Modèle : Examen d'aptitude professionnelle pour l'accès au 1er grade des professeurs du secondaire collégial - didactique de la spécialité : mathématiques - session décembre 2022 — Ministère de l'Éducation nationale - CNEE

هذا النموذج هو الاختبار في ديداكتيك مادة التخصص – الرياضيات ضمن امتحان الكفاءة المهنية لولوج الدرجة الأولى من إطار أساتذة التعليم الثانوي الإعدادي، دورة دجنبر 2022 (المركز الوطني للتقويم والامتحانات). الصفحتان المتوفرتان هما 2 و3 من 3، وتضمّان المواضيع الثلاثة كاملة: الموضوع الأول (10 نقط)، الثاني (3 نقط)، الثالث (7 نقط). ما يلي تصحيح مقترح، والإحالات على «كتيب البرامج والتوجيهات التربوية الخاصة بمادة الرياضيات بسلك التعليم الثانوي الإعدادي (غشت 2009)» مأخوذة من الكتيب نفسه.

💡 قبل أن تبدأ: أسئلة الديداكتيك تُنقَّط على الدقة والتبرير: كل مكتسب أو امتداد تذكره اربطه بمستواه الدراسي، وكل إنشاء هندسي أرفقه بخطواته وبالخاصية التي تبرّره.

الموضوع الأول (10 نقط): درس الدائرة

1) أ) المستوى الدراسي

السنة الأولى من التعليم الثانوي الإعدادي. الصفحتان 28–29 من الكتيب تندرجان ضمن «برنامج الرياضيات بالسنة الأولى من التعليم الثانوي الإعدادي – الدورة الثانية»، والدرس مرقّم فيه 2.2 الدائرة داخل مجال الهندسة.

1) ب) موقع الدرس في المقرر السنوي

• يقع في الدورة الثانية، ضمن مجال الهندسة.
• في جدول التوزيع يأتي بعد فقرات: التماثل المركزي ومتوازي الأضلاع – الرباعيات الخاصة – متوازيان وقاطع (28 ساعة مجتمعة)، وقبل الموشور القائم والأسطوانة (8 ساعات).
• الغلاف الزمني المخصص له: 6 ساعات.
• ملاحظة: الكتيب ينص على أن فقرات كل دورة تُنجز «حسب ترتيب يُعدّ على الصعيد الجهوي»، فالترتيب الفعلي داخل الدورة قد يختلف من أكاديمية لأخرى.

2) ثلاثة مكتسبات قبلية ضرورية

• المسافة وواسط قطعة وخاصيته المميزة (كل نقطة من الواسط متساوية المسافة عن طرفي القطعة) – السنة الأولى، الدورة الأولى (فقرة التعامد).
• التعامد وإنشاء مستقيم عمودي على مستقيم من نقطة معلومة – لازم لإنشاء المماس (عمودي على الشعاع).
• المثلث: مجموع زواياه 180°، وخاصيات المثلث المتساوي الساقين – لازمة للبرهنة على أن المثلث المحاط بنصف دائرة قائم.
• (يمكن أيضاً ذكر: التماثل المركزي ومتوازي الأضلاع والمستطيل من الدورة نفسها، والاستئناس بالدائرة والبركار من التعليم الابتدائي.)

3) ثلاثة امتدادات للدرس

• السنة الأولى نفسها: الموشور القائم والأسطوانة (قاعدتا الأسطوانة قرصان، حساب المحيط والمساحة الجانبية).
• السنة الثانية إعدادي: فقرة «المثلث القائم الزاوية والدائرة»: الدائرة المحيطة بمثلث قائم، والخاصية المميزة للمثلث القائم المحاط بنصف دائرة (العكس)، ثم مبرهنة فيتاغورس.
• السنة الثالثة إعدادي: «الزاوية المركزية والزوايا المحيطية في دائرة».
• (وفي السلك التأهيلي: الدراسة التحليلية للدائرة ومعادلتها في معلم.)

4) ثلاثة سياقات لتوظيف الدائرة كأداة (انطلاقاً من الجدول)

• أداة إنشاء: إنشاء مماس لدائرة في نقطة منها، ونقل الأطوال بالبركار، وإنشاء مثلث أطوال أضلاعه معلومة.
• أداة برهان على التعامد/الواسط: «كل مستقيم عمودي على وتر في دائرة ويمر من مركزها واسط لهذا الوتر».
• أداة برهان على أن مثلثاً قائم الزاوية: «كل مثلث يكون أحد أضلاعه قطراً في الدائرة المحيطة به مثلث قائم الزاوية».

