Modèle de concours d'accès — 1re année du cycle ingénieur pour les titulaires du DEUG — École Hassania des Travaux Publics (EHTP) — session du 22 juillet 2014 — Épreuve de mathématiques

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Concours DEUG EHTP 2014 MATH
ET as (V1
Roysume du Marx
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Ecole Hassania ‏ب لسر زر‎ fe
des Travaux Publics AN AUS Wanna à}
CONCOURS D'ACCES EN ‏تكد‎ ANNEE
POUR LES TITULAIRES DU DEUG EN
SCIENCES ‏ناه‎ EQUIVALENT
MARDI 22 JUILLET 2014
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
(Durée, 3 heures)
Trouves plus d'épreuves sur

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Concours DEUG EHTP 2014 MATH
EPREUVE DE MATHEMAT QUES
Dureë :3 heures
Le sujet comporte deux problèmes indépendants
nporté
NB. ‏ما‎ candidat attachera la plus grande 1m
concision de la rédaction. . 1 lui se
Si un candidat est amené à repérer ce qui 0610 xpliquant les raisons des initiatives
signalera sur sa copie et devra poursuivre Sa composition en € '
qu'il a été amené à prendre.
PROBLEME N' 4 "
Notations et objectifs
imce à lu clarté, à la précision et à k
mbler être 6 erreur d'énoncé, i 7
‎vectoriel des‏ ال
‎iel des matrices‏ ب ‎nn‏ أ ل 6 ‎Pour tout n entier naturel supérieur ou égal à 1, on‏
‎le est‏ لثلأن ‎matrices carrées d'ordre n à coeflicients dans R et M‏
‎colonnes à n lignes à coefficients dans R.‏
‎‘ensemble des matric‏ 0
‎S,(R) désigne l'ensemble des matrices symétriques de AL, (R ), OA (R) l'en 084‏
‎la matrice identité d'ordre n ,‏ ولاك ‎orthogonales de M, (R)‏ »
‎Tout vecteur x = (rihigien de 117 est identifié à un élément X de MR Le que l'élément‏
‎Un‏ داع ‎Dans toute la suite, nous noterons indifléremment Ci‏ مع ‎de la :°% ligne de Xsoit‏ »
‎élément de M, 1(R) aussi bien que le vecteur de 167 qui lui est associé,‏
‎Selon le contexte, 0 désigne soit le réel nul, soit la matrice nulle de M, KR), soit encore la
matrice nulle de M, 1(R).
‎127 est muni de son produit scalaire canonique noté (: | ‏و(‎ et de la norme associée notée ‏مالحا‎
‎Une matrice carrée réelle A sera dite positive si tous ses coefficients sont positifs où nuls et
on notera dans ce cas M > 0. De même un vecteur X de 07 sera dit positif si toutes ses compo
‎santes r; sont positives ou nulles et on notera aussi ‏لل‎ 2 0. L'ensemble des matrices carrées réelles
d'ordre n, positives et symétriques est noté S,(R4).
‎L'objectif de ce problème est d'étudier des conditions pour lesquelles, étant donnés n nombres
réels distincts où non, À, À3,.
‎- symétrique admettant pour valeurs propres ‏ويا‎
‎il existe une matrice carrée réelle d'ordre n positive el‏ ماب
‎Comptées avec mulüplicité, c'est-à-dire‏ ماب
‎dont le polynôme caractéristique est égal à l Il (x — X).‏
‎k=1‏
‎Dans la première partie on considérera quelques exemples simples.
Dans la seconde, on montrera que si $ est une matrice carrée réelle positive et symétr ique de
05 0 ‏م‎ |
PUS grande valeur propre «, alors à est positif
‎$ admet pour la valeur propre ec 8
٠ ù 6 un vecteur propre
Positif et toute valeur propre À de S vérifie | ‏اا‎ > a. Fe
‎14

