Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2010 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès 2010 de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II). Durée : 30 minutes, cinq questions : fonction définie par morceaux, fonction logarithme, limites, intégrales et suite arithmético-géométrique. Voici une correction proposée avec les calculs.

💡 Vrai/Faux : factorisez d'abord la dérivée donnée ; toutes les propositions sur les variations et les tangentes horizontales se lisent ensuite dans un seul tableau de signes.

I — Fonction définie par morceaux

1. Valeur de a

f(7) = (49 − 42 − 7)/(14 + 4) = 0. Continuité à droite en 7 : lim_x→7⁺ (x − a)² − 4 = (7 − a)² − 4 = f(7) = 0.

(7 − a)² = 4 ⇒ 7 − a = ±2 ⇒ a = 5 ou a = 9. Comme a > 7 : a = 9.

2. Vrai ou faux

Pour x ≤ 7 (x ≠ −2) : f'(x) = 2(x² + 4x − 5)/(4(x + 2)²) = (x + 5)(x − 1)/(2(x + 2)²), du signe de (x + 5)(x − 1) : f est croissante sur ]−∞ ; −5], décroissante sur [−5 ; −2[ et sur ]−2 ; 1], croissante sur [1 ; 7].

• a — Faux : f décroît sur [−5 ; −2[ et ]−2 ; 1], qui sont inclus dans ]−∞ ; 5]. (La proposition serait vraie avec ]−∞ ; −5].)
• b — Vrai : division euclidienne, x² − 6x − 7 = (2x + 4)(x/2 − 4) + 9, donc f(x) = x/2 − 4 + 9/(2x + 4), et 9/(2x + 4) → 0 quand x → −∞. La droite y = x/2 − 4 est asymptote oblique en −∞.
• c — Vrai : avec a = 9, f(x) = (x − 9)² − 4 sur ]7 ; 9], de dérivée 2(x − 9) < 0 ; f est continue en 7, donc décroissante sur [7 ; 9] (de 0 à −4).

3. Tangentes horizontales

f' s'annule en x = −5 et x = 1 (branche x ≤ 7) et en x = 9 (branche x > 7, où f'(x) = 2(x − 9)).

• f(−5) = (25 + 30 − 7)/(−10 + 4) = 48/(−6) = −8 ⇒ A(−5 ; −8)
• f(1) = (1 − 6 − 7)/6 = −2 ⇒ B(1 ; −2)
• f(9) = 0 − 4 = −4 ⇒ C(9 ; −4)

II — h(x) = ln(e^2x + 1)

1. Écriture juste : h(x) = 2x + ln(1 + e^−2x)

e^2x + 1 = e^2x(1 + e^−2x), donc h(x) = ln(e^2x) + ln(1 + e^−2x) = 2x + ln(1 + e^−2x). Les autres écritures confondent ln(a + b) avec ln a + ln b ou sont fausses dès x = 0 (h(0) = ln 2).

2. Vrai ou faux

• a — Vrai : h = ln ∘ u avec u(x) = e^2x + 1, strictement croissante sur ℝ, et ln strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
• b — Vrai : en −∞, e^2x → 0 donc h(x) → ln 1 = 0 ; l'axe des abscisses est asymptote horizontale en −∞.
• c — Faux : h(x) − 2x = ln(1 + e^−2x) tend vers 0 en +∞ ; la droite y = 2x est asymptote en +∞, pas en −∞.
• d — Faux : e^2x + 1 > 1 donc h(x) > 0 : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.

III — Limites

• lim_x→1 (x − 1)/(x² + 4x − 5) = lim (x − 1)/((x − 1)(x + 5)) = lim 1/(x + 5) = 1/6.
• lim_x→+∞ √(x² + 2) − x = lim 2/(√(x² + 2) + x) = 0.

IV — Intégrales

∫₁³ |2x² − 8| dx : 2x² − 8 = 2(x − 2)(x + 2) est négatif sur [1 ; 2] et positif sur [2 ; 3].

• ∫₁² (8 − 2x²) dx = [8x − 2x³/3]₁² = (16 − 16/3) − (8 − 2/3) = 10/3
• ∫₂³ (2x² − 8) dx = [2x³/3 − 8x]₂³ = (18 − 24) − (16/3 − 16) = 14/3

Total : 10/3 + 14/3 = 8.

∫₀^π/2 (3cos 4x + 2sin 2x) dx = [(3/4)sin 4x − cos 2x]₀^π/2 = (0 − cos π) − (0 − cos 0) = 1 + 1 = 2.

V — Suite (X_n)

1. Nature et raison de (U_n)

U_n+1 = X_n+1 − 30 = (2/3)X_n − 20 = (2/3)(X_n − 30) = (2/3)U_n.

(U_n) est géométrique de raison 2/3, de premier terme U₀ = 40 − 30 = 10. D'où U_n = 10·(2/3)ⁿ et X_n = 30 + 10·(2/3)ⁿ.

2. Sens de variation de (X_n)

X_n+1 − X_n = U_n+1 − U_n = −(1/3)U_n = −(10/3)(2/3)ⁿ < 0 : (X_n) est strictement décroissante.

3. Limite

0 < 2/3 < 1 donc (2/3)ⁿ → 0 : lim X_n = 30.