Modèle du concours commun d'accès aux filières d'ingénieurs de l'ENSET Mohammedia — session de juillet 2018 — Épreuve de mathématiques

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Concours commun d'accès aux filières d'ingénieurs de l'ENSET Mohammedia - Session de juillet 2018
Soit f l’endomorphisme de 182 défini pour tout (x, y)eR? par : f(x, y) = (x + y,x — y).
D. est bijective
f(0,1,0) = (0,1) et
D. (x—2z,x-y+2)
D. dim kerf = 3
-2abc
D. est vecteur propre
de À associé à la
valeur propre 2.
D. est vecteur propre
de À associé à la
valeur propre 2.
PARTIE I
C. n’est ni injective ni surjective
[1)1,0,0( = (LD) ;
CG-2zx+y+2)
©. dim kerf = 2
B. n’est pas surjective
Q1
On démontre que f
A. n’est pas injective
(Les questions Q2 et Q3 sont liées)
B. (x—y,x+y+2)
pplication linéaire f vérifie
B. dimkerf =1
Soit f l’endomorphisme de R* défini pour tout (x, y, z, t)eR“ par :
fx, y,2,t) = (x+y-t,x+2z+2t,2x + y —2z,—x + 2y +
Soit f l'application linéaire définie de 183 dans 182 par :
f(0,0,1) = (—1,1) . Alors
Q2
A. (x—2z,x+y+2)
f(x, y,2) vaut
Q3 Le noyau de l’a]
A. Kerf = {(0,0,0)}
Q4
Le rang de f (égal à dim/mf) vaut
À. 1 B. 2 + 3
0 a b
05 Soient , ‏ع رط‎ € R. Le déterminant | O c|est égal à
b c 0
À. 0 B. abc C. 2abc
(Les questions Q6, Q7 et Q8 sont liées)
: 4 : : _1f3 4
On considère la matrice carrée À = 5 0 ‏ل‎ . Alors
C. est vecteur propre de
À associé à la valeur
propre 1.
C. est vecteur propre de
À associé à la valeur
propre 1.
PAP vaut
C.
)
Gi
le vecteur u = (2,1)
B. est vecteur propre de
À associé à la valeur
propre -1.
le vecteur v = (—1,2)
B. est vecteur propre de
À associé à la valeur
propre -1.
. Alors P est inversible et
لم 0
0
—2
2
B. 0
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06
A. n’est pas vecteur
propre de À.
Q7
A. n’est pas vecteur
propre de À.
2)
Q8

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PARTIE II
une racine septième de 1.
(Les questions Q9, Q10 et Q11 sont liées)
207
Onnote 2 - e
On pose u = 2 +7 24 ztetu ‏23ح‎ + 25+ 76
Le calcul de u + v donne
B. 1
—1
Le calcul de uv donne
B. 1
—1
Les valeurs de u et v sont
et 7 -
iv7
2
L’ensemble des points M d’affixe 2 tels que Le nombre u = ‏حت‎ soit de module 1 est
L’axe des imaginaires
e (0, 1)
‎P 6 C[X] parle‏ ع
‎bP(a)-aP(b)
‎D. P(b)-P(a) X+
a b-a
‎b
‎egré n. On note x1,X2, …,X, Ses racines distinctes ou
‎P(a)
‎Pr(a)
‎2
‎D.
‎privé
‎C. aP(b)-bP(a) X+ FD rire
‎C. L’axe des imaginaires
‎b-a b-a
‎_ ‏ها‎
‎Pr(a)
‎C.
‎B. L’axe des réels
privé de (1, 0)
‎B. P(b)+P(a) ‏بر‎ bP(a)+aP(b)
‎b-a b-a
‎Pr(a)
‎P(a)
‎Soit (a,b) € © avec a + b. Le reste de la division euclidienne d
‎Soit PE C[X] un polynôme de d
‎PQ)
‎P(a)
‎La décomposition en élément simples, sur R[X], de la fraction rationnelle a St
‎x x )
X2-XV241 2/2
‎)
‎XE4XV24L.
‎x x
X2-X 241
‎Page 2/4
‎1 ( x x )
2/5 Le-x Ve X2x 241.
‎B.
‏لد
‎X24XV2+1.‏
‎x
‎XE-XV241
‎(
‎Q9
‎A.
‎Q10
‎A.
‎011
‎u =
‎A.
‎2
‎Q12
‎A. L’axe des réels
‎Q13
‎polynôme (X — a)(X — b) est
‎A. 2o-re x+ P(a)-P(b)
‎Q14
‎non.Soit a € C tel que P(a) #0. Xi = est égale à
‎15
‎1
‎2»
‎A.

