Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca 2009 — Mathématiques (version française)

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès 2009 de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II). Durée : 30 minutes, 6 questions à réponses courtes (cadres, vrai/faux, cases à cocher) : fonction trigonométrique, limites, nombres complexes, intégrales, sphère, probabilités. Voici une correction proposée, avec les calculs.

💡 Question I : remarquez que cos⁴x − 2cos²x = (cos²x − 1)² − 1 = sin⁴x − 1. Cette simplification donne en quelques secondes la parité, la dérivée et le sens de variation.

I- f(x) = cos⁴x − 2cos²x

1) Domaine de définition

cos est définie sur IR : D_f = IR.

2) Axe de symétrie de C_f

Pour tout x ∈ IR, −x ∈ IR et cos(−x) = cos x, donc f(−x) = f(x) : f est paire et C_f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, d'équation x = 0.

(Comme f(x) = sin⁴x − 1 est π-périodique et paire, les droites x = kπ/2, k ∈ ℤ, sont aussi des axes de symétrie ; la réponse attendue est x = 0.)

3) Vrai ou faux

f'(x) = 4cos³x·(−sin x) − 4cos x·(−sin x) = 4 sin x cos x (1 − cos²x) = 4 sin³x cos x (ou directement : f = sin⁴x − 1, f' = 4 sin³x cos x).

• a- Vrai. Sur [0, π/4] : sin x ≥ 0 et cos x > 0, donc f'(x) ≥ 0 (nul seulement en 0) : f est croissante.
• b- Vrai. f'(π) = 4 sin³π · cos π = 0, car sin π = 0.

II- Limites

lim_x→+∞ cos[((π/2)x + 2)/(2x − 1)] : le quotient tend vers (π/2)/2 = π/4 (rapport des termes de plus haut degré) et cos est continue, donc la limite vaut cos(π/4) = √2/2.

lim_x→+∞ (√3 − √(x² − x))/√(2x) : pour x > 1, √(x² − x) = x√(1 − 1/x), donc

(√3 − √(x² − x))/√(2x) = √3/√(2x) − (√x/√2)·√(1 − 1/x).

Le premier terme tend vers 0, le second vers +∞ : la limite est −∞.

III- Z = z₁/z₂ avec z₁ = 1 − i√3 et z₂ = 1 − i

z₁ = 2(1/2 − i√3/2) = 2e^−iπ/3 ; z₂ = √2(√2/2 − i√2/2) = √2·e^−iπ/4.

|Z| = 2/√2 = √2 ; arg Z ≡ −π/3 − (−π/4) = −π/12 [2π].

IV- Intégrales (intégration par parties)

∫₀² x e^−x/2 dx : u = x, v' = e^−x/2, donc u' = 1, v = −2e^−x/2.

= [−2x e^−x/2]₀² + 2∫₀² e^−x/2 dx = −4e⁻¹ + 2[−2e^−x/2]₀² = −4/e + 2(−2/e + 2) = 4 − 8/e.

∫₀^π/4 x cos 2x dx : u = x, v' = cos 2x, donc u' = 1, v = (sin 2x)/2.

= [x sin 2x / 2]₀^π/4 − ∫₀^π/4 (sin 2x)/2 dx = π/8 − [−(cos 2x)/4]₀^π/4 = π/8 − (0 + 1/4) = π/8 − 1/4.

V- Sphère (S) de centre Ω(3, 0, 1) passant par A(2, 1, 1)

1- Rayon

r = ΩA = √[(2 − 3)² + (1 − 0)² + (1 − 1)²] = √2. Équation : (x − 3)² + y² + (z − 1)² = 2.

2- Intersection de (S) et (D)

On remplace x = 3 + t, y = −2 − t, z = 1 + t dans l'équation de (S) :

t² + (−2 − t)² + t² = 2 ⇔ 3t² + 4t + 4 = 2 ⇔ 3t² + 4t + 2 = 0.

Δ = 16 − 24 = −8 < 0 : pas de solution. L'intersection est vide : (S) ∩ (D) = ∅ (la droite est extérieure à la sphère).

VI- Deux paniers

S₁ contient 10 boules, S₂ 12 boules, 10 boules noires au total. On choisit un panier au hasard (probabilité 1/2 chacun) puis une boule. « Une boule noire provenant de S₁ » est l'événement N ∩ S₁ (la boule est noire et vient de S₁).

1- Faux (réponse probable)

Si S₁ contient n₁ boules noires : p(N ∩ S₁) = (1/2)(n₁/10) = 1/5 ⇒ n₁ = 4, et non 2.

2- Vrai (réponse probable)

Si S₂ contient r₂ boules rouges : p(R ∩ S₂) = (1/2)(r₂/12) = 1/3 ⇒ r₂ = 8.

Remarque : si l'on comprenait « provenant de S₁ » comme une probabilité conditionnelle (le panier étant déjà connu), on trouverait n₁ = 10 × 1/5 = 2 (vrai) et r₂ = 12 × 1/3 = 4 (faux), c'est-à-dire les réponses inverses. L'énoncé précise qu'on choisit d'abord un panier au hasard : c'est la lecture « intersection » qui utilise cette donnée.