Modèle de concours d'accès — 1re année du cycle ingénieur — filière Logiciel et Système Informatique (LSI) — FST de Tanger — Université Abdelmalek Essaâdi — session de juillet 2010 — Épreuve de mathématiques

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ROYAUME DU MAROC
UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI
Faculté des Sciences et Techniques de Tanger
Département Génie Informatique
Concours d'accès à la 1ère Année du
Cycle d'Ingénieur
Filière : Logiciel et Système Informatique
Epreuve de Mathématiques
Durée : 2h
F
Calculatrice Attorisée
Chaque question peut comporter au plus deux réponses crache (est envisageable qu'une ‏تصن‎
‎11 ‏أله‎ aucune reponse exacte, mais en aucun cas ele ne peut en avoit Fou plus)
‎pas de réponse 0‏ ,1 تتفكييها ‎une réponse juste +1 une réponse‏ ممصملا
‎=

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Cencours Cycle Ing. (LS) ‏يعارز‎ 2926
A2:
5
33
s «à
#1
us
ponts 1
tels ‏إن * سو‎ 7 soient los aflise de Ereus pour
10} de ‏تصن‎ axe ‏ةالص‎ à Bee ‏كا‎ ous
et Génie Info
M 1: Parrei lon ps
بخ بردت تيل 010115
‎A) 70) 4) 8(‏
روخ اع 0 (14
0
‏كير ‎sont‏ سبوا
‎eo (4) à Drest ff
1) ‏(0)ثو0ه‎ 0 cc ‏طايه 5 رق‎
‎Clive sv
10 K
‎# 5 ‏نكب‎
‎D} cos | 73
CAT cos +
‏و !0 © ني ‎Ÿ‏ 6
‎Question 2: Dans le plan rapporté
MAX ١ 4)
‎La siuilitude de centre J qu Wansporme A{ en AL! est lors
‎A} de rapport 2
‎à un repère orthonormé direct (Oi ji on Cémsidère Jr
‎B) d'angle g
C1 de rapport 1
‎D} d'angle :
‎Question 3: Soit n € N° On cherche à résoudre l'équation d'inconnue 0 €
‎cos(2k0) 1‏ )1 ( ل
‎A) Si 8 est solution, alors ‏0م‎ ( k ) in (#4) 27!
Œ
‎CELL
‎3) ‏ال‎ 7 ) cos(2k4)  cos(nt) ( Le 6)
‎k=0
‎ü
‎np: 7 7 ï #
€) L'ensemble des sohitions est { +7 ke 2} ty {sr ke z}
17 7”
D) nv ‏ص‎ pas de solution à cette équation
‎Question 4: On considère Fapplicaton / qui à tout nombre complexe - 2 4 assovie
‎Ou note {26 €. ji het  {:6€. Re) 0}
‎A ‏رز‎ est une biyection de © | {e} dans €
Hi ik) ‏و‎
‎) 04١ fr 7#
‏ا ([(6) ‎fUP\‏ زط
‎Question 5: On cherche le heu des points d'aflise
mots H cet ensemble dé ports ‏ل كك‎ Fensomble de leurs ‏لاله‎
‎pr‏ قطي ‎١ eat‏ جا ‎Has se Ron‏ ب زح
‎Caml D) 6 2 pl‏ د سنا )2 4 07 4 ‎Bi cmt‏
‎d 1 4 je parallel
Ci Hi est ane ‏بلط يشرط‎ équilatére contrée en (2 220 de drame ‏صر‎ para ‏افا‎
‎١ l'axe ‏واه‎
‎de deniers ‏نجه‎ V
‎D Hi contient ane by perbole centrée ef
‏ألا‎ 1 et dos + FX sta 1 ‏نل‎ pour ‏طعي‎ touts crc tant
