application

1.1.1 Ecrire le théorème de la résultante cinétique pour l’électron considéré.

1.1.2 En projetant l’équation obtenue, d’abord sur la direction du champ magnétique, puis ensuite
sur le vecteur vitesse instantanée, montrer que la trajectoire de l’électron est plane et que le
module de la vitesse de l’électron reste constant au cours du mouvement.

1.1.3 Quelle est la nature de la trajectoire de l’électron ? La dessiner en l’orientant relativement au
champ magnétique B

1.1.4 Montrer que la période 7 du mouvement de l’électron s’exprime simplement en fonction de la
pulsation cyclotron définie par :

— 45

1.1.5 Calculer numériquement T dans le cas d’un électron plongé dans un champ magnétique B =
51031

1.1.6 L'’électron, initialement émis avec une vitesse négligeable, est accéléré sous une différence de
potentiel AV = 10 kV. Il décrit une trajectoire circulaire de diamètre D = 13,4 cm dans la
région de l’espace où règne un champ magnétostatique de module B = 5 10-37. Exprimer
la charge spécifique de l’électron donnée par le rapport e/me en fonction de B, D et AV.
Commenter le résultat numérique obtenu et préciser les éventuelles sources d'incertitude.

1/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 3 —
1.1.7 Comment mesure-t-on la charge électrique de l’électron ?

1.1.8 Vérifier à l’aide d’un calcul numérique, que le poids de l’électron est effectivement négligeable
devant la force de LORENTZ.

1.1.9 Sans faire de caleul supplémentaire, dessiner la trajectoire de l’électron dans la région où règne
le champ magnétostatique B lorsque la vitesse initiale @ possède une composante non nulle
suivant l’axe Oz. Quelle est sa nature ?

1.2 Stabilité de la trajectoire électronique
On se propose d’étudier la stabilité de la trajectoire électronique circulaire initiale décrite dans
le plan z = 0. Pour cela on se place en coordonnées cylindriques (r, 0, z) d’axe Oz et on pose :

où w = qB/me. Les trois grandeurs algébriques e,(t), éa(t) et ‏اع‎ seront considérées comme
des infiniment petits de même ordre et nuls à t = 0. On rappelle l’expression de l'accélération
et en coordonnées cylindriques :

1.2.1 Ecrire le théorème de la résultante cinétique en projection sur les vecteurs de base ‏و بش‎ et
‏ولا‎ des coordonnées cylindriques.

1.2.2 En se limitant aux termes d’ordre un, montrer que la projection sur ü conduit à une relation
simple entre €,(t) et éo(t).

1.2.3 Montrer alors que la projection sur à, permet d’obtenir une équation différentielle de second
ordre vérifiée par e,(t).

1.2.4 Donner la solution e,(t) de l’équation différentielle précédente en tenant compte des conditions

initiales et en déduire éa(t). Le mouvement radiale suivant ‏لا‎ et le mouvement orthoradial
suivant di sont-ils stables ?

1.2.5 Qu'en est-il de la stabilité du mouvement axial suivant Oz ?

2ème partie :
Effet ZEEMAN

2.1 Théorème de Larmor
Considérons un électron atomique de masse me et de charge ‏و‎ = —e en mouvement orbital
autour du noyau supposé fixe dans le référentiel du laboratoire R. L’électron est soumis de la
part de son entourage à l’action d’un champ électrostatique ‏.كا‎

2.1.1 Exprimer l'accélération ag d’un tel électron relativement au référentiel R du laboratoire en
fonction de me, q et F.

2.1.2 L'électron est en plus soumis à l’action d’un champ magnétostatique uniforme B = Bi.
Exprimer son accélération à en fonction de me, q, Ë, B et de la vitesse 7 de l’électron par
rapport au référentiel du laboratoire.

2.1.3 On considère un référentiel R’ en rotation uniforme par rapport à R. On désigne par © le
vecteur rotation instantané de R’ par rapport à R et on note à ', (resp. ©") l’accélération (resp.
la vitesse) de l’électron relativement au référentiel R’. On rappelle les formules de composition
des vitesses et des accélérations :

2/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 4 —
7-7760» 7 (4)
‏اق‎ dû x PF x "9 xr)+ 20) x (5)

2.1.3.1 En utilisant les résultats précédents, exprimer à ’, en fonction de me, q, ‏.لط‎ B, À, 0 et 7
2.1.3.2 Montrer que par un choix judicieux de ®, l'accélération à ', de l’électron relativement au
référentiel R’ est donnée par :

C5 a ri
oo BX(BxF) (6)

+ و 71267

Un tel choix définit le référentiel de LARMOR relatif au champ magnétostatique B.
On se propose d’examiner l’ordre de grandeur des deux termes qui constituent le second membre
de (6). Pour cela on considère le cas simple de l’atome d’hydrogène.

