Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine Dentaire de Casablanca 2010 — Mathématiques

هذا النموذج هو اختبار مادة الرياضيات لمباراة ولوج كلية طب الأسنان بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني عين الشق) — دورة 2011/2010. 10 أسئلة متعددة الاختيارات، لكل سؤال جواب واحد صحيح توضع علامة في خانته. ما يلي تصحيح مقترح مع الحساب.

السؤال 1 — الجواب: «آخر» (الحل x=1)

شرط الوجود: x>0. المعادلة تكافئ ln[(x+1)³/x²]=ln(x+7)، أي (x+1)³=x²(x+7): x³+3x²+3x+1=x³+7x² ⇔ 4x²−3x−1=0 ⇔ (x−1)(4x+1)=0. x=−¼ مرفوض (x>0)، إذن S={1}، وهي قيمة غير موجودة بين 2 و 4 و 5 و 3.

السؤال 2 — الجواب: ]0,1[∪]1,+∞[

يجب أن يكون x>0 (لوجود √x) و 1−1/√x≠0 (لوجود ln|…|)، أي x≠1.

السؤال 3 — الجواب: f′(x)=1/(2x(√x−1))

f=ln|u| مع u(x)=1−1/√x، و u′(x)=1/(2x√x). إذن f′(x)=u′/u = [1/(2x√x)] / [(√x−1)/√x] = 1/(2x(√x−1)).

السؤال 4 — الجواب: 0

3/2^(n+1)=(3/2)·(½)ⁿ و (½)ⁿ→0 لأن 0<½<1.

السؤال 5 — الجواب: 1

S_n=Σ_(k=1)^n 3/4^k = 3·(¼)·(1−(¼)ⁿ)/(1−¼) = 1−(¼)ⁿ → 1.

السؤال 6 — الجواب: 0,5+2ln2

دالة أصلية لـ ln x هي x ln x − x. إذن ∫₁²(x+ln x)dx = [x²/2]₁² + [x ln x − x]₁² = 3/2 + (2ln2−2) − (0−1) = ½+2ln2 (≈1,89).

السؤال 7 — الجواب: −√3+i

2(cos5π/6 + i sin5π/6) = 2(−√3/2 + i·½) = −√3+i.

السؤال 8 — الجواب: الدائرة التي مركزها A وشعاعها 2

|z−(1+i)|=2 ⇔ AM=2. (نلاحظ أن AB=|(1−i)−(1+i)|=2، فالنقطة B تنتمي إلى هذه الدائرة، لكنها ليست مركزها ولا [AB] قطراً لها.)

السؤال 9 — الجواب: g(x)=1−e^(−3x)

المعادلة المميزة r²+3r=0 جذراها 0 و −3، فالحل العام y=C₁+C₂e^(−3x). g′(0)=−3C₂=3 ⇒ C₂=−1؛ g(0)=C₁+C₂=0 ⇒ C₁=1. إذن g(x)=1−e^(−3x).

السؤال 10 — الجواب: 5/9

الحدث المضاد: الرسوب في المباراتين، واحتماله (2/3)×(2/3)=4/9 (المباراتان مستقلتان). P(النجاح في إحداهما على الأقل)=1−4/9=5/9.