Modèle concours d'accès — Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2006 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Concours d'accès aux grandes écoles organisé par Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) (2006), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II)
- Grade
- Concours d'accès aux grandes écoles
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2006
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
— صفحة 1 — UNVERSITE HASSAN IT N° de table : FACULTE DE MEDECINE CASABLANCAI Concours d’entrée 2006 An onymat Epreuve de mathématiques Nom et prénom 1 a ra ec Ta Date 3608553106 7 اماما لاه افا لاا seu تممه مام مام ام عاو لام م اممة اع مع العامة لاما مامالا CETTE Signature obligatoire تتيي يميا ليت رم تم يي Concours d’entrée 2006 Epreuve de mathématiques Anonymat Nombre de questions : 6 I- On considère la fonction définie par : x2-3x +3 بدن et Crest la courbe représentative de la fonction f 2x -2 Donner les équations des asymptotes à C;: II- On considère la fonction numérique fn de la variable réelle x définie par: 2-4 m x 2 2 lim fin (x) = 1- Calculer x 2- Calculer lim fr(x) en O dans les cas suivants : m‹0 : lim جوم m=0 : lim fa(x)= m›0 : lim جوم 3- Déterminer la fonction dérivée f 'm (x) : 4- Compléter, suivant les valeurs de m, le tableau de variation de la fonction f(x) m=0 5- Trouver le point A(x,y) qui appartient à toutes les courbes de f(x) : A( ابام ابام نماذج المباريات من موقع و wadifa-info.com af — صفحة 2 — 111- On considère dans le plan complexe un point M d’affixe Z. Déterminer l’ensemble E des points M qui vérifie la condition suivante : | 2-3 + 4i|=|Z +6| L’ensemble E est : IV- On considère dans C l'équation (8) : Z* — 423+ 1422 - 36Z + 45 =0 Résoudre dans C l'équation (8) sachant qu’elle admet 2 solutions imaginaires pures : Z3= Za= V- On considère les suites (Un) بهم €t (Vn) nen définies comme suit : U=0 ا Un+4 Vn= Un-2 2- Ecrire V, en fonction de n : حل 3- Calculer : VI- Un individu se présente à une administration et cherche le secrétariat. Le palier comporte 4 portes identiques dont l'une est celle du secrétariat. Calculer les probabilités P(A1), P(A2), P(A3), P(A4) des évènements suivants: - Ay: il trouve la porte du secrétariat au 1" تمي | |P(An) - Az: il trouve la porte du secrétariat au 2“"° essai P(A2) = 3- Az: il trouve la porte du secrétariat au 3“" essai P(A3) = 4- A4: il trouve la porte du secrétariat au 4*"° essai نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو wadifa-info.com
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée 2006 de la Faculté de Médecine de Casablanca (Université Hassan II). Le sujet annonce 6 questions (fonctions, nombres complexes, suites, probabilités), à remplir directement dans les cases. Voici une correction proposée, avec la démarche.
💡 Sur la copie on ne demande que le résultat dans la case, mais chaque résultat s'obtient par un calcul court : faites-le au brouillon et vérifiez-le (par exemple en remplaçant une valeur particulière).
I — Asymptotes de Cf, f(x) = (x² – 3x + 3) / (2x – 2)
Asymptote verticale : le dénominateur s'annule en x = 1 et le numérateur y vaut 1 – 3 + 3 = 1 ≠ 0, donc lim f(x) = ±∞ quand x → 1 : x = 1 est asymptote verticale.
Asymptote oblique : division euclidienne : x² – 3x + 3 = (2x – 2)(x/2 – 1) + 1, d'où f(x) = x/2 – 1 + 1/(2x – 2). Comme 1/(2x – 2) → 0 en ±∞, la droite y = x/2 – 1 est asymptote oblique en +∞ et en –∞.
II — fm(x) = (x² – 4)/4 – (m/2)·ln(x/2), définie sur ]0 ; +∞[
1) Limite en +∞
fm(x) = x²[1/4 – 1/x² – (m/2)·ln(x/2)/x²] et ln(x/2)/x² → 0, donc lim fm(x) = +∞ quand x → +∞, quel que soit m.
2) Limite en 0+
(x² – 4)/4 → –1 et ln(x/2) → –∞, donc –(m/2)·ln(x/2) a le signe de m et tend vers l'infini :
- m < 0 : lim fm(x) = –∞
- m = 0 : f0(x) = (x² – 4)/4, lim = –1
- m > 0 : lim fm(x) = +∞
3) Dérivée
f'm(x) = 2x/4 – (m/2)·(1/x) = (x² – m) / (2x).