Er x V k dont les acermplotes ‏يح اناب‎ LEE LA 6 ‏جار‎ € &
À /
cation 62 Ca ‏سن‎ be ‏ل‎ un eg PU UE, Ÿee ‏معط‎ pen
Question Le { Î
‎a
‎k ste ds, SD
fon" 4h w, 1 ‏ا ب‎ ER US
4
‎ny À à ; HIVER,
A5 und oem croient ‏ل‎ meute pau À: leve ‏عدب ويل‎

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4
admettant une limite finie 4 ‏لل‎ EX ‏اه‎ et notnbor
_ Put Génie Into
B) te, hey cat MC suite CONTE
و ‎CU‏ مجه
Cu, } ‏ما بم‎ ٍ
‏ل‎ «02 SON adjacent es
Cu), 2 Ont convergent
‎de limite 1‏ ددمل"
‎la fonction £ définie :‏ 011
‎. Question 7:5
‎par
‎1 2 0(. AGE ‏وود‎ © ٍ
A) ‏ا‎ indéfinine 7
‎dérivalle sur B‏ ألا
‎repré‏ اس ‎B) La‏
‎701591116 pt 0116
Seutative ‏بل‎ 7
‎admet ‏مدي‎ ASUHptote oblique en à à 11
‎lim
‎"tn
‎ft)
‎t
‎© réalise une bijoction de ‏بز‎‎Car (Vi > 0), ft) / 0
D} f réalise une bijection de R surR,
dérivable
‎Question 8 : L désignant ]
‎+ SUR, ot sn bijection réciproque est dérivalle ‏ع يرب‎
‏ريام ‎bijection‏ تك ©
‎Proque est dérivable sur R
vahle
‎admet une réCiproque ‏وغل‎
‎à fonction définie
‎Car témite ts
‎à Ja question Ton peut mont er que
‎1
‎7
‎(Mn ‏راع‎ Ju, ‏طلا‎ fa)
‎A} (a, us et Une Suite croissante car / ١ ‏ل‎ décroissante ©» )(
‏ويستال أن رجو
‎B) (a, est convergente de limite 0 Ptusque f‏
‎l'est Cenbnne à droite en t
C} (a, hey ‏اه‎ convergente de limite 0 Puisque (a,},
Dia, = :
‎1-414 ‏جا‎
‎Question 9: On considère à présent une fonction F'continne sur B
réel strictement positif
‎1 est décoissante ot positive
‎Ai y LS fit) dt est. continue surf ١ ‏زه‎ et dévivable sur bb a! pour tout bc ٠.
‎PRET
‎B) lim Î FU) dt + at 0
CES
‏ل
‎FA “
© im / Fi a) )0( ‏ال‎ 1 JC dt ١ ‏ان‎
‏ور حا‎ do
‎Lo, #
D} Jin [ erctantt ١( arctan(t) dt 4 mai
Nha ‏ول‎
‎= gt 0
Quustion 10: A) (re ‏صل 30 ال‎ (Vn € M). € ‏ا مام‎ + + Di
ana ‏فى‎
‎Bi (re R) (one Ne’ ‏م الو‎
‏بن‎
‎*«
‎7
‏الى‎ (vre ‏نا ا‎ Ni.e' > 0
0 ١
«
Bi ‏ل ل ا ا ان‎ 0
‎1) ‏و‎ 1: Soient a ot b 1 is 7 َ 0 ‏با عمل »ا م يل‎ variables ‏ملل‎ of CE 8
S, à toc SIT 6 0 €
‎nes n : ‏خضل ط‎ fonctions réelles à va lenes ‏ا ال‎ positive
‎Le 1
‎11 i 1 1011] 4
‎nn 1 ‏ا‎
‎1 à te une fonction ‏ب‎ définesur nn ‏تاتش‎ dé a
A) H'existt es
fun Ce) 0 et Hofotrd ‏ل‎ à bit
‎71)
‎Bi miatr) ©,Ich ‏بول‎ ae geste) ‏يت‎
‎> EL ‏ب‎ A ١ Ne
1 ‏أ‎ 1
0:
‎11
‎Che + ‏سك‎ tr)) :
‏م الماع ‎cut‏ بل
نام ‎à‏ لالص ا اناعم نا نر

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Rt Génie Into
à ours Cycle Ing. (LS) 7
A) Pour 4€ R° « ‏عه‎ lim ‏رجه قعاص‎ 5 let 2010
12 ررم اموعاننا ‎١‏ *
© ‏عه‎ lin Intcos(as (( a?
