نموذج مباراة ولوج السنة الأولى من السلك التحضيري - المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش - دورة 27 يوليوز 2004 - الرياضيات
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باختصار
هذا نموذج امتحان كتابي سابق لمباراة السنة الأولى من السلك التحضيري لدى المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش (27/07/2004)، منشور على وظيفة إنفو للاطلاع والتحميل المجاني بصيغة PDF مع تصحيح مقترح.
- الجهة المنظمة
- المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش
- الدرجة
- السنة الأولى من السلك التحضيري
- التخصص
- الرياضيات
- الدورة
- 27/07/2004
- عدد الصفحات
- 5
- لغة الأسئلة
- الفرنسية
- التصحيح
- تصحيح مقترح متوفر في هذه الصفحة
📝 نص أسئلة النموذج (مستخرج آلياً من الصفحات الممسوحة)
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UNIVERSITÉ CADI AYYAD Année 2003/2004 Ecole Nationale Des Sciences Appliquées 27 Juillet 2004 Marrakech I. OUASSOU Concours d’entrée en 199 année de l'ENSA de Marrakech Epreuve de mathématiques (durée 1h) Remarques importantes 1) La documentations et les calculatrices sont interdites. 2) Parmis les réponses proposées elle n’y a qu’une qui est juste. 3) Cochez la case qui correspond à la réponse correcte sur la fiche de réponses. 4) Réponse juste - 1 point ; Réponse fausse — -1 point ; pas de réponse — 0 point. Noter Bien Plus qu'une case chochée = -1 point. Exercice 1 Dans un examen fait par Q.C.M (Questions à choix multiples) on peut répondre par <<vrai>> ou <<faur>>. Cet examen comporte 15 questions. Combien y-at-il de copies différentes possibles ? (Une copie est une liste de 15 réponses ; pour que deux copies soient différentes, il suffit qu'à l’une des questions la réponse soit <<vrai>> dans une copie et <<faur>> dans l’autre.) a) 15! ( factorielle 15) b) CE [les combinaisons) c) A (les arrangements) Exercice 2 Indiquer la phrase qui vous semblent correcte parmi les phrases suivantes : a) Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel. b) La somme de deux nombres irrationnels est irrationnelle. c) Le produit de deux nombres irrationnels est irrationnel d) La somme d'un nombre rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle. wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Exercice 3 L'inéquation : ِِ ص a pour solution a) | و00 1] b) [1,+o0] Exercice 4 Soit m une constante de R et la fonction h définie par h(x) = ”ع - (nzx). Parmi les les limites suivantes la quelle qui est vraie : a) Sims 0m. AG) =0 b) Sim > 0 lim,_o h(x) = 0 c) 58175 0 مببمسنا AG) = 0 d) Sim < 0 ممببمتتتا /)2( = +oo Exercice 5 La limite de la fonction لما هد (سار quand x tend vers 17 vaut d) n'existe pas wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Exercice 6 La dérivée de la fonction oux ER, est une fonction a) paire b) ne s’annule pas c) à valeurs toujours positives d) aucune réponse correcte Exercice 7 La limite de la fonction sin° x + cos$ x + 1 quand x tend vers +oo vaut : b) +00 c) n'existe pas Exercice 8 Soit U, la suite de terme gréral nEeN et n£0 مي +++ 2+1 +1 = م a) Positive b) Croissante c) Majorée d) Décroissante et minorée. Exercice 9 Soit la fonction f définie par : f(x) = 2x + 1 + V4r? + 4x et on note par Df le domaine de definition de f. a) Df=[0,cœ!