5) فصل سابق من مقرر السنة الأولى تم فيه التطرق للدائرة

«المثلث» / «التعامد» (الدورة الأولى): فيه تُقبل «الخاصية المميزة لنقط دائرة» لاستنباط المتفاوتة المثلثية وإنشاء مثلث أطوال أضلاعه معلومة، وفيه أيضاً «إنشاء الدائرة المحيطة بمثلث» و«إنشاء الدائرة المحاطة» (تلاقي الواسطات وتلاقي المنصفات).

6) برهان: كل مثلث أحد أضلاعه قطر في الدائرة المحيطة به قائم الزاوية

ليكن ABC مثلثاً محاطاً بالدائرة (C) التي مركزها O و[BC] قطر لها. إذن O منتصف [BC] و OA = OB = OC (أشعة).

برهان بالزوايا (مكتسبات الدورة الأولى):

• المثلث OAB متساوي الساقين في O، إذن ∠OBA = ∠OAB.
• المثلث OAC متساوي الساقين في O، إذن ∠OCA = ∠OAC.
• بما أن O تنتمي إلى [BC] فإن ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = ∠ABC + ∠ACB.
• مجموع زوايا المثلث ABC هو 180°: ∠BAC + (∠ABC + ∠ACB) = 180° أي 2∠BAC = 180°، ومنه ∠BAC = 90°.

برهان بديل (التماثل المركزي): لتكن D مماثلة A بالنسبة لـ O. للرباعي ABDC قطران [AD] و[BC] لهما نفس المنتصف O فهو متوازي أضلاع، وقطراه متقايسان (AD = BC = 2r) فهو مستطيل، إذن الزاوية BAC قائمة.

7) الإنشاءات الهندسية

الوضعية الأولى (السنة الأولى): المماسان للدائرة (C) المارّان من نقطة A خارجها.

1. ننشئ واسط [OA] فنحصل على منتصفها I.
2. ننشئ الدائرة التي مركزها I وشعاعها IO (قطرها [OA])؛ تقطع (C) في نقطتين T و T'.
3. نرسم المستقيمين (AT) و(AT').

التبرير: المثلث OTA محاط بالدائرة ذات القطر [OA]، فهو قائم في T (الخاصية المدروسة في السؤال 6). إذن (AT) عمودي على الشعاع [OT] في النقطة T من (C)، فهو مماس لـ (C) في T. ونفس الشيء لـ (AT').

الوضعية الثانية (السنة الثانية): إنشاء مركز دائرة معلومة (Γ).

1. نأخذ نقطة A من (Γ) ونرسم وتراً [AB]، ثم العمودي على (AB) في A فيقطع (Γ) في C.
2. نأخذ نقطة أخرى A' ونعيد العملية فنحصل على وتر [B'C'].
3. تقاطع [BC] و[B'C'] هو المركز.

التبرير: المثلث ABC قائم في A ومحاط بـ (Γ)، إذن وتره [BC] قطر لـ (Γ) (الخاصية المميزة للمثلث القائم المحاط بنصف دائرة، السنة الثانية)؛ وكل قطرين يتقاطعان في المركز.
بديل صالح: ثلاث نقط A و B و C من (Γ)، ثم تقاطع واسطي [AB] و[BC] (مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC).

الوضعية الثالثة (السنة الثالثة): متوازي الأضلاع MNPQ حيث M ∈ (ζ)، N ∈ (ζ')، Q ∈ (ζ)، P ∈ (ζ').

التحليل: MNPQ متوازي أضلاع يعني MN→ = QP→، أي P صورة Q بالإزاحة t ذات المتجهة MN→. بما أن Q ∈ (ζ) فإن P تنتمي إلى (ζ₁) صورة (ζ) بالإزاحة t، وP ∈ (ζ')، إذن P ∈ (ζ₁) ∩ (ζ').

1. ليكن O مركز (ζ). ننشئ O₁ صورة O بالإزاحة t (بحيث يكون MNO₁O متوازي أضلاع).
2. ننشئ (ζ₁) التي مركزها O₁ وشعاعها يساوي شعاع (ζ)؛ وهي تمر من N لأن t(M) = N.
3. (ζ₁) و(ζ') تتقاطعان في N وفي نقطة ثانية نسمّيها P (نستبعد P = N لأنها تعطي Q = M، أي شكلاً منحلاً).
4. ننشئ Q بحيث PQ→ = NM→ (أو: Q صورة P بالإزاحة ذات المتجهة NM→)، فتكون Q على (ζ).