1-6 n(cos 3) 8
ÿ ‏ا‎ É (OT E
29 lim (tan :)
rt 5 à
B) Pour 3 ‏برع‎
: ‏صخاصذا جرع‎
D) lim (tan 34 7
res 3 0
Question 18: Soit f la fonction dé
— R
* # 0 ‏يم‎ exp (E )
LS
ل
‎par:‏ 11
0 ‏مم‎ 0
A) / est continue sur R. dérivable sur E*
B) Ve € Re. ‏مار‎ 2" exp ( el )
T-
Ca
C9 Sur ft. ١ xl f ne possède qu'un extremum. en 2, puisque Or) - ‏و م دن‎
ل١‎ L'équati t 1
D} L quation Jr) x admet deux et seulement deux solutions sur B et Ja droite d'équatior 7 1
tangente à la courbe représentative de f ce
et non dérivable en (
Question 14: Soit f la fonction de ‏ما‎ variable réelle définie par: ftx) - expi ‏سمال‎ 1 2}
A) Aux voisinages de ‏عدا‎ ct de - x. ‏لزطياه ١ط - ! 1)* - )12 مااي‎
B) Au voisinage de ‏عد‎ la courbe représentative de f admet |
la droite d'équation y - ‏م‎ ١ 2 pour asvmptote
€} Au voisinage de ‏تعد‎ la courbe représentative de f admet
la droite d'équation y - x ١ 2 pour asvmptote
D} Au voisinage de - x, la courbe représentative de / admet ‏ذا‎ droite
d'équation y = 7 ١ 2 pour asvmptote et la courbe est an-dessns de son asvinptote
Question 15: Si f est une fonction continne sur nn segment réel [ab] (a < ‏ا‎
‎1b-a 1
i +k ) (4) dt
A) " lim 7 > J 6 7 : ft)
1" b à "0
i |) + ) / fit) dt
Le 0 k
09 \ 11 ini (0 ‏لاص حٍ بم‎ ٠ ‏م‎ )
‏1م‎
D) : Il IAE, 0
CS]
€
la parue entière du nombre réel
Question 16: On désigne par [r| da ‏و‎ us
On considère ‏نا‎ fonction re ele f ‏مسطفل‎ pur f
‏زج‎ f est définie sui Béart. "est une fonction en escale Ê
} est définie s ä
D) vue D fin) 3 ( 5
je fonction ‏و‎ définie sur
‎ah menti ue‏ ابوجل
‎: ‏تر‎ adinet une ‏ططلعتم صا‎ en EX
‎: 1 er ur
Ci l'our montrer qu
‎ST CONVETEOBEE
‎da suite ‏مل طقال‎ EU j
‏كاز ‎one‏ اه ا ‎sur‏ زور
‎D) {este Loissante SU ch a‏
‎, hunite de be
»
‎en x égale‏ لط بتري
‎donc une 1 ْ: k ati‏ مسا م
أ حا ‎de‏ 1
‎ak‏ تاداس خط ‎déterminer‏
‎“tion 17: One hors : : |‏
: { - صا الا ‎wa‏ 48
‎Pl
‎1 si ss 4 ÿ ‏إن‎ near) ‏أ‎
‏د ز“‎ ur &° et (Vi ‏ا‎
‎Est de classe ETATS‏ 4 مسطن ررم
‎Hg crie t £‏ زح

— صفحة 5 —
‎de‏ .لافلا
‎:
‎+ Génie Info
‎B) Pour ti ٠ ‏من‎ 0
‏»انان‎ OT existe ‏ريد‎ unie 020015 Cycle Ing. (LS Juillet 20
pue te let 2010
‎par {+ ht) :
(0 - ge" est solution ‏مل‎ Re tel que r à ns
‎€) Les fonctio: l ' ١ ‏يا‎
‎5 ns q cquat LT # fonet /
q T>frs vr (A | ‏ناما‎ diffé rentielle pp ‏بر ف‎ à
‎D) L'enserr |
‎end LIRE :
‏ل‎ des 0110110116 véri fan tip 0 2 vs
b fo t { } est un
‎à résoudre | 0 uation
‎2 /
‏صمتاسين‎ 18: Pour € > 0. où cher ‏بل اسل‎ où 048
8 ‏لا‎ éherche H-espace vactoriet de d LATE RE ‏كل ملافا‎
moe dés + inonsion
Aux dérivées partielles 84
‎70) ‏م‎ CE "8
dr ‏برت‎ 0
‎où la 110 € ‏أن د‎ 8 #
0111101١ inconnue f 1 F
fonct ١ de ‏يمك‎ € 111
‎Où pose si sys
SC. Pour (ur ) € R° 1
1 ‏الاي‎ ytu v))l unique oluti
inconnues æ et y. On ‏م‎ : 4 solution du svstènue ! 22 7 ١ ‏بز‎
‎8 U. On cor isidère 4 la fonction définie pére
‎sur R° par
‎Vue} ec ‏نز‎ "00-1 7] ut
} }. alu.r) ft ut}. 91)
A) vu TE -
‎11:1 (ur) ARTE ETS TR) ‏ونا الا‎
A) v F ‏ال( 1/1 م‎ 1 Cou (E uytu.r))
‎é‏ 10 4 قا ‎Vu)‏ رثا
‎Ava Lo‏ وا - ‎À 22. (uv)‏
‎du 2 dx (Grtu.u)uyiu.v)i x MOTO ON‏
‎١‏ 8 2" 6 » ا 0
‎&f 0"‏ ان :( ‎Viuæ) € R°. 7 A (uv) u‏ ©
‎tu.)‏ “ريق من 16 ‎TEL‏
‎ti Dj (ray) ‏”م‎ chicu) + 2 est solntion de )79( sur p°
Ques 3 onsidèr 1 !
