Modèle concours d'accès — ENSA Tanger 2008 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger (session 2008). Calculatrice non autorisée. 25 QCM sur 3 pages, une seule réponse juste par question ; barème imprimé : réponse fausse −1, pas de réponse 0. Voici une correction proposée avec le calcul de chaque réponse.

💡 Stratégie : avec une pénalité de −1 par erreur, ne cochez pas au hasard. La plupart des questions se règlent par un équivalent usuel (sin u ~ u, 1 − cos u ~ u²/2, arctan u ~ u, ln(1 + u) ~ u) ou une primitive immédiate : ce sont ces réflexes que l'épreuve teste.

Limites et suites (questions 1 à 6)

1) Réponse c (n'existe pas). cos nπ = (−1)ⁿ vaut alternativement 1 et −1 : deux sous-suites de limites différentes. La proposition a décrit la suite, pas une limite.

2) Réponse c (0). 2ⁿ/3ⁿ⁻¹ = 3 (2/3)ⁿ → 0 car 0 < 2/3 < 1.

3) Réponse a (πe/(π − e)). vₙ = Σ eᵏ/πᵏ⁻¹ = e Σk=1n (e/π)ᵏ⁻¹ : somme géométrique de raison e/π < 1, donc vₙ → e/(1 − e/π) = πe/(π − e).

4) Réponse b (48(2 + √2) cm). Le carré inscrit par les milieux a un côté multiplié par √2/2 : le côté de Cᵢ est 12(√2/2)ⁱ et son périmètre 48(1/√2)ⁱ. Somme des périmètres (de C₀ à l'infini) : 48/(1 − 1/√2) = 48√2/(√2 − 1) = 48√2(√2 + 1) = 48(2 + √2) cm.

5) Réponse b (1). 1/(k(k + 1)) = 1/k − 1/(k + 1) : somme télescopique, sₙ = 1 − 1/(n + 1) → 1.

6) Réponse a (0). 1 − cos 5x ~ 25x²/2 et sin 3x ~ 3x, donc le quotient ~ 25x/6 → 0.

Primitives, limites de fonctions (questions 7 à 15)

7) Réponse b (½ arctg(tg x/2) + K). On pose u = tg x, du = (1 + tg²x) dx : ∫ du/(4 + u²) = ½ arctg(u/2) + K.

8) Réponse c (1/5). arctg x · cotg 5x = arctg x · cos 5x/sin 5x ~ x · 1/(5x) = 1/5.

9) Réponse b (√e/e). (cos x)1/x² = exp(ln(cos x)/x²) ; ln(cos x) ~ cos x − 1 ~ −x²/2, donc l'exposant tend vers −1/2 et la limite vaut e−1/2 = √e/e.

10) Réponse a (3/π). Si F est une primitive de 1/arctg x (continue près de √3), la limite est le taux d'accroissement de F en √3, soit F'(√3) = 1/arctg(√3) = 1/(π/3) = 3/π.

11) Réponse a (√π/π). tg(√π x) ~ √π x et sin(πx) ~ πx, donc le quotient tend vers √π/π = 1/√π.

12) Réponse b (2). arctg 2x ~ 2x, donc arctg(2x)/x → 2.

13) Réponse b ((2/9) x√x (3 ln x − 2) + K). Intégration par parties avec u = ln x, v' = x^1/2, v = (2/3)x^3/2 : ∫√x ln x dx = (2/3)x3/2 ln x − ∫(2/3)x1/2 dx = (2/3)x3/2 ln x − (4/9)x3/2 = (2/9)x√x(3 ln x − 2) + K.

14) Réponse c (2). 1/(x(ln x)²) = (ln x)'/(ln x)², de primitive −1/ln x : ∫√en = −1/ln n + 1/ln√e = 2 − 1/ln n → 2.