التبرير: الإزاحة تحافظ على المسافة، فصورة دائرة بإزاحة دائرة لها نفس الشعاع ومركزها صورة المركز. ملاحظة: إذا كانت (ζ₁) و(ζ') متماستين في N فلا يوجد حل غير منحل.

8) إنشاء قطع أطوالها xy و √x و 1/x بالمسطرة والبركار

القطعة ذات الطول xy (مبرهنة طاليس): من نقطة O نرسم نصفي مستقيمين. على الأول نعيّن U و X بحيث OU = 1 و OX = x، وعلى الثاني Y بحيث OY = y. المستقيم المار من X والموازي لـ (UY) يقطع نصف المستقيم الثاني في Z. حسب طاليس: OZ/OY = OX/OU أي OZ = x·y.

القطعة ذات الطول 1/x: على الأول OU = 1 و OX = x، وعلى الثاني OU' = 1. المستقيم المار من U والموازي لـ (XU') يقطع نصف المستقيم الثاني في Z. حسب طاليس: OZ/OU' = OU/OX أي OZ = 1/x.

القطعة ذات الطول √x: على مستقيم نعيّن A و H و B بهذا الترتيب بحيث AH = x و HB = 1. ننشئ نصف الدائرة ذات القطر [AB]، والعمودي على (AB) في H يقطعها في K. إذن HK = √x.
التبرير: المثلث AKB قائم في K (محاط بنصف دائرة). بوضع h = HK وتطبيق فيتاغورس: AK² = x² + h² و KB² = 1 + h² و AK² + KB² = AB² = (x+1)²، ومنه x² + 1 + 2h² = x² + 2x + 1 أي h² = x.

(إنشاء المستقيمات الموازية والعمودية يتم بالمسطرة والبركار دون اعتماد التدريجات.)

الموضوع الثاني (3 نقط): مفهوم الاستقامية

1) محطات بروز المفهوم في السلك الإعدادي

• السنة الأولى: المفاهيم الأساسية (مصطلح «استقامية نقط»)، والتماثل المركزي وحفاظه على الاستقامية، ومتوازيان وقاطع (مسلمة التوازي).
• السنة الثانية: التماثل المحوري وحفاظه على الاستقامية، المستقيم المار من منتصفي ضلعين في مثلث، ربط التناسب باستقامية النقط مع أصل المعلم، المتجهات والإزاحة.
• السنة الثالثة: مبرهنة طاليس وعكسها، الإزاحة وضرب متجهة في عدد (استقامية متجهتين)، المعلم في المستوى ومعادلة مستقيم (المعامل الموجه).

2) ثلاثة مشاكل ديداكتيكية مرتبطة بالمفهوم

• هيمنة الإدراك البصري: التلميذ يعتبر النقط مستقيمية «لأنها تبدو كذلك» في الشكل أو بالمسطرة، ولا يشعر بالحاجة إلى البرهان.
• صعوبة اختيار الأداة المناسبة للبرهان (زاوية مستقيمية 180°، توازٍ مع نقطة مشتركة، طاليس، متجهات، معادلة مستقيم) وصعوبة استخراج الشكل الجزئي المفيد من شكل مركّب.
• الخلط بين الاستقامية والتوازي، وعدم استيعاب الخطوة المنطقية الحاسمة: «مستقيمان متوازيان ولهما نقطة مشتركة فهما منطبقان» (مسلمة إقليدس).

3) برهان استقامية النقط D و E و F

قراءة الترميز في الشكل: على [AB] النقطتان D و H (النقطة الثانية غير المسمّاة) مع BD = DH = HA؛ F منتصف [BC]؛ C منتصف [AE].

• في المثلث BHC: D منتصف [BH] و F منتصف [BC]، إذن (DF) ∥ (HC) (المستقيم المار من منتصفي ضلعين يوازي حامل الضلع الثالث).
• في المثلث ADE: H منتصف [AD] (لأن AH = HD) و C منتصف [AE]، إذن (HC) ∥ (DE).
• إذن (DF) ∥ (DE)، وللمستقيمين نقطة مشتركة D، فهما منطبقان. ومنه النقط D و E و F مستقيمية.

الموضوع الثالث (7 نقط): تحليل إنتاجات التلميذين A و B

الحل الصحيح للتمرين: ليكن L الطول و ℓ = (6/7)L العرض. 2(L + 6L/7) = 234 ⟸ 13L/7 = 117 ⟸ L = 63 m و ℓ = 54 m. تحقق: 2(63 + 54) = 234.