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Concours DEUG EHTP 2014 MATH
PARTIE 1
Montrer que si ‏بي‎ À, : :
1! 9 1, A3 » À, sont des réels positifs, distincts ou non, il existe une matrice
« réelle positive et symétrique d'ordre n et de valeurs propres À 1, ‏نما 3- : بيط‎ comptées avec
nlictté
pie? ,*
2 a) Soit M une matrice carrée réelle d'ordre 2 admettant —1 et 1 pour valeurs 0100165.
‏تومي‎ que S m polynôme Caractéristique P est donné par P(X) = X 223,
b) En déduire une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 2 admettant pour
valeurs propres let 1.
‏در‎ Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 admettant pour
valeurs propres — 1,0et1.
‏مر‎ Déterminer une matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 4 admettant pour
valeurs propres comptées avec multiplicité : —1,—1, 1 et 1.
‏كز‎ Montrer qu'il n'existe aucune matrice S carrée réelle positive et symétrique d'ordre 3 ad-
etant pour valeurs propres comptées avec multiplicité : —1, —1 et 0.
L6 a) Pour a et b réels, on note H la matrice carrée d'ordre n dont les coefficients diagonaux
valent tous a et les autres valent tous b. Déterminer les valeurs propres de H.
b) Une matrice carrée réelle symétrique d'ordre n dont toutes les valeurs propres sont
positives ou nulles est-elle nécessairement positive ?
PARTIE II
111 Soit (X,Ÿ) € (Maa(R)} S € S(R) et P € O,(R). Établir les égalités :
2) (X [Ya = ‏لمر‎ = 'YX.
b) ‘XSY = (X | ‏الى‎ = (SX | ‏لل‎
‎o ‏ملظا‎ = HA:
(R)}? et (U,V) € (Mya(R)). On note Z et T les matrices de
112 Soit (X,Y) € (Ma
MassatR) définies par blocs sous la forme
:-)0.-0
a) Montrer que )2 | ‏ميم(‎ = (X | ‏ملا نا) جمل ل‎
b) Montrer que si X, Y sont orthogonaux dans 167 et U, V orthogonaux dans R?, Z et T
sont orthogonaux dans 16777.
c) La réciproque est-elle vraie ?
atrice de S,(R) et D = diag(h,...,Àn) une
Dans la suite de cette partie 5 désigne une m
matrice diagonale semblable à 5. On pose à = max À.
11.3 a) Montrer que pour tout Ÿ € ‏,لظام‎ (DY | Y}n > ‏ماالااه‎
م دنا 58)
نا
b) En déduire que pour tout X € M ‏الاب‎ {0}, 1

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4 MATH
Concours DEUG EHTP 201
base orthonormée de vecteurs
1 0 é i ecteur À sur une
c) En utilisant une décomponition du vec 1 et seulement si X est vecteur
propres de 5, montrer que cette dernière inégalité est une égalité ‏ة‎
‎propre de 5 associé à la valeur propre «. | 0 LC = ENS.
PL Soit £ ‏نا لد‎ | X ‏د ددن‎ € Maa(R) DAT ‏عل‎
‎a) Montrer que / est un fermé de M, 1(R)
b) Montrer que C'est un fermé borné de ‏لان أن‎ , mi SX
o Soit p : ! MR) +» , Nr (SX | X), Donner l'expression de (X) en
L 7 Mn, : 0
: 1 : aue sur ‏لطأ ارا‎
fonction des coefficients ‏عل‎ 5 et de ceux de X ; en déduire que ‏عاق ب‎ ONE L existe x: appartenant
d) On pose y = sup p(X). Justifier l'existence de ‏بر‎ et montrer ‏ناو‎ ١1 618416 ‏مخ‎
‎0
à C tel que ÿ{X 6) = ‏عر‎
‎€) Montrer que ‏ثر‎ > ©.
11.5 On suppose dans cette question 5 > 0. .
a) Si X = (rihicien est un vecteur propre unitaire de S assoc
. pose W = (frilhicicn.
d 1) Montrer que W est élément de C!.
ii) Montrer que ‏)م > |) )م|‎
ii) Montrer que [al > y. 0 .
b) En déduire ‏ه‎ > 0, puis que la matrice 5 admet un vecteur propre positif associé à la
valeur propre ©.
© Montrer que pour tout à € {1,2
PROBLEME N°2
Une étude de fonctions
é à la valeur propre &, on
. ب
ره ‎On pose que: a, =): pour neN et‏
‎LE‏
Pour x réel, lorsque cela a du sens, on pose :
«0
111.1/ Étude de f.
111.1.1/ Vérifier que f est définie et continue sur R .
111.1.2/ Expliciter xf (x) pour tout x réel.
111.13/ Expliciter e* f(x) pour tout x réel.

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Concours DEUG EHTP 2014 MATH
IIL2 Étude de g.
111.2.1/ Montrer que g est définie et de classe €! sur R
111.2.2/ On désigne par g' la dérivée de la fonction ‏ع‎ : exprimer g'-£ en
fonction de jf.
111.2.3/ Montrer que pour tout x réel :
g(x)=e [ ‏)را‎
| | (+ ‏م‎ 0
111.4 La série > S——.
ka k
Pour ne N° on note In(n) le logarithme repérien de n.
: k+1 1 .
111.4.1/ Soit w, =1n| ‏دا حت‎ keN
‏معن‎ k ) k+1 Pour RE
111.4.1.1 Montrer que la série D w, est convergente.
‏ا‎
111.4.1.2/ En déduire que la suite de terme général o,-In(n (١ admet une limite
finie (que l’on ne demande pas de calculer) lorsque n tend vers +20.
. (1)
111.4.2/ Pour ne N°, on pose r, = D ( 1
ا
; exprimer ‏ىرج‎ en fonction
de o,, et a.
est
( n ) ki
k
111.4.3/ Montrer en utilisant 111.4.1 et 111.4.2 que la série D
‏ا‎
0
convergente et déterminer sa somme +
Fin de l'énoncé