15) Réponse probable a (y = e^−√2(x − 1)). La borne inférieure de l'intégrale est peu lisible sur la copie ; la lecture cohérente avec les propositions est f(x) = ∫1+x1+x² e−√t dt. Alors :

• f(1) = ∫₂² … = 0, donc la tangente passe par (1, 0) ;
• f'(x) = 2x e−√(1+x²) − e−√(1+x), d'où f'(1) = 2e^−√2 − e^−√2 = e^−√2 ;
• tangente : y = e^−√2(x − 1).

La proposition c est à écarter : f est dérivable (intégrande continue, bornes dérivables), la tangente est toujours déterminée.

Suites, algèbre linéaire, matrices (questions 16 à 22)

16) Réponse b (seulement (I) et (III)). (I) vraie : ||uₙ| − |L|| ≤ |uₙ − L|. (II) fausse : uₙ = (−1)ⁿ L vérifie |uₙ| → |L| sans converger (L ≠ 0). (III) vraie : |uₙ − 0| = ||uₙ| − 0|.

17) Réponse c (n'existe pas). Pour n pair, (1 + √n)/√(n + 1) → 1 ; pour n impair, (1 − √n)/√(n + 1) → −1. Deux sous-suites de limites différentes.

18) Réponse c (seulement S₁ et S₃).

• S₁ : matrice des coordonnées dans B [[0,1,1],[1,0,1],[1,1,0]], de déterminant 2 ≠ 0 : base.
• S₂ : (u + w) − (u + v) = w − v, les trois vecteurs sont liés : pas une base.
• S₃ : v = u − (u − v), donc u, v, w sont dans l'espace engendré par S₃, qui a 3 vecteurs : base.

19) Réponse b ({(1,0,1) ; (0,1,0)}). E = {(x, y, x)} = {x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0)} est de dimension 2 ; ces deux vecteurs l'engendrent et sont libres. (a) n'a qu'un vecteur ; (c) a trois vecteurs et (1, 1, 0) n'est même pas dans E.

20) Réponse c (aucun). E et H ne contiennent pas (0, 0, 0) (0 + 0 + 0 ≠ 1 ; y = 1). F (x = y ou x = −y) et G (x = 0 ou y = 0) sont des réunions de deux plans, non stables par addition : (1, 1, 0) + (1, −1, 0) = (2, 0, 0) ∉ F ; (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0) ∉ G.

21) Réponse c ((II) et (IV)). A² − 3A + 2Iₙ = 0 ⇔ A(3Iₙ − A) = 2Iₙ ⇔ A · ½(3Iₙ − A) = Iₙ : A est inversible, d'inverse ½(3Iₙ − A) ; (II) et (IV) vraies, (III) fausse. (I) est fausse : par exemple A = Iₙ vérifie la relation, et Iₙ − A = 0 n'est pas son inverse.

22) Réponse a (n²). Les n² matrices élémentaires E_ij (un 1 en position (i, j), des 0 ailleurs) forment une base.

Intégrales (questions 23 à 25)

23) Réponse probable b (π/16). Sur la copie, les bornes sont complétées à la main : −1/2 et 1/2. Avec ces bornes : 4t² + 4t + 5 = (2t + 1)² + 4 ; on pose u = 2t + 1 (u de 0 à 2, dt = du/2) : ½ ∫₀² du/(u² + 4) = ½ · ½ [arctg(u/2)]₀² = ¼ · π/4 = π/16.

24) Réponse c ((π + 2)/2). En dérivant ∫₀ˣ g(t) dt = x tg(πx) : g(x) = tg(πx) + πx(1 + tg²(πx)). En x = 1/4 : tg(π/4) = 1, donc g(1/4) = 1 + (π/4)(2) = 1 + π/2 = (π + 2)/2.

25) Réponse b (((a + b)/2) ∫ₐᵇ f(x) dx). Avec t = a + b − x : J = ∫ₐᵇ x f(x) dx = ∫ₐᵇ (a + b − t) f(t) dt = (a + b) ∫ₐᵇ f − J, d'où J = ((a + b)/2) ∫ₐᵇ f(x) dx.