2.1.3.3 Exprimer le champ électrostatique Ë créé par le noyau de l’atome d'hydrogène.

2.1.3.4 En déduire que le rapport ‏م‎ des deux termes du second membre de (6) peut être majoré

par :

10606 Me

Omaz = (7)

2.1.3.5 Compte tenu des ordres de grandeurs des dimensions atomiques (r = 107"Ÿm) et des champs

magnétostatiques qui peuvent être créés au laboratoire (B = 1T'), vérifier à l’aide d’un calcul
numérique, que ‏ممم‎ ›› 1. Montrer alors que :

md'=qgE (8)

2.1.4 En déduire le théorème de LARMOR : le mouvement électronique dans le référentiel de LAR-
MOR aprés établissement du champ magnétostatique B, est identique au mouvement existant
normalement en l’absence de champ magnétique dans le référentiel du laboratoire par rapport
auquel le référentiel de LARMOR est animé d’un mouvement de rotation uniforme de vecteur
rotation instantané © donné par :

51

2 me

2.2 Oscillateur harmonique spatial
Dans le cadre de la théorie classique de l’émission de la lumière par les atomes, l’électron est
élastiquement lié au noyau à l’aide de la seule force de rappel f,. donnée par :

fr = —Meuif (10)

2.2.1 Montrer que, dans le cas général, le mouvement est plan. Peut-il être rectiligne ? Dans quel
cas ? Par la suite on considérera le cas général.

2.2.2 Dans cette question, on se place dans le plan de la trajectoire. On note r et 0 les coordonnées
polaires de l’électron dans ce plan et @ le vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la trajec-
toire.

2.2.2.1 Exprimer la projection o sur à du moment cinétique de l’électron en fonction de me, r et 0.

3/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 5 —
2.2.2.2 Montrer que l'énergie mécanique de l’électron peut s’écrire sous la forme :
1

et exprimer Uer5(r) en fonction de me, wo, 9 et r.

2.2.2.3 Représenter graphiquement Ue;7(r) et en déduire la nature de la trajectoire de l’électron.
On montrera auparavant que l’énergie mécanique est une constante du mouvement.

2.2.2.4 La trajectoire peut-elle être circulaire ? Quel est son rayon dans ce cas ? Quelle est l’énergie
mécanique correspondante ?

2.2.3 Écrire le théorème de la résultante cinétique et en déduire l’expression du vecteur position F(t)
de l’électron en fonction de 7(0), 7(0), wo et t.

2.2.4 On s’intéresse au mouvement de l’électron le long de l’axe Oz.
2.2.4.1 Donner l’exf”ression de z(t) en fonction de z(0), 2)0(, we et t.

2.2.4.2 Montrer que la représentation complexe de la composante suivant l’axe Oz du déplacement
de l’électron peut s’écrire sous la forme :

et donner les expressions du module Z et de l’argument Ç en fonction de z(0), 2)0( et wo.

2.2.5 De même, la représentation complexe de la composante du déplacement de l’électron le long
de l’axe Ox peut s’écrire :

2.2.5.1 Montrer que l’on peut toujours écrire :

et exprimer A’ en fonction de À.

2.2.5.2 En déduire que la composante suivant Ox du mouvement de l’électron peut se décomposer en
un mouvement circulaire dans le sens direct(ou circulaire gauche) et un mouvement circulaire
dans le sens rétrograde (ou circulaire droit).

2.2.6 Montrer de même que la composante suivant Oy du mouvement de l’électron peut se décomposer
en un mouvement circulaire gauche et un mouvement circulaire droit. On prendra :

2.2.7 Plus généralement, considérons le mouvement de l’électron dans le plan perpendiculaire à l’axe
Oz décrit par :

20 = 200 + 70 (16)
2.2.7.1 Montrer que l’on peut écrire :
X(t) = R,(d, + tü,) exp —iwot + ‏ملنا وا‎ — iil,) exp —iwot (17)

et donner les expressions de R, et R, en fonction de A, B, œ et /.
2.2.7.2 Quelle est ainsi la nature du mouvement le plus général dans le plan xOy ?

4/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 6 —
2.3 Changements de fréquence dus à la rotation de Larmor
On se propose d'étudier l'influence d’un champ magnétostatique B = Bü, uniforme sur le
mouvement de l’électron atomique. L’étude précédente (2.2.) à montré que le mouvement le
plus général d’un tel électron peut être décomposé en :

- un mouvement rectiligne sinusoldal le long de l’axe Oz de pulsation wp ;

- deux mouvements circulaires l’un gauche, l’autre droit dans le plan perpendiculaire à l’axe
Oz de même pulsation wo.

Nous allons donc étudier l'influence du champ magnétostatique B = Bu. sur chacune des trois
composantes de ce mouvement.

2.3.1 Ecrire le théorème de la résultante cinétique relativement au référentiel du laboratoire, pour
l’électron atomique soumis à l’action du champ magnétostatique B.

2.3.2 Montrer que la composante suivant Oz du mouvement de l’électron n’est pas modifiée par
l’application du champ magnétostatique.

