Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat 2009 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année des études de médecine et de pharmacie — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (Université Mohammed V – Souissi), session du lundi 27 juillet 2009. Durée : 30 minutes, calculatrice interdite. Quatre exercices notés sur 5 points chacun. Voici une correction proposée, avec le détail des calculs.

💡 Gestion du temps : 30 minutes pour 4 exercices, soit environ 7 minutes par exercice. Les quatre exercices sont des applications directes du cours de 2^e Bac Sciences : repérez l'astuce de chacun (expression conjuguée, quotient u/(1+u), combinaison I − 3J, formule de Bayes) et allez droit au but.

Exercice 1 (5 pts) — f(x) = ln(x + √(1 + x²))

La fonction est bien définie sur IR car √(1 + x²) > √(x²) = |x| ≥ −x, donc x + √(1 + x²) > 0.

1) Limite en +∞

Quand x → +∞ : x → +∞ et √(1 + x²) → +∞, donc x + √(1 + x²) → +∞ et lim_x→+∞ f(x) = +∞.

2) a) f(x) + f(−x) et imparité

f(x) + f(−x) = ln[(x + √(1 + x²))(−x + √(1 + x²))] = ln[(1 + x²) − x²] = ln 1 = 0.

Donc pour tout x de IR (IR est symétrique par rapport à 0) : f(−x) = −f(x) : f est impaire.

2) b) Limite en −∞

Par imparité : lim_x→−∞ f(x) = lim_t→+∞ f(−t) = −lim_t→+∞ f(t) = −∞.

3) Limite de f(x)/x en +∞

Pour x > 0 : x + √(1 + x²) = x(1 + √(1/x² + 1)), donc f(x) = ln x + ln(1 + √(1 + 1/x²)).

f(x)/x = (ln x)/x + ln(1 + √(1 + 1/x²))/x. Or (ln x)/x → 0 et ln(1 + √(1 + 1/x²)) → ln 2, donc le second terme → 0.

lim_x→+∞ f(x)/x = 0 (la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses).

Exercice 2 (5 pts) — Suite u_n+1 = u_n² / (1 + 2u_n)

Remarque : l'énoncé imprime « (n ≥ 1) », mais la relation doit s'appliquer dès n = 0 (sinon u₁ n'est pas défini) ; on la prend pour tout n de IN. Par récurrence immédiate, u_n > 0 pour tout n (u₀ = 1 > 0, et si u_n > 0 alors u_n+1 > 0), donc v_n est bien défini.

1) (v_n) est géométrique

1 + u_n+1 = (1 + 2u_n + u_n²)/(1 + 2u_n) = (1 + u_n)²/(1 + 2u_n).

Donc u_n+1/(1 + u_n+1) = u_n²/(1 + u_n)² = [u_n/(1 + u_n)]².

En prenant le logarithme : v_n+1 = 2 ln(u_n/(1 + u_n)) = 2 v_n.

(v_n) est donc géométrique de raison 2, de premier terme v₀ = ln(1/2) = −ln 2.

2) v_n puis u_n en fonction de n

v_n = −2ⁿ ln 2.

u_n/(1 + u_n) = e^v_n = 2⁻²ⁿ. Posons q = 2⁻²ⁿ : u_n = q(1 + u_n) ⇒ u_n(1 − q) = q ⇒ u_n = q/(1 − q).

u_n = 1 / (2²ⁿ − 1).

Vérification : n = 0 → 1/(2 − 1) = 1 = u₀ ; n = 1 → 1/(4 − 1) = 1/3, et u₁ = 1/(1 + 2) = 1/3. ✔

Exercice 3 (5 pts) — Intégrales I et J

I = ∫₀^ln16 (e^x + 3)/(e^x + 4) dx et J = ∫₀^ln16 1/(e^x + 4) dx.

1) Calcul de I − 3J et de I + J

I − 3J = ∫₀^ln16 (e^x + 3 − 3)/(e^x + 4) dx = ∫₀^ln16 e^x/(e^x + 4) dx = [ln(e^x + 4)]₀^ln16 = ln 20 − ln 5 = ln 4 = 2 ln 2.

I + J = ∫₀^ln16 (e^x + 4)/(e^x + 4) dx = ∫₀^ln16 1 dx = ln 16 = 4 ln 2.

2) Valeurs de I et J

Par soustraction : (I + J) − (I − 3J) = 4J = 4 ln 2 − 2 ln 2 = 2 ln 2, d'où J = (ln 2)/2.

Puis I = 4 ln 2 − J = (7 ln 2)/2.

Exercice 4 (5 pts) — Deux urnes

U₁ : 2 noires, 4 blanches (6 boules). U₂ : 3 noires, 2 blanches (5 boules). On choisit une urne au hasard : p(U₁) = p(U₂) = 1/2, puis on tire deux boules (simultanément). Notons N l'événement « les deux boules sont noires ».

1) Probabilité que les deux boules soient noires sachant qu'elles viennent de U₁

p(N | U₁) = C₂² / C₆² = 1/15.

2) Probabilité qu'elles proviennent de U₁ sachant qu'elles sont noires

p(N | U₂) = C₃² / C₅² = 3/10.

Formule des probabilités totales : p(N) = (1/2)(1/15) + (1/2)(3/10) = 1/30 + 3/20 = 2/60 + 9/60 = 11/60.

Formule de Bayes : p(U₁ | N) = p(U₁ ∩ N)/p(N) = (1/30)/(11/60) = 2/11.