Devoir 2 semestre 1 Mathématiques 3e année collège avec corrigé

Niveau	3e année collège
Matière	Mathématiques
Semestre	semestre 1
Devoir	Devoir n° 2
Durée	1 heure
Barème	sur 20
Leçons	Ordre et opérations, Théorème de Thalès et sa réciproque, Trigonométrie (rapports trigonométriques et relations)
Programme	MEN : Programmes et orientations pédagogiques de l'enseignement des mathématiques au cycle secondaire collégial ; avec le Cadre de référence de l'examen régional normalisé du cycle collégial 2025 – Mathématiques (CNEE), qui limite l'examen régional au programme du semestre 2 : équations et inéquations, systèmes, fonctions linéaires et affines, statistiques, translation, géométrie analytique, géométrie dans l'espace

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

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Énoncé

Exercice 1 : ordre et opérations (5 pts)

Comparer les deux nombres dans chaque cas : 3√2 et 2√5 ; 2/7 et 3/11
x et y sont deux nombres réels tels que : 1 ≤ x ≤ 3 et 2 ≤ y ≤ 5.
Encadrer : x + y ; x − y ; 2x − 3y ; xy
Sachant que 1,41 < √2 < 1,42, donner un encadrement du nombre 3√2 − 1.

Exercice 2 : théorème de Thalès et sa réciproque (6 pts)

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 10 cm et BC = 12 cm. M est un point du segment [AB] tel que AM = 3 cm ; la parallèle à (BC) passant par M coupe [AC] au point N.

Calculer AN.
Calculer MN.
E est un point de [AB] et F un point de [AC] tels que AE = 2 cm et AF = 2,5 cm. Montrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
P est un point de [AC] tel que AP = 4 cm. Les droites (EP) et (BC) sont-elles parallèles ? Justifier.

Exercice 3 : trigonométrie (5 pts)

EFG est un triangle rectangle en E tel que : EF = 6 cm et FG = 10 cm.

Montrer que EG = 8 cm.
Calculer cos F̂, sin F̂ et tan F̂.
Vérifier que : cos²F̂ + sin²F̂ = 1.
α est la mesure d'un angle aigu tel que sin α = 5/13. Calculer cos α puis tan α.

Exercice 4 : relations trigonométriques (4 pts)

Calculer sans calculatrice : A = sin²37° + sin²53° ; B = tan 25° × tan 65°
x est la mesure d'un angle aigu. Montrer que : (cos x + sin x)² + (cos x − sin x)² = 2
Montrer que : (1 − cos x)(1 + cos x) = sin²x

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Exercice 1 : ordre et opérations

(3√2)² = 18 et (2√5)² = 20. Comme 18 < 20 et que les deux nombres sont positifs, 3√2 < 2√5.
2/7 = 22/77 et 3/11 = 21/77. Comme 22 > 21, 2/7 > 3/11.
En ajoutant membre à membre : 1 + 2 ≤ x + y ≤ 3 + 5, soit 3 ≤ x + y ≤ 8.
On a −5 ≤ −y ≤ −2, donc 1 − 5 ≤ x − y ≤ 3 − 2, soit −4 ≤ x − y ≤ 1.
On a 2 ≤ 2x ≤ 6 et −15 ≤ −3y ≤ −6, donc 2 − 15 ≤ 2x − 3y ≤ 6 − 6, soit −13 ≤ 2x − 3y ≤ 0.
x et y sont positifs, donc 1 × 2 ≤ xy ≤ 3 × 5, soit 2 ≤ xy ≤ 15.
En multipliant par 3 (nombre positif) : 4,23 < 3√2 < 4,26, puis en retranchant 1 : 3,23 < 3√2 − 1 < 3,26.

Barème : 1) 0,75 par comparaison (1,5 pt) – 2) 0,5 + 0,75 + 0,75 + 0,5 (2,5 pts) – 3) 1 pt.

Exercice 2 : théorème de Thalès et sa réciproque

Dans le triangle ABC : M ∈ [AB], N ∈ [AC] et (MN) // (BC), donc d'après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
AN = (AC × AM)/AB = (10 × 3)/8 = 3,75 cm.
MN = (BC × AM)/AB = (12 × 3)/8 = 4,5 cm.
AE/AB = 2/8 = 0,25 et AF/AC = 2,5/10 = 0,25, donc AE/AB = AF/AC.
Les points A, E, B d'une part et A, F, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, donc d'après la réciproque du théorème de Thalès : (EF) // (BC).
AE/AB = 0,25 et AP/AC = 4/10 = 0,4. Comme 0,25 ≠ 0,4, les droites (EP) et (BC) ne sont pas parallèles (si elles l'étaient, les deux rapports seraient égaux d'après le théorème de Thalès).

Barème : 1) 1,5 pt – 2) 1,5 pt – 3) 2 pts – 4) 1 pt.

Exercice 3 : trigonométrie

D'après le théorème de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E : FG² = EF² + EG², donc EG² = 100 − 36 = 64, d'où EG = 8 cm.
cos F̂ = EF/FG = 6/10 = 0,6 ; sin F̂ = EG/FG = 8/10 = 0,8 ; tan F̂ = EG/EF = 8/6 = 4/3.
cos²F̂ + sin²F̂ = 0,36 + 0,64 = 1.
cos²α = 1 − sin²α = 1 − 25/169 = 144/169 et cos α > 0 car α est aigu, donc cos α = 12/13.
tan α = sin α / cos α = (5/13) ÷ (12/13) = 5/12.

Barème : 1) 1 pt – 2) 0,5 par rapport (1,5 pt) – 3) 1 pt – 4) 1 + 0,5 (1,5 pt).

Exercice 4 : relations trigonométriques

37° + 53° = 90°, les deux angles sont complémentaires, donc sin 53° = cos 37°. D'où A = sin²37° + cos²37° = 1.
25° + 65° = 90°, donc tan 65° = 1/tan 25°, d'où B = tan 25° × 1/tan 25° = 1.
(cos x + sin x)² + (cos x − sin x)² = cos²x + 2 cos x sin x + sin²x + cos²x − 2 cos x sin x + sin²x = 2(cos²x + sin²x) = 2.
(1 − cos x)(1 + cos x) = 1 − cos²x = sin²x car cos²x + sin²x = 1.

Barème : 1) 1 + 1 (2 pts) – 2) 1 pt – 3) 1 pt.

Barème

Total	20 pts
Exercice 1 : ordre et opérations	5 pts
Exercice 2 : théorème de Thalès et sa réciproque	6 pts
Exercice 3 : trigonométrie	5 pts
Exercice 4 : relations trigonométriques	4 pts

Conseils de révision

Pour comparer deux nombres positifs écrits avec des racines, compare leurs carrés.
Pour encadrer x − y, encadre d'abord −y puis ajoute ; on ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre.
Avant d'appliquer Thalès, cite les trois conditions : deux points sur deux côtés, le parallélisme, puis écris l'égalité des rapports.
Pour la réciproque, vérifie l'égalité des deux rapports et l'ordre des points.
Retiens : cos = adjacent/hypoténuse, sin = opposé/hypoténuse, tan = opposé/adjacent, et cos²x + sin²x = 1.

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