| b) la fonction f est dérivable sur Df c) lim,_0+ (2) = 0 d) la courbe de la fonction f présente en (0,1) un demi-tangente vertivale. Exercice 10 On considère la suite (u,) définie par : u9 = 1 ; l+u,_i Un = Un=1 + Tu À 3 a) la suite u, est croissante b) la suite u, est strictement croissante c) la suite u, est majorée d) la suite u, est convergente Exercice 11 a) cosacosb = ;[sin(a + b) + cos(a — b)] b) sinasinb = ;[cos(a + b) + sin(a — b)] c) sinacosb = 3[cos(a + b) + cos(a — b)] d) cos a+ cosb ح 2 cos ف COS ف Exercice 12 Parmis les relations suivantes, quelle est celle qu'est vérifiée quels que soient les quatres réels 1, to, Yi et yo, vérifiant ri < Yi et Lo سرك ? a) a <y b) T1 — Lo < Yi — Y2 d) د22 > yiy2 Exercice 13 Soit n EN. Montrer que la dérivée d'ordre n + 1 de la fonction 2م27 est : a) Chez 17+22 1 b) ee 2 Exercice 14 L'intégrale suivante 1 sin? x cos” sdx égale à : Exercice 15 Dans le repère (o,T,7,k) on considère la sphère (S) d'équation : 5ج - نب م ع تريب تج 0 et le plan (P) d'’équation y + z = 0. a) Le centre de la sphère est (3,0,0) b) Le plan (P) est tangente à la sphère (S) c) L'intersection de (P) et (S) est un cercle. d) Aucune réponse correcte wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
التصحيح المقترح
هذا تصحيح مقترح من إعداد فريق wadifa-info لمساعدتك على فهم منهجية الإجابة — وليس تصحيحاً رسمياً صادراً عن الإدارة المنظِّمة. أسئلة هذا الامتحان محررة بالفرنسية، لذلك التصحيح محرر بالفرنسية أيضاً.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 27 juillet 2004. Durée : 1 h, documents et calculatrices interdits. QCM de 15 exercices, une seule réponse juste par exercice ; réponse juste = +1, fausse = −1, sans réponse = 0, plus d'une case cochée = −1.
💡 Méthode : une minute par réponse évidente (exercices 1, 2, 11), puis gardez le temps pour les calculs (13, 14, 15). Éliminer deux options par un contre-exemple suffit souvent.
Exercice 1 — Nombre de copies possibles
Réponse : d) 215. Chaque question admet 2 réponses indépendamment des autres : 2 × 2 × … × 2 = 215 = 32 768.
Exercice 2 — Rationnels et irrationnels
Réponse : d). Si r + x = q avec r, q rationnels, alors x = q − r serait rationnel : contradiction. Contre-exemples des autres : a) 0 × √2 = 0 ; b) √2 + (−√2) = 0 ; c) √2 × √2 = 2.
Exercice 3 — 1/x ≥ 1/x3
Réponse : d) [−1, 0[ ∪ [1, +∞[. 1/x − 1/x3 = (x − 1)(x + 1)/x3 ≥ 0. Tableau de signes : positif sur [−1, 0[ (numérateur ≤ 0, x3 < 0) et sur [1, +∞[ ; négatif sur ]−∞, −1[ et ]0, 1[.
Exercice 4 — h(x) = xm − (ln x)2
Réponse : d). Si m > 0, (ln x)2/xm → 0 (croissances comparées), donc h(x) = xm(1 − (ln x)2/xm) → +∞. a) est donc faux ; c) faux car pour m ≤ 0, xm reste borné et −(ln x)2 → −∞ ; b) faux car pour m < 0, xm → +∞ en 0 et l'emporte sur (ln x)2.
Exercice 5 — lim en 1− de |x2 − 1|/(1 − x)
Réponse : c) 2. Pour x < 1 proche de 1, |x2 − 1| = (1 − x)(1 + x), donc f(x) = 1 + x → 2.
Exercice 6 — Dérivée de f(x) = x + cos2x
Réponse : c). f'(x) = 1 − 2 sin x cos x = 1 − sin 2x ≥ 0 pour tout x. a) faux : f'(−x) = 1 + sin 2x ≠ f'(x) ; b) faux : f'(π/4) = 0.
Exercice 7 — lim en +∞ de (sin9x + cos6x + 1)/(e−x + 1)
Réponse : c) n'existe pas. Le dénominateur tend vers 1 mais le numérateur oscille : il vaut 2 en x = 2kπ et 0 en x = 3π/2 + 2kπ.
