Devoir 1 semestre 1 Mathématiques 3e année collège avec corrigé

Niveau	3e année collège
Matière	Mathématiques
Semestre	semestre 1
Devoir	Devoir n° 1
Durée	1 heure
Barème	sur 20
Leçons	Identités remarquables (développement et factorisation), Racines carrées, Puissances
Programme	MEN : Programmes et orientations pédagogiques de l'enseignement des mathématiques au cycle secondaire collégial ; avec le Cadre de référence de l'examen régional normalisé du cycle collégial 2025 – Mathématiques (CNEE)

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

Énoncé

Développer et réduire :
A = (2x + 3)² ; B = (x − 5)² ; C = (3x − 1)(3x + 1)
Factoriser :
D = x² − 49 ; E = 9x² − 30x + 25 ; F = (x + 2)² − 9
En utilisant une identité remarquable, calculer sans calculatrice : 101² et 99 × 101

Écrire chaque nombre sous la forme d'une puissance : 3⁵ × 3⁻² ; (2³)⁴ ; 7⁹/7⁴ ; 5³ × 2³
Donner l'écriture scientifique de : 0,000045 ; 37500000 ; A = (6 × 10⁵ × 4 × 10⁻²)/(8 × 10⁻³)

ABC est un triangle rectangle en A tel que : AB = √5 + 1 et AC = √5 − 1 (unité : cm).

Afficher le corrigé et le barème

A = (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9
B = x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25
C = (3x)² − 1² = 9x² − 1
D = x² − 7² = (x − 7)(x + 7)
E = (3x)² − 2 × 3x × 5 + 5² = (3x − 5)²
F = (x + 2)² − 3² = (x + 2 − 3)(x + 2 + 3) = (x − 1)(x + 5)
101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201
99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10000 − 1 = 9999

Barème : 1) 0,5 par expression (1,5 pt) – 2) D : 0,5 ; E : 0,5 ; F : 1 (2 pts) – 3) 0,75 par calcul (1,5 pt).

a = √144 = 12 car 12² = 144 ; b = √25/√81 = 5/9 ; c = (√3)² = 3
√50 = √(25 × 2) = 5√2
√12 + √27 − √75 = 2√3 + 3√3 − 5√3 = 0
2√18 − √8 = 2 × 3√2 − 2√2 = 6√2 − 2√2 = 4√2
6/√3 = (6 × √3)/(√3 × √3) = 6√3/3 = 2√3
1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/((√5 − 2)(√5 + 2)) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2

Barème : 1) 0,5 par nombre (1,5 pt) – 2) 0,5 + 0,75 + 0,75 (2 pts) – 3) 0,5 + 1 (1,5 pt).

3⁵ × 3⁻² = 3^{5 + (−2)} = 3³ ; (2³)⁴ = 2^{3 × 4} = 2¹² ; 7⁹/7⁴ = 7^{9 − 4} = 7⁵ ; 5³ × 2³ = (5 × 2)³ = 10³
0,000045 = 4,5 × 10⁻⁵ ; 37500000 = 3,75 × 10⁷
A = (6 × 4)/8 × 10^{5 + (−2) − (−3)} = 3 × 10⁶, donc A = 3 × 10⁶

Barème : 1) 0,5 par nombre (2 pts) – 2) 0,5 + 0,5 + 1 (2 pts).

AB × AC = (√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)² − 1² = 5 − 1 = 4.
Le triangle est rectangle en A, donc son aire est : S = (AB × AC)/2 = 4/2 = 2 cm².
AB² = (√5)² + 2√5 + 1 = 6 + 2√5 ; AC² = (√5)² − 2√5 + 1 = 6 − 2√5.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A : BC² = AB² + AC² = 6 + 2√5 + 6 − 2√5 = 12.
Donc BC = √12 = √(4 × 3) = 2√3 cm.
P = AB + AC + BC = (√5 + 1) + (√5 − 1) + 2√3 = 2√5 + 2√3 cm (environ 7,94 cm).
AB/AC = (√5 + 1)/(√5 − 1) = (√5 + 1)²/((√5 − 1)(√5 + 1)) = (6 + 2√5)/4 = (3 + √5)/2.

Barème : 1) 1 + 0,5 (1,5 pt) – 2) 0,5 + 0,5 + 1 (2 pts) – 3) 1 pt – 4) 1,5 pt.

Total	20 pts
Exercice 1 : identités remarquables	5 pts
Exercice 2 : racines carrées	5 pts
Exercice 3 : puissances	4 pts
Exercice 4 : problème	6 pts

Apprends les trois identités remarquables dans les deux sens : développer (de gauche à droite) et factoriser (de droite à gauche).
Avant de factoriser, cherche d'abord un facteur commun, puis une différence de deux carrés ou un carré parfait.
Pour simplifier une racine, décompose le nombre en produit d'un carré parfait par un autre nombre : √50 = √(25 × 2).
Dans l'écriture scientifique a × 10ⁿ, le nombre a doit être supérieur ou égal à 1 et strictement inférieur à 10.
Vérifie tes résultats en remplaçant x par une valeur simple, par exemple x = 1.

Utile ? Envoyez-le à quelqu'un qui cherche

WhatsApp Facebook Telegram