Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2012 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès 2012 de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II). Durée : 30 minutes, cinq questions : lecture graphique d'une fonction et de sa dérivée, ensemble de points dans le plan complexe, limites, intégrales et suite. Voici une correction proposée avec les calculs.

💡 Lecture graphique : pour reconnaître la courbe de f', repérez les points où f admet un extremum (f' s'y annule) et le signe de la pente de f autour de 0. Trois indices concordants valent mieux qu'une impression d'ensemble.

I — Fonction f et courbes

1. Courbe de f' : la courbe 4

• f est croissante autour de 0 avec une forte pente : f'(0) > 0. Les courbes 2 et 3 donnent une valeur négative en 0 : elles sont exclues.
• f admet un minimum vers x ≈ −0,35 et un maximum vers x ≈ 0,35 : f' doit s'annuler en ces points, ce que fait la courbe 4.
• Près de ±1/2, la courbe de f devient verticale en décroissant : f' tend vers −∞, comme la courbe 4.

Réponse : courbe 4. (La courbe 1 correspond d'ailleurs exactement à f(x) = 5x√(1 − 4x²) : f(−2/5) = −6/5, f'(x) = 5(1 − 8x²)/√(1 − 4x²), f'(0) = 5.)

2. Oui / non

• a — Non. Sur ]−1/2 ; 0[, f' (courbe 4) est croissante, donc f'' > 0 (et non négative).
• b — Oui. f' admet un maximum en x = 0, donc f''(0) = 0 (point d'inflexion de C_f à l'origine).

3. Tangente en A(−2/5 ; −6/5) (réponse probable)

Équation : y = f'(−2/5)·(x + 2/5) − 6/5.

Avec l'expression qui correspond à la courbe, f'(−2/5) = 5(1 − 8 × 4/25)/√(1 − 16/25) = 5 × (−7/25)/(3/5) = −7/3 (la courbe 4 donne une valeur voisine, autour de −2,3 à −2,5).

y = −(7/3)x − 32/15

Le sujet attend une lecture de f'(−2/5) sur la courbe 4 : la méthode (formule de la tangente) est ce qui compte ; la valeur exacte −7/3 est la plus probable.

II — Ensemble des points M

z̄ − 3 + 2i est le conjugué de z − 3 − 2i, et un nombre et son conjugué ont le même module : |z̄ − 3 + 2i| = |z − (3 + 2i)| = 2.

L'ensemble des points M est le cercle de centre Ω(3 + 2i), soit Ω(3 ; 2), et de rayon 2.

III — Limites

• lim_x→+∞ √(4x² + x − 1) − 2x = lim (x − 1)/(√(4x² + x − 1) + 2x) = lim (1 − 1/x)/(√(4 + 1/x − 1/x²) + 2) = 1/4.
• lim_x→+∞ √(x − 2) − √(3x² + x) = lim x·(√(1/x − 2/x²) − √(3 + 1/x)) = −∞ (le facteur entre parenthèses tend vers −√3).

IV — Intégrales

• x⁴ + 2x² + 1 = (x² + 1)², et x/(x² + 1)² est de la forme u'/(2u²) avec u = x² + 1 :
  ∫₀¹ x/(x² + 1)² dx = [−1/(2(x² + 1))]₀¹ = −1/4 + 1/2 = 1/4.
• cos⁴x·sin x = −u'·u⁴ avec u = cos x :
  ∫₀^π cos⁴x·sin x dx = [−cos⁵x/5]₀^π = 1/5 + 1/5 = 2/5.

V — Suite définie par ln(U_n+1) = 2 + ln(U_n)

1. ln U₁ = 2 + ln 2 ⇒ U₁ = 2e².
2. ln U_n+1 = ln(e²) + ln U_n = ln(e²·U_n) ⇒ U_n+1 = e²·U_n : suite géométrique de raison e², donc U_n = 2e²ⁿ.
3. U_n+1 − U_n = (e² − 1)U_n > 0 car U_n > 0 : (U_n) est strictement croissante.
4. Raison e² > 1 et U₀ > 0 : lim U_n = +∞.