1) أخطاء التلميذ A ومصادرها المحتملة

• خطأ في معالجة الكسور: كتب (7x/7 + 6x/7) × 14/7 = 1638/7، ثم انتقل إلى (7x + 6x) × 14 = 1638. الطرف الأيسر مقامه 49 (7 × 7) لا 7، فحذف المقامين معاً غير مشروع. الصواب: 13x × 14 = 1638 × 7 أي 13x = 819 و x = 63. ومن هنا حصل على x = 9 (أي 63 ÷ 7).
  المصدر المحتمل: تعميم مفرط لقاعدة «كسران لهما نفس المقام متساويان إذا تساوى بسطاهما» على كسرين مختلفي المقام، وتحويل 2 إلى 14/7 بشكل آلي دون ضرورة، أي تمكّن هش من الحساب على الكسور.
• نتيجة غير دقيقة ومكتوبة بعلامة =: 54/7 = 7,71؛ القيمة مقربة وليست مساوية. المصدر: الخلط بين القيمة المضبوطة والقيمة المقربة وسوء استعمال علامة التساوي.
• غياب التحقق وعدم معقولية النتيجة: مستطيل بعداه 9 m و 7,71 m محيطه نحو 33 m لا 234 m. المصدر: عدم استضمار مرحلة التحقق ومراقبة النتيجة، وتأثير العقد الديداكتيكي (الحصول على عدد يُعتبر كافياً).

2) أ) تفسير اختيار التلميذ B للعدد 9 كقاسم مشترك لـ x و y

العلاقة 6y = 7x تعني أن x/6 = y/7، أي أن x و y متناسبان مع 6 و 7: x = 6k و y = 7k. ومن x + y = 117 نحصل على 13k = 117 أي k = 9. التلميذ B اعتمد إذن على استدلال حسابي (التقسيم إلى أجزاء متساوية / التوزيع التناسبي) المكتسب من التعليم الابتدائي: 117 تُقسَم إلى 6 + 7 = 13 جزءاً، كل جزء 9. لم يكتب هذا الاستدلال، وربما وصل إلى 9 بالحساب الذهني أو بالتجريب.

2) ب) اختيار B لقياسات صحيحة طبيعية

• رياضياً: لأن 117 مضاعف لـ 13، فإن k = 9 عدد صحيح، وبالتالي 54 و 63 عددان صحيحان طبيعيان، وهما الحل الوحيد للمسألة. لم يفرض ذلك فرضاً، بل هو نتيجة المعطيات.
• ديداكتيكياً: التلميذ يتوقع في مسائل القياس المدرسية أجوبة «جميلة» بأعداد صحيحة (أثر العقد الديداكتيكي)، والعلاقة 6/7 كسر غير قابل للاختزال توحي بمضاعفات 6 و 7. لكن هذه الطريقة لا تصلح إذا لم يكن المحيط قابلاً للقسمة على 26 (مثلاً 230 m)، وهنا حدودها.

2) ج) ما دفع B إلى التحقق

بما أن العدد 9 لم يُستنتج بخطوات مكتوبة بل اقتُرح (تخمين أو حساب ذهني)، فإن التحقق من المحيط (63 + 54) × 2 = 234 هو ما يُثبت صحة الاقتراح؛ إنه جزء من منطق المحاولة والتجريب. كما أن البرنامج يدعو صراحة في فقرة المعادلات إلى «إيجاد الحل والتحقق من الحلول المحصل عليها»، وهي عادة يجب ترسيخها لدى الجميع.

3) لماذا يجد تلاميذ السنة الأولى صعوبات في الترييض والحساب الجبري؟

• الانتقال من الحساب إلى الجبر عائق معرفي: التلميذ اعتاد الانطلاق من المعلوم نحو المجهول، بينما الجبر يفرض الاشتغال على المجهول كأنه معلوم. والبرنامج نفسه يجعل هدف المعادلات في السنة الأولى «تجاوز المرحلة الحسابية... إلى المرحلة الجبرية».
• وضعية الحرف: الحرف x يُفهم كاختصار («x = الطول») لا كعدد يُحسب به.
• معنى علامة =: يراها التلميذ إعلاناً عن نتيجة لا علاقة تكافؤ، فيكتب سلاسل متساويات خاطئة.
• ترجمة النص إلى معادلة: اختيار المجهول، والتعبير عن العرض بدلالة الطول، وتحويل «المحيط» إلى علاقة، كلها خطوات تتطلب فهماً لغوياً ومفاهيمياً.
• هشاشة التمكن من الكسور وقواعد الحساب (كما يظهر في جواب A).

4) سيناريو صفي لتدبير إنجاز التمرين