Exercice 8 — Un = 1 + 1/2 + … + 1/n − ln n
Réponse retenue : d) décroissante et minorée (réponse probable). Un+1 − Un = 1/(n+1) − ln((n+1)/n) < 0 car ln(1 + 1/n) > 1/(n+1) : la suite décroît. Comme 1/k ≥ ∫kk+1 dt/t, on a 1 + … + 1/n ≥ ln(n+1) > ln n, donc Un > 0 : minorée (b est faux).
💡 Attention : avec ces calculs, a) « positive » et c) « majorée » (Un ≤ U1 = 1) sont aussi vraies. L'énoncé annonce une seule bonne réponse ; d) est la plus complète, c'est celle qu'il fallait cocher.
Exercice 9 — f(x) = 2x + 1 + √(4x2 + 4x)
Réponse : d). Df : 4x(x + 1) ≥ 0, soit ]−∞, −1] ∪ [0, +∞[ (a faux). (f(x) − 1)/x = 2 + √(4x2 + 4x)/x = 2 + √(4 + 4/x) → +∞ quand x → 0+ : f n'est pas dérivable en 0 (b et c faux) et la courbe admet en (0, 1) une demi-tangente verticale.
Exercice 10 — u0 = 1, un = un−1 + (1 + un−1)/(1 + 2un−1)
Réponse retenue : b) strictement croissante (réponse probable). Par récurrence un > 0, donc l'incrément (1 + u)/(1 + 2u) est strictement positif : la suite est strictement croissante. De plus (1 + u)/(1 + 2u) > 1/2, d'où un > 1 + n/2 → +∞ : ni majorée ni convergente (c et d faux).
💡 a) « croissante » est aussi vraie (strictement croissante ⇒ croissante). L'énoncé n'acceptant qu'une réponse, on coche la plus précise, b).
Exercice 11 — Formules trigonométriques
Réponse : d). cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a−b)/2). Les autres sont fausses : cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a−b)], sin a sin b = ½[cos(a−b) − cos(a+b)], sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a−b)].
Exercice 12 — x1 ≤ y1 et x2 ≤ y2
Réponse : c). x1 + x2 ≤ y1 + y2, donc a = ex1+x2 ≤ b = ey1+y2 et b/4 − a/5 + 0,05 ≥ a/4 − a/5 + 0,05 = a/20 + 0,05 > 0. Contre-exemples : a) x1 = −2, y1 = 1 ; b) x1 = y1 = 0, x2 = −5, y2 = 0 (5 ≤ 0 faux) ; d) x1 = x2 = −2, y1 = y2 = 0 (4 ≤ 0 faux).
Exercice 13 — Dérivée d'ordre n + 1 de xn e1/x
Réponse : c) (−1)n+3 e1/x / xn+2, c'est-à-dire (−1)n+1 e1/x/xn+2. Vérification : n = 0, (e1/x)' = −e1/x/x2 ; n = 1, (x e1/x)'' = e1/x/x3. a) et b) donnent le signe opposé ((−1)n+2 = (−1)n), d) la mauvaise puissance de x. (La formule générale se démontre par récurrence.)
Exercice 14 — ∫0π/2 sin2x cos3x dx
Réponse : d) 2/15. cos3x = (1 − sin2x) cos x ; avec u = sin x : ∫01 (u2 − u4) du = 1/3 − 1/5 = 2/15. (Le « s dx » de l'énoncé est une coquille pour « x dx ».)
Exercice 15 — Sphère x2 + y2 + z2 − x − y − z + 3/4 = 0, plan y + z = 0
Réponse : d) aucune réponse correcte. (x − ½)2 + (y − ½)2 + (z − ½)2 = 3/4 − 3/4 = 0 : l'équation, telle qu'imprimée, ne représente que le point Ω(½, ½, ½) (rayon nul). Son « centre » n'est pas (½, 0, 0) (a faux), et Ω n'est pas sur le plan (½ + ½ = 1 ≠ 0), donc ni tangence ni cercle (b et c faux).
أسئلة شائعة حول هذا النموذج
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الجهة المنظمة: المدرسة الوطنية للعلوم التطبيقية بمراكش · 27/07/2004 — مصدر النسخة: المواقع الرسمية للمؤسسات (نسخ أرشيفية من Wayback Machine)؛ الإعلان الرسمي للمباراة هو المرجع.
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