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Devoir surveillé n°2 – semestre 1 – Mathématiques 2AC (option française)

Deuxième devoir surveillé du semestre 1 de mathématiques pour la 2e année collège, option française : durée 1 heure, noté sur 20. Il fait suite aux nombres décimaux relatifs et aux nombres rationnels et porte sur les puissances (exposant entier relatif, écriture scientifique), le développement et la factorisation, les théorèmes des milieux et le théorème de Pythagore et sa réciproque. Exercices originaux, corrigés avec barème.

Niveau2e année collège
MatièreMathématiques
Semestresemestre 1
DevoirDevoir n° 2
Durée1 heure
Barèmesur 20
LeçonsPuissances : exposant entier relatif, puissances de 10 et écriture scientifique, Calcul littéral : développement et factorisation, Théorèmes des milieux dans un triangle, Théorème de Pythagore et sa réciproque
ProgrammeOrientations pédagogiques et programmes de l'enseignement des mathématiques au cycle secondaire collégial – Ministère de l'Éducation nationale

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

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Énoncé

Exercice 1 : Puissances (4 pts)

  1. Calculer : A = (−2)3 ; B = (−1)2026 ; C = 50 ; D = 2−3 (donner D sous forme de fraction).
  2. Écrire sous la forme d'une seule puissance : E = 34 × 35 ; F = 79 ÷ 74 ; G = (23)4 ; H = 53 × 23
  3. Donner l'écriture scientifique de chacun des nombres : 45 000 000 ; 0,00032

Exercice 2 : Développement et factorisation (5 pts)

  1. Développer puis réduire : A = 3(2x − 5) ; B = −2(x + 4) + 5x ; C = (x + 3)(x − 2) ; D = (2x − 1)(3x + 4)
  2. Factoriser : E = 7x + 14 ; F = 5x2 − 3x ; G = (x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 5)
  3. Calculer la valeur de D pour x = −2.

Exercice 3 : Droite des milieux (6 pts)

ABC est un triangle tel que : AB = 8 cm, AC = 6 cm et BC = 10 cm. Les points I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC].

  1. Montrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, puis calculer IJ.
  2. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
  3. La droite passant par I et parallèle à (AC) coupe [BC] au point M. Montrer que M est le milieu de [BC], puis calculer IM.
  4. Calculer l'aire du triangle ABC et l'aire du triangle AIJ.

Exercice 4 : Théorème de Pythagore (5 pts)

  1. EFG est un triangle rectangle en E tel que EF = 5 cm et EG = 12 cm. Calculer FG.
  2. RST est un triangle rectangle en R tel que ST = 10 cm et RS = 6 cm. Calculer RT.
  3. Une échelle de 2,5 m de long est appuyée contre un mur perpendiculaire au sol ; son pied est à 0,7 m du bas du mur. Calculer la hauteur à laquelle l'échelle touche le mur.
Afficher le corrigé et le barème

Exercice 1 : Puissances

  1. A = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (exposant impair et base négative) ; B = 1 (exposant pair) ; C = 1 (tout nombre non nul à la puissance 0 vaut 1) ; D = 1/23 = 1/8
  2. E = 34+5 = 39 ; F = 79−4 = 75 ; G = 23×4 = 212 ; H = (5 × 2)3 = 103
  3. 45 000 000 = 4,5 × 107 ; 0,00032 = 3,2 × 10−4

Barème : Q1 : 1 pt (0,25 par calcul) ; Q2 : 2 pts (0,5 par écriture) ; Q3 : 1 pt (0,5 par nombre).

Exercice 2 : Développement et factorisation

  1. A = 6x − 15 ; B = −2x − 8 + 5x = 3x − 8 ; C = x2 − 2x + 3x − 6 = x2 + x − 6 ; D = 6x2 + 8x − 3x − 4 = 6x2 + 5x − 4
  2. E = 7(x + 2) ; F = x(5x − 3) ; G = (x + 1)[(2x − 3) + (x + 5)] = (x + 1)(3x + 2)
  3. D = 6 × (−2)2 + 5 × (−2) − 4 = 24 − 10 − 4 = 10 (vérification : (2 × (−2) − 1)(3 × (−2) + 4) = (−5) × (−2) = 10).

Barème : Q1 : 3 pts (A : 0,5 ; B : 0,75 ; C : 0,75 ; D : 1) ; Q2 : 1,5 pt (0,5 par factorisation) ; Q3 : 0,5 pt.

Exercice 3 : Droite des milieux

  1. Dans le triangle ABC : I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. Or la droite qui passe par les milieux de deux côtés d'un triangle est parallèle au troisième côté, donc (IJ) // (BC). De plus, le segment qui joint ces milieux mesure la moitié du troisième côté : IJ = BC/2 = 10/2 = 5 cm.
  2. BC2 = 102 = 100 et AB2 + AC2 = 64 + 36 = 100. Comme BC2 = AB2 + AC2, le triangle ABC est rectangle en A (d'après la réciproque du théorème de Pythagore).
  3. Dans le triangle ABC : la droite qui passe par I, milieu de [AB], et qui est parallèle à (AC) coupe le troisième côté [BC] en son milieu, donc M est le milieu de [BC]. Ainsi IM = AC/2 = 6/2 = 3 cm.
  4. ABC est rectangle en A : son aire est (AB × AC)/2 = (8 × 6)/2 = 24 cm2. Le triangle AIJ est rectangle en A (car I ∈ (AB) et J ∈ (AC)), avec AI = 4 cm et AJ = 3 cm, donc son aire est (4 × 3)/2 = 6 cm2.

Barème : Q1 : 1,5 pt (parallélisme 0,75 + IJ 0,75) ; Q2 : 1,5 pt ; Q3 : 1,5 pt (milieu 0,75 + IM 0,75) ; Q4 : 1,5 pt (0,75 par aire).

Exercice 4 : Théorème de Pythagore

  1. D'après le théorème de Pythagore dans le triangle EFG rectangle en E : FG2 = EF2 + EG2 = 25 + 144 = 169 ; FG est positif, donc FG = 13 cm (car 132 = 169).
  2. L'hypoténuse est [ST] : ST2 = RS2 + RT2, donc RT2 = 100 − 36 = 64, d'où RT = 8 cm.
  3. Le mur et le sol sont perpendiculaires : l'échelle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Soit h la hauteur cherchée : h2 = 2,52 − 0,72 = 6,25 − 0,49 = 5,76, donc h = 2,4 m (car 2,42 = 5,76).

Barème : Q1 : 1,5 pt ; Q2 : 1,5 pt ; Q3 : 2 pts (justification 0,5 + calcul 1,5).

Barème

Exercice 1 : Puissances4 pts
Exercice 2 : Développement et factorisation5 pts
Exercice 3 : Droite des milieux6 pts
Exercice 4 : Théorème de Pythagore5 pts
Total20 pts

Conseils de révision

  • a^m × a^n = a^(m+n), a^m ÷ a^n = a^(m−n) et (a^m)^n = a^(m×n).
  • Dans l'écriture scientifique a × 10^n, le nombre a est compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu).
  • Pour factoriser, on cherche le facteur commun et on le met en facteur.
  • Pour Pythagore, repérer d'abord l'hypoténuse : c'est le côté opposé à l'angle droit, le plus long.

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