ion 19: On considère le domaine D dont on vent calculer l'aire A
‎: 0
‏1 3 2 3 2 ل : ‎D‏
‎U}‏ - رزلا ‎tu‏ لل ا اا لد ل ا ا
‎Du note.g : { Ro x{-nxm) — l'E
‏الى قم ++ روس‎
‏ال الس ل ا د د ل الس
العم = طابض ‎a‏ 0 .-] »لز (0.م)) ‎IL)‏ ته ‎B)‏
‎pr 8:‏ ]0م
‎An [ ١ dp dû} 2 + - vs‏ €
‎dy ane 6‏ م ول
‎6 1 pri #3
D} Ar 1 ١ ‏م‎ dp dû se
an Jp gun 1
‎Question 20: Soient puu nombre entier naturel non nul
et 4 un nombre entier relatif non nul différent de 1
‎A) (ne Won D ‏لا‎ Jet sont premiers entre eux d'après Je théorème de Bizet
‎Bi (ne Won 2) p divise a? re ‏م عار ل‎
car si p divise un produit dé nombres entiers ‏.طم‎ alors p divise ‏م‎ où p divise b
‎;
‎On désigne par LT ensemble des nombres entier ‏انملك‎ g tels que
‎ve How93. 6 divise ‏ل “بن‎
] ‏رتم‎ d'est strictement inclus dun {64 ke SU ١ GR ES ë&}
pie {66 ke ‏لق‎ dk, ke 2
‎Question 21: Soit Eu ensemble der élément ‏نا‎ 85
‎AYmZ déseneront par ‏ا‎ suite des parues de 1
‎conples ‏خا‎ de parties de E ‏ساك‎ que NO West 6
couples ‏ا‎ A) de partie ‏ا مل‎ telles que 311 1 est 5
couples ) NY) de parti de Etoiles gne ‏أ‎ A ‏مص‎ nus pr
‏حيى‎ Zi de parties de E telles que ‏نل‎ y ‏سس م‎
‎Aj ‏مل‎ nombre ‏نك‎
‎Bi Be ‏انلصي‎ de A
) Le sombre de
‎po Le ‏ان‎ de ‏تارك‎
‎22: op ‏ندل د‎ :
22: . ١ , est nu ‏عراسي‎ ps padtitios tete ke
‎Question |
Ajf ensemble des poly homes de degré CE it 0 7 )7
‏ٍْ : ا
‎LE ta‏ ل الس ضري ‎moi‏
‎CA‏ تر ‎des‏ مارارن ‎Len‏ ا
‎0110:
‎de‏ نوري 1 ‎de taille fe De‏ جو

— صفحة 6 —
Pt Génie Info
© L'ensouble de
RUE 6 ‏انين )1لا‎
8 ‏بل الاق‎
‎un‏ ال
ينا ‎alors‏
‎SOReOUrs Cycle ing. (51) jui 2019
‎lite
‎On ‏عل‎ pr ‏بالستبفل وومتبو لم101‎
‏ورين ‎pour‏ «الناطالق
بكم يي ‎mble‏
‏ربو ورا :10
‎donne‏ افا
‎"6 due 0
‏م‎
‎€ GE ‏م‎
‎nul tel qui
‎On cons 0 Post an Roque‏ :23 للد ا
‎non |‏ 1 معلا ‎considère uni polx‏ 20
‎PAT) Pix + PIX 0
"alors (ne pu ) a?
