Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Fès 2011 — Mathématiques

هذا النموذج هو موضوع الرياضيات في مباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بفاس، دورة 2011. المدة الزمنية: 30 دقيقة، وهو من نوع أسئلة متعددة الاختيارات (10 أسئلة) باقتراحات من (A) إلى (E). ما يلي الجواب الصحيح لكل سؤال مع خطوات الحل.

💡 3 دقائق لكل سؤال: ابدأ بالأسئلة المباشرة (4، 6، 7، 10) ثم عد إلى الاحتمالات والمتتاليات.

السؤال 1 – الاحتمال الشرطي: (A) p = 3/38

نرمز بـ L₁، L₂ للآلتين و N لحدث «العلبة غير صالحة». المعطيات: P(L₁) = 0,7 ، P(L₂) = 0,3 ، P(N/L₁) = 0,05 ، P(N/L₂) = 0,01.

صيغة الاحتمالات الكلية: P(N) = 0,7 × 0,05 + 0,3 × 0,01 = 0,035 + 0,003 = 0,038.

صيغة بايز: P(L₂/N) = P(L₂ ∩ N)/P(N) = 0,003/0,038 = 3/38.

السؤال 2 – نهاية S_n = Σ_k=1ⁿ 1/√k: (D) +∞

لكل k من 1 إلى n: 1/√k ≥ 1/√n، إذن S_n ≥ n × 1/√n = √n، و lim √n = +∞، فحسب مبرهنة المقارنة lim S_n = +∞.

السؤال 3 – حلول Z² = 8/Z: (A) S = {2 ، −1 + i√3 ، −1 − i√3}

مع Z ≠ 0، المعادلة تكافئ Z³ = 8 = 2³، أي (Z/2)³ = 1، فحلولها Z = 2e^2ikπ/3 مع k ∈ {0، 1، 2}:

Z₀ = 2 ، Z₁ = 2(−½ + i√3/2) = −1 + i√3 ، Z₂ = −1 − i√3.

السؤال 4 – مجموعة تعريف f(x) = √(|ln x − 1| − 1): (C) D = ]0,1] ∪ [e² ، +∞[

الشروط: x > 0 و |ln x − 1| − 1 ≥ 0، أي |ln x − 1| ≥ 1:

• ln x − 1 ≥ 1 ⇔ ln x ≥ 2 ⇔ x ≥ e²
• أو ln x − 1 ≤ −1 ⇔ ln x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1

السؤال 5 – تقاطع الفلكة والمستوى: (C) نقطة

نحسب مسافة المركز Ω(1، −2، 0) عن المستوى (P):

d(Ω، P) = |1 − 2 + 0 + 3√3 + 1| / √(1 + 1 + 1) = 3√3/√3 = 3 = R.

المسافة تساوي الشعاع، إذن المستوى مماس للفلكة وتقاطعهما نقطة واحدة.

السؤال 6 – نهاية g(x) = (e^2x − e⁴)/(x − 2) عند 2: (C) l = 2e⁴

نضع h(x) = e^2x، فـ h(2) = e⁴، والنهاية هي العدد المشتق: h'(2) = 2e^2×2 = 2e⁴.

السؤال 7 – التكامل I = ∫₂^e ln2 / (x(ln x)²) dx: (D) I = 1 − ln 2

الدالة x ↦ 1/(x(ln x)²) من شكل u'/u² مع u = ln x، ودالتها الأصلية −1/ln x:

I = ln2 [ −1/ln x ]₂^e = ln2 ( −1/1 + 1/ln2 ) = −ln2 + 1 = 1 − ln 2.

السؤال 8 – المتراجحة 10^2x − 3·10^x − 4 > 0: (E) S = ]ln4/ln10 ، +∞[

نضع X = 10^x > 0: X² − 3X − 4 > 0 ⇔ (X − 4)(X + 1) > 0. بما أن X + 1 > 0، يكفي X > 4:

10^x > 4 ⇔ x ln10 > ln4 ⇔ x > ln4/ln10. (المتراجحة صارمة، فالمجال مفتوح عند ln4/ln10.)

السؤال 9 – نهاية u_n = (−1)ⁿ(n + 2ⁿ)/(n·2ⁿ⁺¹): (E) L = 0

نفصل الكسر: (n + 2ⁿ)/(n·2ⁿ⁺¹) = 1/2ⁿ⁺¹ + 1/(2n).

إذن |u_n| = 1/2ⁿ⁺¹ + 1/(2n) → 0، وبالتالي lim u_n = 0 (رغم تناوب الإشارة).

السؤال 10 – الزمن اللازم لبلوغ 10²¹: (A) t = 10 ln10

حل المعادلة P' = 2P مع P(0) = 10 هو P(t) = 10e^2t.

10e^2t = 10²¹ ⇔ e^2t = 10²⁰ ⇔ 2t = 20 ln10 ⇔ t = 10 ln10.

جدول الأجوبة