Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine Dentaire de Rabat 2016 — Mathématiques

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات لمباراة ولوج السنة الأولى بكلية طب الأسنان بالرباط (جامعة محمد الخامس)، دورة 28/07/2016. يتكوّن من أربعة تمارين و12 سؤالاً (1Q إلى 12Q)، لكل سؤال أربعة اقتراحات Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ، والتعليمات تنص على وضع علامة على «الجواب أو الأجوبة الصحيحة»: قد يكون في السؤال الواحد أكثر من جواب صحيح، وهو ما يحدث فعلاً في 2Q و 6Q و 8Q.

💡 قبل أن تبدأ: بما أن عدة أجوبة قد تكون صحيحة، لا تتوقف عند أول اقتراح صحيح: كثيراً ما يكتب واضع الاختبار العبارة نفسها بشكلين مختلفين (هنا 2²ⁿ = 4ⁿ و ln x² = 2 ln x). تحقق من كل اقتراح بقيمة n = 0 أو x = 1.

التمرين 1: u₀ = 1 ، u_n+1 = 2u_n/√(1 + u_n²) ، v_n = u_n²/(3 − u_n²)

1Q — Ⓓ : الأساس 4

u_n+1² = 4u_n²/(1 + u_n²) ، و 3 − u_n+1² = (3 + 3u_n² − 4u_n²)/(1 + u_n²) = (3 − u_n²)/(1 + u_n²). إذن v_n+1 = 4u_n²/(3 − u_n²) = 4 v_n.

2Q — Ⓑ و Ⓒ

v₀ = 1/(3 − 1) = 1/2، إذن v_n = 4ⁿ/2. من v(3 − u²) = u² نستنتج u² = 3v/(1 + v)، و u_n > 0 (بالترجع لأن u₀ > 0):

u_n² = (3·4ⁿ/2)/(1 + 4ⁿ/2) = 3·4ⁿ/(2 + 4ⁿ) ، أي u_n = √(3·4ⁿ/(2 + 4ⁿ)) = 2ⁿ√3/√(2 + 2²ⁿ).

الاقتراحان Ⓑ و Ⓒ هما التعبير نفسه (2²ⁿ = 4ⁿ). Ⓐ و Ⓓ خاطئان: عند n = 0 يعطيان 1/2 بدل u₀ = 1.

3Q — Ⓑ : √3

u_n² = 3/(1 + 2·4⁻ⁿ) → 3، إذن lim u_n = √3.

التمرين 2: f(x) = x + 2x ln x + (ln x)/x على ]0 ; +∞[

4Q — Ⓑ : −∞

عند 0⁺: x → 0 ، x ln x → 0 ، و (ln x)/x → −∞ (البسط يؤول إلى −∞ والمقام إلى 0⁺). إذن lim f(x) = −∞.

5Q — Ⓑ : ]1/2 ; 1[ (و Ⓓ صحيح أيضاً بالمعنى الحرفي)

f(1) = 1 > 0 و f(1/2) = 1/2 + ln(1/2) + 2 ln(1/2) = 1/2 − 3 ln 2 ≈ −1,58 < 0. f متصلة وتزايدية قطعاً، إذن للمعادلة f(x) = 0 حل وحيد α ∈ ]1/2 ; 1[ (مبرهنة القيم الوسيطية). Ⓐ خاطئ (f < 0 على ]0 ; 1/2[) و Ⓒ خاطئ (f > 1 على ]1 ; e[). الحل ينتمي بطبيعة الحال إلى ]0 ; +∞[، لذلك Ⓓ صحيح حرفياً أيضاً (إجابة مرجّحة: الجواب المقصود هو Ⓑ، وقد يُقبل Ⓓ معه).

6Q — Ⓐ و Ⓒ

(x² ln x)' = 2x ln x + x² · (1/x) = 2x ln x + x. و Ⓒ: x(1 + ln x²) = x(1 + 2 ln x) = x + 2x ln x لأن x > 0: التعبير نفسه.

7Q — Ⓐ : e² + 1/2

• ∫₁^e x dx = (e² − 1)/2
• بالمكاملة بالأجزاء: ∫₁^e x ln x dx = [(x²/2) ln x]₁^e − ∫₁^e x/2 dx = e²/2 − (e² − 1)/4 = (e² + 1)/4، فـ 2∫x ln x dx = (e² + 1)/2
• ∫₁^e (ln x)/x dx = [(ln x)²/2]₁^e = 1/2

المجموع: (e² − 1)/2 + (e² + 1)/2 + 1/2 = e² + 1/2.

التمرين 3: I_n = ∫₁^e xⁿ ln x dx

8Q — Ⓐ و Ⓒ

بالمكاملة بالأجزاء (u = ln x ، v' = xⁿ): I_n = [xⁿ⁺¹ ln x/(n+1)]₁^e − ∫₁^e xⁿ/(n+1) dx = eⁿ⁺¹/(n+1) − (eⁿ⁺¹ − 1)/(n+1)²

= [(n+1)eⁿ⁺¹ − eⁿ⁺¹ + 1]/(n+1)² = (n eⁿ⁺¹ + 1)/(n+1)².

Ⓒ يكتب n·eⁿ⁺¹/(n+1)² + 1/(n+1)²: هو التعبير نفسه. Ⓑ ينقصه 1/(n+1)²، و Ⓓ خاطئ (عند n = 0 مثلاً غير معرف).

9Q — Ⓓ : +∞

n eⁿ⁺¹/(n+1)² → +∞ (الأسية تتغلب على الحدودية)، إذن lim I_n = +∞.

التمرين 4: صندوق فيه 3 كرات تحمل 2 وكرة واحدة تحمل 1

10Q — Ⓑ : 3/4

سحب 3 كرات في آن واحد: عدد الإمكانيات C(4,3) = 4. السحبات التي تحتوي الكرة 1: نختار معها كرتين من الثلاث ⟹ C(3,2) = 3. الاحتمال = 3/4.

11Q — Ⓓ : 27/64

سحب 3 كرات بالتتابع وبإحلال (تجارب مستقلة): p(1) = 1/4 و p(2) = 3/4. الحصول على «1» مرة واحدة بالضبط: C(3,1)·(1/4)·(3/4)² = 3 × 9/64 = 27/64.

12Q — Ⓐ : 1/2

نسحب كرة ثم نعيدها، ثم نسحب كرتين في آن واحد (C(4,2) = 6 إمكانيات).

• الكرة الأولى تحمل 1 (احتمال 1/4) والكرتان تحملان 2: C(3,2)/6 = 1/2 ⟹ 1/4 × 1/2 = 1/8.
• الكرة الأولى تحمل 2 (احتمال 3/4) والكرتان: واحدة 1 وواحدة 2: (1 × 3)/6 = 1/2 ⟹ 3/4 × 1/2 = 3/8.

الاحتمال = 1/8 + 3/8 = 1/2.