Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat 2006 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année des études de médecine de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Rabat (Université Mohammed V – Souissi), mardi 25 juillet 2006. Durée : 30 minutes. Quatre exercices notés chacun sur 5 points : fonction logarithme, suite, intégrales, probabilités. Voici une correction proposée, avec la démarche.

💡 Quatre exercices en 30 minutes : environ 7 minutes chacun. Les questions sont enchaînées (« montrer que… », « en déduire… ») : utilisez toujours le résultat donné, même si vous n'avez pas su le démontrer.

Exercice 1 — f(x) = ln(e^2x + 2e^x)

1) Résolution de f(x) = 0

f(x) = 0 ⇔ e^2x + 2e^x = 1. On pose t = e^x > 0 : t² + 2t – 1 = 0, Δ = 8, t = –1 ± √2. Seule t = √2 – 1 est positive.

e^x = √2 – 1 ⇔ x = ln(√2 – 1). (S = {ln(√2 – 1)})

2) Deux écritures de f(x)

• e^2x + 2e^x = e^2x(1 + 2e^–x), donc f(x) = ln(e^2x) + ln(1 + 2e^–x) = 2x + ln(1 + 2e^–x).

• e^2x + 2e^x = 2e^x(1 + ½e^x), donc f(x) = ln 2 + x + ln(1 + ½e^x) = x + ln 2 + ln(1 + ½e^x).

3) Limites

En –∞ (deuxième écriture) : e^x → 0, donc ln(1 + ½e^x) → 0 et x + ln 2 → –∞ : lim_x→–∞ f(x) = –∞.

En +∞ (première écriture) : e^–x → 0, donc ln(1 + 2e^–x) → 0 et 2x → +∞ : lim_x→+∞ f(x) = +∞.

4) Asymptotes

f(x) – 2x = ln(1 + 2e^–x) → 0 quand x → +∞ : la droite y = 2x est asymptote à C en +∞.

f(x) – (x + ln 2) = ln(1 + ½e^x) → 0 quand x → –∞ : la droite y = x + ln 2 est asymptote à C en –∞.

(De plus, ces deux différences sont positives : C est au-dessus de ses deux asymptotes.)

Exercice 2 — u₀ = 1, u_n+1 = √(u_n + 1) – 1, v_n = ln(u_n + 1)

1) (v_n) est géométrique

u_n+1 + 1 = √(u_n + 1), donc v_n+1 = ln√(u_n + 1) = ½·ln(u_n + 1) = ½·v_n.

(v_n) est géométrique de raison ½, de premier terme v₀ = ln(1 + 1) = ln 2. (u_n + 1 > 0 pour tout n, par récurrence, car c'est une racine carrée d'un nombre positif non nul.)

2) v_n et u_n en fonction de n

v_n = ln 2 × (½)ⁿ = ln 2 / 2ⁿ.

u_n + 1 = e^v_n, donc u_n = e^{ln 2 / 2n} – 1 = 2^1/2n – 1.

3) Limite

v_n → 0 (raison ½ ∈ ]–1 ; 1[), donc u_n → e⁰ – 1 = 0.

Exercice 3 — Intégrales I, J, K

1) I + J = K

Par linéarité : I + J = ∫₀¹ (1 + x²)/√(x² + 1) dx = ∫₀¹ √(x² + 1) dx = K, car (1 + x²)/√(1 + x²) = √(1 + x²).

2) a) Dérivée de f(x) = ln(x + √(x² + 1))

f'(x) = [1 + x/√(x² + 1)] / (x + √(x² + 1)) = [(√(x² + 1) + x)/√(x² + 1)] / (x + √(x² + 1)) = 1/√(x² + 1).

2) b) Valeur de I

f est une primitive de 1/√(x² + 1), donc I = f(1) – f(0) = ln(1 + √2) – ln 1 = ln(1 + √2).

3) a) Dérivée de g(x) = x√(x² + 1)

g'(x) = √(x² + 1) + x·x/√(x² + 1) = √(x² + 1) + x²/√(x² + 1).

3) b) J + K = √2

En intégrant g' sur [0 ; 1] : ∫₀¹ g'(x) dx = K + J, et c'est aussi g(1) – g(0) = √2 – 0. Donc J + K = √2.

4) Calcul de J et K

On a le système : K – J = I = ln(1 + √2) et K + J = √2.

K = [√2 + ln(1 + √2)] / 2 et J = [√2 – ln(1 + √2)] / 2.

Exercice 4 — Dé et urnes

Le dé est équilibré : P(pair) = 3/6 = ½ et P(impair) = ½.

• Urne U (2 blanches, 3 noires) : P(B | pair) = 2/5.
• Urne V (3 blanches, 2 noires) : P(B | impair) = 3/5.

Formule des probabilités totales : P(B) = ½ × 2/5 + ½ × 3/5 = 1/5 + 3/10 = ½.