Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat 2010 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux grandes écoles organisé par Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (2010), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat
- Grade
- Concours d'accès aux grandes écoles
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2010
- Pages
- 1
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 — Royaume du Maroc Université Mohamed V-Soulssi FACULTE DE MEDECINE ET DE PHARMACIE-RABAT 1 année de la faculté de médecine —Lundi 26 juillet 2010-Matlére: Mathématiques Concours d'accès à la Execice 1 (5pts) Soit la fonction f définie sur b,+c] par: 1) Calculer lim f(x) 2) a) Montre que pour tout x dans P,+ oo] ona: f(«‹)=x*+ lnx+ 0 + +) b) Calculer im 77 مببج x ; ice 5 | Soit la fonction g définie sur [L+o[ par: 3) = 2Jx—1 ! 1) a) Vérifier que pour tout x dans}, + | on a: 7 + ana FE 2) Soit la suite numérique (4) amv définie par: n dans IN | a) Montrer par récurrence que u, = 2 pour tout | b) Montrer que la suite تك برل décroissante. c) Déduire que عملم rgente et calculer sa limite. Exercice 3(5pt5) 0 2 2 a: (sin) _ À —cosx 1) Vérifier que pour sourx [ 3 cosx 7 est conve : 2) Soit F la fonction numérique définie sur |e a) Vérifier que: 5) د [102+ J3) une primitive de la fonction f définie sur |o | b) Montrer que F est wadifa-info.com 2 ٍ نماذج المباريات من موقع و
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès à la 1re année de la faculté de médecine, Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (Université Mohammed V-Souissi), session du lundi 26 juillet 2010. L'épreuve comporte 4 exercices de 5 points. Voici une correction détaillée.
Exercice 1 — f(x) = ln(1 + xex) sur ]0, +∞[
1) Quand x → +∞, xex → +∞, donc 1 + xex → +∞ et lim f(x) = +∞.
2) a) Pour x > 0, xex > 0, et l'on peut factoriser : 1 + xex = xex(1 + 1/(xex)). Donc f(x) = ln x + ln(ex) + ln(1 + 1/(xex)) = x + ln x + ln(1 + 1/(xex)).
b) f(x)/x = 1 + (ln x)/x + ln(1 + 1/(xex))/x. On a (ln x)/x → 0, et 1/(xex) → 0, donc ln(1 + 1/(xex)) → 0, et divisé par x aussi. Donc lim f(x)/x = 1.
Exercice 2 — g(x) = 2√(x − 1) et la suite (un)
1) a) On multiplie par la quantité conjuguée :
- g(x) − x = (2√(x−1) − x)(2√(x−1) + x)/(2√(x−1) + x) = (4(x − 1) − x²)/(2√(x−1) + x) = −(x − 2)²/(2√(x−1) + x) ;
- g(x) − 2 = 2(√(x−1) − 1) = 2(√(x−1) − 1)(√(x−1) + 1)/(√(x−1) + 1) = 2(x − 2)/(√(x−1) + 1).
2) a) Récurrence : u0 = 3 ≥ 2. Si un ≥ 2, alors un+1 − 2 = g(un) − 2 = 2(un − 2)/(√(un−1) + 1) ≥ 0, car le numérateur est ≥ 0 et le dénominateur > 0. Donc un+1 ≥ 2, et un ≥ 2 pour tout n.
b) un+1 − un = g(un) − un = −(un − 2)²/(2√(un−1) + un) ≤ 0 : la suite est décroissante.
c) La suite est décroissante et minorée par 2, donc elle est convergente. Sa limite ℓ vérifie ℓ ≥ 2 et ℓ = g(ℓ), car g est continue sur [1, +∞[ et un+1 = g(un). D'où g(ℓ) − ℓ = −(ℓ − 2)²/(2√(ℓ−1) + ℓ) = 0, donc ℓ = 2.
Exercice 3 — Intégrale
1) sin²x/cos x = (1 − cos²x)/cos x = 1/cos x − cos x, pour x dans [0, π/3], où cos x ≠ 0.
2) a) F(π/3) = ln[tan(π/6 + π/4)]. Or tan(π/6 + π/4) = (1/√3 + 1)/(1 − 1/√3) = (1 + √3)/(√3 − 1) = (1 + √3)²/2 = (4 + 2√3)/2 = 2 + √3. Donc F(π/3) = ln(2 + √3).
b) Posons u = x/2 + π/4, qui est dans [π/4, 5π/12] ⊂ ]0, π/2[, donc tan u > 0 et F est dérivable. On a u' = 1/2 et (tan u)' = u'(1 + tan²u) = 1/(2cos²u). Donc F'(x) = [1/(2cos²u)] / (sin u/cos u) = 1/(2 sin u cos u) = 1/sin(2u) = 1/sin(x + π/2) = 1/cos x. F est bien une primitive de f(x) = 1/cos x sur [0, π/3].
c) Avec 1), I = ∫0π/3 (1/cos x − cos x) dx = [F(x) − sin x]0π/3 = ln(2 + √3) − √3/2 − (F(0) − 0). Comme F(0) = ln(tan π/4) = ln 1 = 0 :
I = ln(2 + √3) − √3/2 (≈ 0,45).
Exercice 4 — Probabilités
L'urne A contient 2 N et 1 B ; on y tire 2 boules successivement et sans remise. L'urne B contient 2 B et 1 N ; on y tire 1 boule.
- Tirage dans A : P(N,N) = 2/3 × 1/2 = 1/3 ; P(N,B) = 2/3 × 1/2 = 1/3 ; P(B,N) = 1/3 × 1 = 1/3 ; P(B,B) = 0 (une seule blanche).
- Donc P(deux noires de A) = 1/3 et P(une noire et une blanche de A) = 2/3.
- Tirage dans B : P(blanche) = 2/3, P(noire) = 1/3.
1) Trois boules de même couleur : trois blanches est impossible (A ne donne jamais deux blanches). Il reste trois noires : P = 1/3 × 1/3 = 1/9.
2) Deux blanches et une noire : A doit donner une blanche et une noire, puis B une blanche. P = 2/3 × 2/3 = 4/9.
💡 Sur le scan, une troisième ligne pâle sous la question 2 est le texte du verso vu par transparence, pas une question supplémentaire.
Questions fréquentes sur ce sujet
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