Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2008 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès 2008 de la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II). Durée : 30 minutes, 6 questions (nombres complexes, étude de fonction, limites, intégrales, suites), réponses à écrire dans les cases. Voici une correction proposée, avec les calculs.

💡 Pour les nombres complexes, passez systématiquement par la forme exponentielle : puissances et quotients deviennent des calculs de modules et d'arguments, bien plus rapides.

I — Forme algébrique de z = (√3 – i)³ / (1 + i)⁴

√3 – i = 2e^–iπ/6, donc (√3 – i)³ = 8e^–iπ/2 = –8i.

(1 + i)² = 2i, donc (1 + i)⁴ = (2i)² = –4.

z = –8i / (–4) = 2i.

II — Module et argument de z = (1 – √3)·e^iπ/3

Attention : 1 – √3 < 0, ce n'est donc pas un module. On écrit 1 – √3 = (√3 – 1)·(–1) = (√3 – 1)·e^iπ :

z = (√3 – 1)·e^{i(π/3 + π)} = (√3 – 1)·e^i4π/3.

|z| = √3 – 1 ; arg z = 4π/3 [2π] (soit –2π/3 [2π]).

III — f(x) = –x√(16 – 4x²) : vrai ou faux

Domaine : 16 – 4x² ≥ 0 ⇔ x ∈ [–2 ; 2]. Pour x ∈ ]–2 ; 2[ :

f'(x) = –√(16 – 4x²) – x·(–8x)/(2√(16 – 4x²)) = [–(16 – 4x²) + 4x²]/√(16 – 4x²) = 8(x² – 2)/√(16 – 4x²).

f' s'annule en x = ±√2, est positive pour |x| > √2 et négative pour |x| < √2.

• a- VRAI : f' ≥ 0 sur ]–2 ; –√2] et f est continue en –2, donc f est croissante sur [–2 ; –√2].
• b- VRAI : de même, f' ≥ 0 sur [√2 ; 2[, f croissante sur [√2 ; 2].
• c- FAUX : f' s'annule pour x = ±√2, et non ±√2/2 (en √2/2, x² – 2 = –3/2 ≠ 0).
• d- FAUX (réponse probable) : f'(x) < 0 sur l'intervalle ouvert ]–√2 ; √2[, mais aux bornes f'(±√2) = 0, donc l'inégalité stricte n'est pas vérifiée sur l'intervalle fermé [–√2 ; √2]. Si l'on ne tient pas compte des bornes, on retiendrait « vrai » : lisez bien les crochets le jour du concours.

IV — Limites

lim_x→0 (4 – 2/x)·ln(1 + 3x) : on développe (4 – 2/x)·ln(1 + 3x) = 4 ln(1 + 3x) – 2·ln(1 + 3x)/x. Or ln(1 + 3x) → 0 et ln(1 + 3x)/x → 3 (limite usuelle ln(1 + u)/u → 1). La limite vaut 0 – 2 × 3 = –6.

lim_x→+∞ 2√x / (x³ + 2x – 5) : au voisinage de +∞, le quotient se comporte comme 2√x/x³ = 2/x^5/2 → 0.

V — Intégrales

1) ∫₀² dx / [√(2 – x)·cos²(√(2 – x))]

On pose u(x) = √(2 – x) ; u'(x) = –1/(2√(2 – x)). L'intégrande s'écrit –2u'(x)/cos²(u(x)), dont une primitive est F(x) = –2 tan(√(2 – x)) (définie car √(2 – x) ∈ [0 ; √2] et √2 < π/2).

∫ = F(2) – F(0) = –2 tan 0 + 2 tan √2 = 2 tan(√2) (≈ 12,7).

2) ∫₀¹ √2(6x² + 8x) / [2√(2(x³ + 2x²))] dx

On pose v(x) = 2(x³ + 2x²) = 2x³ + 4x² ; v'(x) = 6x² + 8x. L'intégrande vaut √2·v'/(2√v), dont une primitive est √2·√v(x).

∫ = √2·[√(2x³ + 4x²)]₀¹ = √2·√6 – 0 = √12 = 2√3.

VI — Suites U₀ = e, U_n+1 = ∛U_n, V_n = ln U_n

1) V_n en fonction de n

V_n+1 = ln(U_n^1/3) = (1/3)·ln U_n = (1/3)V_n : suite géométrique de raison 1/3 et de premier terme V₀ = ln e = 1. Donc V_n = (1/3)ⁿ.

2) U_n en fonction de n

U_n = e^V_n = e^(1/3)n.

3) P_n en fonction de S_n

S_n = V₀ + … + V_n = [1 – (1/3)ⁿ⁺¹]/(1 – 1/3) = (3/2)[1 – (1/3)ⁿ⁺¹].

Le sujet imprime P_n avec des signes « + », mais une expression en fonction de S_n n'existe que pour le produit P_n = U₀ × U₁ × … × U_n (d'où la lettre P) : le logarithme transforme ce produit en la somme S_n.

ln P_n = ln U₀ + … + ln U_n = S_n, donc P_n = e^S_n = e^{(3/2)[1 – (1/3)n+1]} (réponse probable, compte tenu de la coquille de l'énoncé).