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PARTIE III
016 0 ‏جح ارجا‎ rene) vaut
À. 0 B. 8 0+0 1 D. +00
: 1
017 lim 8 + 5 vaut
A. 0 B. 1 C. 21 D. e
018 Soit f la fonction définie par f(x) = xsin(£) six # 0 et f(0) = 0. alors
A. f est continue en 0, B. f estcontinueet | C. f n’est ni continue, ni | D. f est continue en 0,
non dérivable en 0 dérivable en 0 dérivable en 0 dérivable à droite et non
dérivable à gauche en 0
Q19 Soit f(x) =In(1+x) (x > —1). La dérivée n°" de f au point x est égale à
(-1"n! C1 In! -D7#1(n-1)! (-D"{(n-1)!
A Gen Be ‏سين‎ CG D Go
Q20 Soit P la fonction polynomiale réelle définie par P(x) = X_çagx* (Vx € R). Alors ay est
égal à
1-50) RO) C. kf®(0) ‏نوم‎
‎A =! B. 3 D: kt
Q21 Soit f la fonction à deux variables définie par : f(x, y) = Pr
La limite de f en (0,0)
A. n'existe pas B.  estégale à 0 ©. _ estégaleà 1 D. _est égale à +co
Q22 Soit la fonction f définie par :
fun = ‏مو رش + م‎ )1//2 + 12( si (y) # (0,0)
si (x,y) = (0,0)
2L (0.0)
A. n'existe pas B.  estégale à 0 C.__ estégaleà 1 D. _est égale à +00
Q23 Soit f la fonction définie par : (Vx ER), f(x) = Arctan x + 2 Arctan(V1 — x? —x)
Pour tout 6 1] , f(x) est égale à
7
7 7
A. X—— B. > C. 2 D.
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D. 3
D. +00
D. +00
D. est égale à 2
1
Go Pour tout
PRES
D. et
PARTIE IV
Soit (ux)nen la suite numérique dont ‏ع1‎ terme général est
1+3 +9 +... + 8
Un = 21
024
Alors lim u, est égale à
no
WRI
Loir
A. 1 B.
6
Soit (u})nen la suite numérique dont le terme général est
2
Un =n(en —1)
Q25
Alors lim u, est égale à
no
A. 0 B. 3 C. 2
2
- ‏ترب » ع‎
026 la somme de la série numérique ‏مدلاند‎ or est
ze B. e?
A. 3 8 C. £
Q27 la somme de la série numérique Yh22(—1)"In (5)
A. n'existe pas B._est égale à +oo C._est égale à ‏ذ‎ 2
028 La somme de la série entière de terme général
x"
Un (x) = 2127
est égale à
x x x
A. -im(1-?) B. in(1->) C. -;m(1-?)
Q29 Le développement en série entière de la fonction définie par f(x)
xe]-1,1[est
- 1
B. Di x"
œ 1
A. Diro(l — x"
0 De x
٠ n=0 1
030 Le développement en série entière de la fonction définie ‏عدم‎ f(x) = In(x? - 5x + 6(
+ (1 _ yo (1 1x
A. 116 + <5 GG 2 = B. 06 -- GG 0 -ٍ
+” )1 1\2 ‏سج”د_‎ (1, 1\x"
#(ج+ج)ت - 1.6 )2+ 5( كيد + م
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