wine de Por {Vn
racine de /
‎A} Si a est Nue racine de Z "est racine de ‏م‎
‎° 0 : ١ de
11( Si & out une } ‘ ne dk
‎N°} ‏جم “تن‎ de D
C1 Si à est une à } SE racine de
‎alors ‏ل‎ existe pe N\{01}
s xis VULIT tel que ‏نو تم‎
D) Les racines de 2° sont des racines de l'unité
uesti 4: Soi ٠ ‏اال ا‎
‏د‎ tion 24: Soit » © N° et PIX) - ‏ل‎ a XE avec: CR € ua). ax € Ze Un # 0.
CR
‎A) ‏بوم نك‎ 2 x 2e ‏اه‎ un couple de nombres entiers
‎Premiers entre eux et ‏ع‎
‏م‎ divise ‏وه‎ 0 divise ‏مم‎
‎de 77. alors
‎13( Side plus On = Det P possède une
alors cette racine est un nombre
‎7
‎ln qi } ‏أربي اله‎ parie
4
‎racine rationnelle,
‎entier
‎€ Les racines rationnelles éventuelles de 2X3 - ‏قب‎
‎13 1 5 sont dans {1 3 ‏ب"‎
‎7
‎/
‏مم
‎S
‎Di 2X T4 2" GX + 5 admet une racine ٠
Question 25: On appelle ici suite de po
‎0
‎ationnelle
‎hnomes de ‏بر‎ bucher tonte snite uen de polynomes ver 1111
1 ( F
‎(ne NN), (VER), Ticos(#))  cos(nb).
A) {Vn € NN) et (v8 ‏لقا‎ on a
‎k
‎LE ENT :
‏ارم ت.ى. ل :د ‎n‏
‎Jicos 0) 0 - cos” 0)‏ الم - ‎Re((e#}")‏ = (لاقو
‎7 0 4 ré «| is à cocffi «its
done une telle suite de polynômes de Tehebvchev existe et ceux-ci peuvent étre chose 4 ‏تلات‎
‎entiers ‏ين‎
‎B) ‏و70 نك‎ ct (Lan sont deux suites de polynémes de Tehehychev. alors
‘ ‏نعي‎ # die
‎{ne N) (vref-11) Titr)  Titr)
‎st par séquent ‏.للك ؟)‎ 7, Th. LE
0 Qui ‏سس‎ l'unicité de ‏ما‎ suite des polynomes de Tehebycher
‏ب‎ cp 0
5) © ]1* ‏لاخلا - لم27 لكام‎ HA) |
9 ‏رتل 0 ل ب‎ costfn + 00( - 2ensin4) ‏الك‎ nc 14
pat : INT LUN - ‏تابر + “ل‎
D} un € D). ‏(متاومل‎ - net 36, € Ba ‏ان‎ ٠. TN) = ‏ا‎
‎LE pou + & i cracine multiple puisque 77 4
‏ك5 بلا (0..2) ناج وو‎ 0 possède an moins une ‏تع‎
‎Question 26: A) 01 M À à ”
: 1 * ‏ا‎
‏اي‎ 4 l'unique polvnome vérifiant ‏حاط لاط‎ S
B) vn ‏,لال‎ P,EX) D 10 est l'unique pol
k 0
‎di ‏وروا لجرو‎ + 2IN ‏عت‎
‏ويم رم‎ € N°) ١ est racine double de # x"! tn ١ 2)A
2١ (Va e 5
“ent divisible par nt 8 5 ‏ا‎
‎D) Sime N ‏معي‎ a ext divisible par À a" dan er
5 0 à vale réelles défenis b: E,
a ŒÆ le -cspacs vectoriel des fonctions à valeurs réelle
ti 2: Considcrons - 0
Question 7 es en
‎mir) “+‏
‎CS‏ حدقا ا )ريم
‎0 ‏الس‎ est ‏الصا لطي‎
A} 77 6 1
fonctions de Æ ,
Bi ne M. (cos. cos mb
nf) est ane famille ‏عبتا‎ » ke fi
potes eretant ‏سد‎ Hu
‎1 ns de À
1 libre de fonetion
Les") est ane famille ‏نا‎
‎WE tons du ‏ظ,‎
‎LE {rh ‏دجلا اليبو‎ de fouet
‎crefan‏ 1 بط