Devoir 1 semestre 2 Mathématiques 2e année collège avec corrigé

Devoir surveillé n°1 – semestre 2 – Mathématiques 2AC (option française)

Premier devoir surveillé du semestre 2 de mathématiques pour la 2e année collège, option française : durée 1 heure, noté sur 20. Il porte sur les équations du premier degré à une inconnue et la mise en équation de problèmes, l'ordre et les opérations, et le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle. Exercices originaux, corrigés avec barème.

Niveau	2e année collège
Matière	Mathématiques
Semestre	semestre 2
Devoir	Devoir n° 1
Durée	1 heure
Barème	sur 20
Leçons	Équations du premier degré à une inconnue, Résolution de problèmes à l'aide d'équations, Ordre et opérations (addition et multiplication), Cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle
Programme	Orientations pédagogiques et programmes de l'enseignement des mathématiques au cycle secondaire collégial – Ministère de l'Éducation nationale

Devoirs modèles rédigés par l'équipe Wadifa Info, conformes au programme officiel, non officiels.

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Énoncé

Exercice 1 : Équations (6 pts)

Le nombre −3 est-il solution de l'équation 2x + 7 = x + 4 ? Justifier.
Résoudre les équations suivantes :
- a) x + 9 = 4
- b) 5x = −35
- c) 3x − 7 = x + 5
- d) 4(x − 2) = 2x + 6
- e) x/3 + 1/2 = 5/6

Exercice 2 : Problème (4 pts)

Ayoub a acheté 3 cahiers identiques et un stylo ; il a payé 47 dirhams. Le prix du stylo est inférieur de 5 dirhams à celui d'un cahier.

Choisir l'inconnue x convenable puis écrire une équation qui traduit cette situation.
Résoudre l'équation puis en déduire le prix d'un cahier et celui du stylo.
Vérifier le résultat.

Exercice 3 : Ordre et opérations (5 pts)

a et b sont deux nombres tels que a < b. Comparer dans chaque cas : a + 3 et b + 3 ; a − 5 et b − 5 ; 4a et 4b ; −2a et −2b
x est un nombre tel que 2 ≤ x ≤ 5. Encadrer : x + 4 ; 3x ; −x ; 2x − 1
Sachant que a − b = −2,5, comparer les nombres a et b.

Exercice 4 : Cosinus (5 pts)

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et BC = 10 cm.
- a) Calculer cos AB̂C.
- b) Calculer AC.
- c) Calculer cos AĈB.
EFG est un triangle rectangle en F tel que EG = 12 cm et cos GÊF = 0,75. Calculer EF.

Afficher le corrigé et le barème

Exercice 1 : Équations

On remplace x par −3 : premier membre 2 × (−3) + 7 = 1 ; second membre −3 + 4 = 1. Les deux membres sont égaux, donc −3 est solution de l'équation.
- a) x = 4 − 9 = −5
- b) x = −35/5 = −7
- c) 3x − x = 5 + 7, soit 2x = 12, donc x = 6
- d) 4x − 8 = 2x + 6, soit 2x = 14, donc x = 7
- e) On multiplie les deux membres par 6 : 2x + 3 = 5, soit 2x = 2, donc x = 1

Barème : Q1 : 1 pt ; Q2 a : 0,75 pt ; Q2 b : 0,75 pt ; Q2 c : 1 pt ; Q2 d : 1,25 pt ; Q2 e : 1,25 pt.

Exercice 2 : Problème

Soit x le prix d'un cahier en dirhams ; le prix du stylo est alors x − 5. Équation : 3x + (x − 5) = 47
4x − 5 = 47, soit 4x = 52, donc x = 13. Un cahier coûte 13 dirhams et le stylo 13 − 5 = 8 dirhams.
3 × 13 + 8 = 39 + 8 = 47 dirhams : c'est bien la somme payée.

Barème : Q1 : 1,5 pt (inconnue 0,5 + équation 1) ; Q2 : 2 pts ; Q3 : 0,5 pt.

Exercice 3 : Ordre et opérations

a + 3 < b + 3 ; a − 5 < b − 5 (ajouter un même nombre ne change pas l'ordre) ; 4a < 4b (multiplier par un nombre positif ne change pas l'ordre) ; −2a > −2b (multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre).
6 ≤ x + 4 ≤ 9 ; 6 ≤ 3x ≤ 15 ; −5 ≤ −x ≤ −2 ; 4 ≤ 2x ≤ 10 donc 3 ≤ 2x − 1 ≤ 9
a − b = −2,5 est négatif, donc a < b.

Barème : Q1 : 2 pts (0,5 par comparaison) ; Q2 : 2 pts (0,5 par encadrement) ; Q3 : 1 pt.

Exercice 4 : Cosinus

- a) cos AB̂C = côté adjacent / hypoténuse = AB/BC = 6/10 = 0,6
- b) D'après le théorème de Pythagore : AC² = BC² − AB² = 100 − 36 = 64, donc AC = 8 cm.
- c) cos AĈB = AC/BC = 8/10 = 0,8
cos GÊF = EF/EG, donc EF = EG × cos GÊF = 12 × 0,75 = 9 cm.

Barème : Q1 a : 1 pt ; Q1 b : 1,5 pt ; Q1 c : 1 pt ; Q2 : 1,5 pt.

Barème

Total	20 pts
Exercice 1 : Équations	6 pts
Exercice 2 : Problème	4 pts
Exercice 3 : Ordre et opérations	5 pts
Exercice 4 : Cosinus	5 pts

Conseils de révision

Pour résoudre une équation, regrouper les termes en x d'un côté et les nombres de l'autre.
Toujours vérifier la solution en la remplaçant dans l'équation.
Multiplier par un nombre négatif inverse l'ordre.
cos d'un angle aigu = côté adjacent ÷ hypoténuse : c'est toujours un nombre compris entre 0 et 1.

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