4) Tableaux de variation
Sur ]0 ; +∞[, 2x > 0 : le signe de f'm est celui de x² – m.
| Cas | Signe de f'm | Variations |
|---|---|---|
| m < 0 | x² – m > 0 : f'm > 0 | strictement croissante de –∞ (en 0+) à +∞ |
| m = 0 | f'0(x) = x/2 > 0 | strictement croissante de –1 (en 0+, non atteint) à +∞ |
| m > 0 | négatif sur ]0 ; √m[, positif sur ]√m ; +∞[ | décroissante de +∞ à fm(√m), puis croissante jusqu'à +∞ |
Pour m > 0, le minimum vaut fm(√m) = (m – 4)/4 – (m/4)·ln(m/4).
5) Point commun à toutes les courbes
A(x, y) appartient à toutes les courbes si fm(x) ne dépend pas de m, c'est-à-dire si ln(x/2) = 0, soit x = 2 ; alors y = (4 – 4)/4 = 0. A(2 ; 0).
III — Ensemble E : |Z – 3 + 4i| = |Z + 6|
|Z – (3 – 4i)| = |Z – (–6)| signifie BM = CM avec B(3 ; –4) et C(–6 ; 0) : E est la médiatrice du segment [BC].
Équation : avec Z = x + iy, (x – 3)² + (y + 4)² = (x + 6)² + y² ⇔ –6x + 8y + 25 = 12x + 36 ⇔ 18x – 8y + 11 = 0. (Vérification : le milieu (–3/2 ; –2) de [BC] vérifie bien –27 + 16 + 11 = 0.)
IV — Z⁴ – 4Z³ + 14Z² – 36Z + 45 = 0
On pose Z = iy (y réel). Comme (iy)⁴ = y⁴, (iy)³ = –iy³ et (iy)² = –y², l'équation devient y⁴ + 4iy³ – 14y² – 36iy + 45 = 0.
- Partie imaginaire : 4y³ – 36y = 0 ⇔ 4y(y² – 9) = 0 ⇔ y = ±3 (y = 0 est exclu car 45 ≠ 0).
- Partie réelle pour y = ±3 : 81 – 126 + 45 = 0 ✓.
Donc Z² + 9 divise le polynôme : Z⁴ – 4Z³ + 14Z² – 36Z + 45 = (Z² + 9)(Z² – 4Z + 5). Pour Z² – 4Z + 5 = 0 : Δ = 16 – 20 = –4 = (2i)², Z = (4 ± 2i)/2 = 2 ± i.
Z1 = 3i ; Z2 = –3i ; Z3 = 2 + i ; Z4 = 2 – i.
V — Suites U0 = 0, Un+1 = (Un + 4)/(Un + 1), Vn = (Un – 2)/(Un + 2)
1) Nature de (Vn)
Vn+1 = (Un+1 – 2)/(Un+1 + 2). En multipliant numérateur et dénominateur par (Un + 1) :
Vn+1 = (Un + 4 – 2Un – 2)/(Un + 4 + 2Un + 2) = (2 – Un)/(3Un + 6) = –(1/3)·(Un – 2)/(Un + 2) = –(1/3)·Vn.
(Vn) est une suite géométrique de raison q = –1/3 et de premier terme V0 = (0 – 2)/(0 + 2) = –1.
2) Vn en fonction de n
Vn = –(–1/3)n.
3) Limites
|–1/3| < 1 donc lim Vn = 0.
De Vn(Un + 2) = Un – 2 on tire Un = 2(1 + Vn)/(1 – Vn), donc lim Un = 2.
VI — Probabilités (4 portes identiques, une seule est celle du secrétariat)
On suppose, comme le veut la situation, que l'individu n'ouvre pas deux fois une porte qu'il a déjà essayée (il élimine chaque mauvaise porte).
- P(A1) = 1/4 : une bonne porte sur 4.
- P(A2) = 3/4 × 1/3 = 1/4 : échec au 1er essai, puis une bonne porte sur les 3 restantes.
- P(A3) = 3/4 × 2/3 × 1/2 = 1/4.
- P(A4) = 3/4 × 2/3 × 1/2 × 1 = 1/4.
Contrôle : la somme vaut 1, puisqu'il trouve forcément la porte en 4 essais au plus.
💡 Réponse probable : si l'on considérait au contraire que chaque essai se fait au hasard parmi les 4 portes (avec risque de rouvrir une mauvaise porte), on aurait P(Ak) = (3/4)k–1 × 1/4, soit 1/4 ; 3/16 ; 9/64 ; 27/256. L'énoncé (« il cherche le secrétariat ») oriente vers la première lecture, sans remise.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Le corrigé est-il inclus ?
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
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