2.3.3 Donner les projections du théorème de la résultante cinétique selon Ox puis selon Oy.

2.3.4 Considérons maintenant la composante du mouvement circulaire dans le sens direct ou gauche.
D’après le théorème de LARMOR, en présence du champ magnétostatique, la trajectoire reste
circulaire. Elle est décrite à la pulsation ‏سب‎ dans le sens direct.

2.3.4.1 Donner sans démonstration les expressions de x(t) et y(t) pour un tel mouvement. Exprimer
alors ÿ(t) en fonction de x(t) et ‏دس‎

2.3.4.2 Montrer que ‏به‎ est solution de l’équation :

2 ‏اف‎
8

2.3.4.3 Donner un ordre de grandeur de wa dans le domaine visible ainsi que du rapport eB/me
pour un champ fort (B = 1 T). Commenter.

2.3.4.4 En déduire l’expression approchée du décalage en fréquence Av4 = (w4 — wa)/27.

Le résultat obtenu est-il en accord avec le théorème de LARMOR ? Expliquer.

2.3.5 Reprendre l’étude précédente pour la composante circulaire rétrograde de pulsation modifiée
w_ et déterminer l’expression approchée du décalage en fréquence correspondant Ay_ = (w_—
wo)/2. Comparer Av, et Av_. Expliquer comment le résultat obtenu est-il en accord avec le
théorème de LARMOR.

2.4 Conséquences sur les raies d’émission de l’atome
Selon la théorie classique du rayonnement ; lorsque l’électron oscille à la pulsation w, l’atome
acquiert un moment dipolaire électrique instantané ÿ{t) = —er(t). 11 rayonne alors à grande
distance une onde électromagnétique (€, b) donnée, au point M par :

+ + 21 ب
‎où k = = À et À = OM ; l’origine O étant prise au centre de l'atome.‏

2.4.1 On s’intéresse tout d’abord au mouvement de l’électron le long de l’axe Oz en l’absence de
tout champ magnétostatique extérieur.

2.4.1.1 Trouver l’expression de @ en coordonnées sphériques d’axe Oz. On prendra p(t) = po exp —iwt.

5/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏

— صفحة 7 —
2.4.1.2 Montrer que dans une direction d'observation À quelconque, le champ électrique rayonné
est proportionnel à la projection de ÿ'sur le plan perpendiculaire à À appelé plan d'observation
dans la suite. Quelle est la polarisation d’une telle onde ?

2.4.1.3 Que vaut le champ électromagnétique rayonné par un tel dipôle dans la direction de son
axe ? Dans une direction perpendiculaire à son axe ?

2.4.2 Montrer que, plus généralement, la polarisation du champ électrique rayonné à grande distance
par un dipôle oscillant quelconque, c’est-a-dire pas nécessairement rectiligne le long de Oz, est
celle du vecteur projection de son moment dipolaire instantané 7 sur le plan d’observation.

2.4.3 L'atome est soumis à l’action d’un champ magnétostatique B uniforme. On s'intéresse à
l'émission de lumière dans une direction À perpendiculaire à . 3 ou, ce qui revient au même,
dans un plan d’observation parallèle à B.

2.4.3.1 Montrer que, pour une raie donnée de fréquence initiale ‏وب‎ = wa/27 (en l'absence de B), la
lumière émise est constituée de trois radiations dont on donnera les fréquences.

2.4.3.2 Quelle est l’état et la direction de polarisation de chacune de ses trois raies 7 Proposer un
montage pratique pour vérifier l’état de polarisation de ces raies.

2.4.3.3 Quelles sont les intensités relatives de ces trois raies ?

2.4.4 On s’intéresse à présent à l’émission de lumière, sous le même champ magnétostatique, dans une
direction À parallèle à B ou, ce qui revient au même, dans un plan d’observation perpendiculaire

2.4.4.1 De combien de raies la lumière émise est-elle constituée ?

2.4.4.2 Déterminer l’état de polarisation et l'intensité relative des raies observées.

2.4.4.3 Proposer un montage pratique pour vérifier l’état de polarisation des ces raies.

2.4.5 On plonge une lampe à vapeur de cadmium dans un champ magnétostatique uniforme et on
sélectionne la radiation rouge de longueur d’onde ‏مل‎ = 643, 8 nm à l’aide d’un filtre interférentiel
adéquat de bande passante de largeur 10 nm. Dans une direction d'observation donnée, une
telle radiation se décompose par effet ZEEMAN en trois raies de longueurs d’onde voisines Ag,
Ao+AA et ‏نموا‎ La figure 1 donne les variations de À À en fonction du champ magnétostatique
appliqué.

20

Fig 1 : Variation de la longueur d’onde

: avec le champ magnétique.
15 S5sss2sss ‏دججدجح‎ =ssss À
‏ا 2 0 و‎
9
00 0,1 Fe 03 04 0,5 06

2.4.5.1 Exprimer = en fonction de B, ‏وما‎ e, me et Cp.

2.4.5.2 En déduire la valeur du rapport e/m.
2.4.5.3 Comment pourrait-on mesurer AA dans la pratique ?

fin de l’énoncé

6/6

نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو ‎wadifa-info.com‏