Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2009 — Mathématiques (version arabe)

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات لمباراة ولوج كلية الطب والصيدلة بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني) — دورة 2009. المدة: 30 دقيقة، عدد الأسئلة: 6، والأجوبة تُكتب مباشرة في الخانات. ما يلي تصحيح مقترح مع خطوات الحساب.

💡 30 دقيقة لستة تمارين: ابحث عن التبسيط الذي يختصر الحساب (هنا مثلاً cos⁴x−2cos²x = sin⁴x−1) قبل الاشتقاق.

I — الدالة f(x)=cos⁴x−2cos²x

تبسيط مفيد: cos⁴x−2cos²x = (cos²x−1)²−1 = sin⁴x−1.

1. D_f = ℝ (مجموع دوال معرفة على ℝ).
2. محور التماثل: المستقيم ذو المعادلة x=0 (محور الأراتيب)، لأن f(−x)=f(x) لكل x من ℝ: الدالة زوجية. (وبما أن f دورية ودورها π، فالمستقيمات x=kπ/2 محاور تماثل أيضاً؛ الجواب المنتظر x=0.)
3. f′(x)=4sin³x·cos x.
   • a — صحيح: على [0,π/4] لدينا sin x ≥ 0 و cos x > 0، إذن f′(x) ≥ 0 والدالة تزايدية.
   • b — صحيح: f′(π)=4·sin³π·cos π=4×0×(−1)=0.

II — النهايات

• lim_(x→+∞) ((π/2)x+2)/(2x−1) = (π/2)/2 = π/4، والدالة cos متصلة، إذن lim_(x→+∞) cos[((π/2)x+2)/(2x−1)] = cos(π/4) = √2/2.
• √(x²−x) = x√(1−1/x) ~ x عند +∞، إذن (√3−√(x²−x))/√(2x) = √3/√(2x) − (x/√(2x))·√(1−1/x) = √3/√(2x) − √(x/2)·√(1−1/x) → 0 − ∞. النهاية = −∞.

III — الأعداد العقدية

z₁=1−i√3=2(½−i√3/2)=2e^(−iπ/3) و z₂=1−i=√2(√2/2−i√2/2)=√2e^(−iπ/4).

Z=z₁/z₂=(2/√2)·e^(i(−π/3+π/4))=√2·e^(−iπ/12).

• |Z| = √2
• Arg Z ≡ −π/12 [2π]

IV — التكاملات (مكاملة بالأجزاء)

• ∫₀² x e^(−x/2) dx: نضع u=x و v′=e^(−x/2)، إذن u′=1 و v=−2e^(−x/2). = [−2x e^(−x/2)]₀² + 2∫₀² e^(−x/2)dx = −4e^(−1) + 2[−2e^(−x/2)]₀² = −4/e + 4(1−e^(−1)). ∫₀² x e^(−x/2) dx = 4 − 8/e (≈1,06).
• ∫₀^(π/4) x cos2x dx: نضع u=x و v′=cos2x، إذن v=½sin2x. = [½x sin2x]₀^(π/4) − ½∫₀^(π/4) sin2x dx = π/8 − ½[−½cos2x]₀^(π/4) = π/8 − ½(0+½). ∫₀^(π/4) x cos2x dx = π/8 − 1/4 (≈0,14).

V — الفلكة والمستقيم

1. r = ΩA = √((2−3)²+(1−0)²+(1−1)²) = √2. معادلة (S): (x−3)²+y²+(z−1)²=2.
2. نعوض التمثيل البارامتري في معادلة (S): t² + (−2−t)² + t² = 2 ⇔ 3t²+4t+4 = 2 ⇔ 3t²+4t+2 = 0. المميز Δ=16−24=−8<0: لا حل. التقاطع: (S)∩(D)=∅. (تحقق: مسافة Ω عن (D) تساوي √(8/3)≈1,63 > √2≈1,41.)

VI — الاحتمالات (السلتان S₁ و S₂)

التجربة: نختار سلة عشوائياً (احتمال كل سلة ½) ثم نسحب كرة. «الحصول على كرة سوداء تنتمي إلى S₁» هو الحدث المشترك: السلة S₁ و الكرة سوداء.

1. خطأ (إجابة مرجّحة): ½×(b₁/10)=1/5 ⇒ b₁=4، أي S₁ تحتوي على 4 كرات سوداء وليس 2. (لو قُرئت العبارة كاحتمال شرطي «علماً أن السلة هي S₁»، لكان b₁/10=1/5 ⇒ b₁=2 والعبارة صحيحة.)
2. صحيح (إجابة مرجّحة): ½×(r₂/12)=1/3 ⇒ r₂=8، أي S₂ تحتوي على 8 كرات حمراء. (بالقراءة الشرطية: r₂/12=1/3 ⇒ r₂=4 والعبارة خاطئة.)

💡 في هذا النوع من الأسئلة ميّز دائماً بين P(S₁∩N) و P(N|S₁)=P(S₁∩N)/P(S₁): الفرق هو معامل ½ الخاص باختيار السلة.