Modèle de concours d'accès au cycle de préparation à l'agrégation de mathématiques — CRMEF Rabat-Salé-Kénitra — session juillet 2017 — Épreuve d'analyse et probabilité

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Concours
d'accès au cycle de
préparation à l'agrégation de
Mathématiques
Session Juillet 2017
L'ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
Durée 4 heures
Le sujet comporte 4 pages, en plus de cette page de garde.

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— Concours D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 201 7
Important
L'épreuve est constituée de quatre exercices. Le candidat est invité à bien mentionner
les références complètes de chaque question traitée.
Les candidats sont tenus à rendre deux copies séparées même si elles sont vierges. La
première contenant La résolution des deux premiers exercices et La seconde contenant
celle des deux derniers exercices. Dans chacune des deux copies on indiquera les
références du candidat et Le nombre d'intercalaires utilisés.
IUsera tenu compte dans l'appréciation des copies de La rigueur de votre raisonnement,
de La clarté de La rédaction et du soin apporté à la présentation de votre copie. Le
candidat peut utiliser les résultats énoncés dans Les questions ou parties précédentes,
il veillera toutefois à mentionner la référence du résultat utilisé.
Si le candidat repère ce qu'il pense être une erreur de l'énoncé,il le signale sur
sa copie en expliquant les raisons qui l'ont amené à le penser. Ceci ne doit pas
l'empêcher de finir son épreuve et il a Le choix d'adopter les rectifications qu'il croit
nécessaires ou pas.
Les calculatrices et tout matériel électronique ainsi que les documents sont interdits lors
de cette épreuve.
++++
Exercice 1
Toutes les variables aléatoires discrètes de cet exercice sont définies sur le même espace probabilisé
(Q,2,P).
1- Soient X, Y et Z trois variables aléatoires à valeurs dans ‏.لا‎
‎a) Justifier la convergence de la série de terme général IP(X = n)-P(Y = n)l.
On note
œ
IP(X=n)-P(Y = n)|
n=0
b) Que dire des variables X et Y lorsque d(X, Y) = 0?
Donner un exemple simple de deux variables aléatoires non presque surement égales et telles
que d(X,Y)=0
c) Prouver l'inégalité d(X, 2) > d(X,Y)+ d(Y,2Z)
1
d(X,Y)= >
( ) 2
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| ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ |
2- a) On pose A={kEeN, P(X = k) 2 P(Y = k)}. Vérifier l'égalité :
d{X,Y)=IP(X € À)-P(Y € A)|
b) Soit B une partie de N. Prouver l'inégalité :
IP(XE B)-P(YEB)|< d(X,Y).
On pourra faire intervenir les parties Bn A et Bn A°
3- Soit p €]0, 1]. Soient X une variable aléatoire discrète suivant la loi de Bernoulli de paramètre ‏م‎ et
‏ل[‎ une variable aléatoire discrète suivant la loi de Poisson de paramètre ‏.م‎
‎a) Justifier pour tout réel x, l'inégalité e* > 1+ x
b) Établir l'égalitéd(X, Y) = p(1-e"?) et en déduire la majoration d(X, Y) > ‏.م‎
Exercice 2
Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires considérées sont réelles et discrètes, définies sur un
espace probabilisé (Q,47,P) . Soit a > 0. On dit que la variable aléatoire X est a-sous-gaussienne si :
ar?
VIER  Elexp(tX)] > ‏اط‎
exp(t)+exp(-t)
On rappelle la notation : ch(t) = 2
2
t
1- Montrer que pourtoutteRona ch(t)< ©
Indication : On pourra au préalable montrer par récurrence que pour tout neNona2”"n!< (2n)!
puis établir le développement de la fonction ch en série entière sur R.
2- Soit te R. Démontrer que si x 6 ]-1,1[, on a l'inégalité de convexité :
1+ 1-x
exp(tx) > 7 exp(1) + ‏لحب‎ exp(-t)
3- Soit X une variable aléatoire réelle bornée par 1 et centrée. Montrer que X est 1-sous-gaussienne..
Indication : On pourra montrer VER  Elexp(tX)] > ‏مقا‎
‎En déduire que, si X est une variable aléatoire bornée par a > 0 et centrée, alors elle est a-sous-
gaussienne
4- Soit X1,---,X, des variables aléatoires mutuellement indépendantes et a-sous-gaussiennes, et
7 7
se, Un des nombres réels tels que Ÿ_(u;)? = 1. Montrer que la variable aléatoire ‏راثي ل‎ est
i=1 i=l
a-sous-gaussienne.
5- Soit X une variable aléatoire a-sous-gaussienne et À > 0. Montrer que pour tout 1 >0:
2:2
P(XZA)< ep —1À) Indication : On pourra utiliser l'inégalité de Markov
En déduire que :
À
>D< =
PUIXI2 À <2exp(- 273)
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85 D'ACCÈS AU CYCLE DE PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE MATHÉMATIQUES — SESSION JUILLET 2017
La suite de l'épreuve est à rédiger séparément !
Exercice 3
On considère la série de fonctions > fn, avec:
fu = : et(Vn > 1) fat = =
On note f la fonction somme de cette série.
1- Montrer que f est bien définie sur R\ 2 , impaire, l-périodique et qu’elle vérifie :
{vx ER\ : 2 ‏(د21)2‎ = f(x) + f(x + 5 5.
Indication : Poser sous réserve d’existance :
Sn (2 = Le = 2x nr
Pour l'égalité (*) essayer d’abord de prouver que
1 1 1
[vx € 132) 28S2n (2X) = Sn (x) + Sn {+ ;) - ‏ال‎
‎2 2} x+n+ l
1
2-a) Montrer que pour tout a €]0, 3 { D fn converge normalement sur {a, 1 — a).
En déduire que fest continue sur ]0, 1{.
#® 1 m2
2-b)Mont =—.
) ontrer que }_ 3 6
2-c) Montrer qu’au voisinage de 0 on a:
2
fo = 1 _ Lx +o(x) = : +O(x) etrcotan(rx) = à + (x.
2-d) Montrer alors que la fonction ‏:ع‎ x — f(x) - rcotan(xx) est prolongeable en une fonction
continue sur [0,1] puis sur R.
3-a) On considère le maximum M de | ‏ع‎ | sur [0, 1] supposé atteint en un certain xg € [0,1].
Prouver que ‏ع‎ vérifie (*) puis que | ‏ال { ع‎ | M.
x
Que dire alors de | g { 7 | ‏عسوم‎ neN?
3-b) Montrer que g est nulle sur R et expliciter le nombre f(x) en fonction de x quand il existe.
4- En déduire que pour tout xeR  Z:
2 ‏ال‎ ١! 1 |
sin2(nx) 2x2 Æl(x-n} (x+n)
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ÉPREUVE D'ANALYSE ET PROBABILITÉ
\ 7Exercice 4
+00
On admet que Î e dt = Vr.
ص
1187 -]) 501172602
‎On suppose que que /)0( est un maximum global strict de f sur ]-1,1[ avec : f'(0)<0.‏
-1
1) Montrer que la fonction définie sur ]-1,1[10( par ‏مي‎ : x— F in ‏لشف‎ est prolongeable par
continuité en 0 et déterminer son prolongement ‏.م‎
2
2) Déduiser en qu’il existe a > 0 tel que : Vx 6 [-1,1] f(x) > fOe ** .
‎ro)"‏ جع ‎l'or‏ ووو مز
‎En déduire que 1 (f@)" dx 00 V7 rot‏ )3
‎Indication (poser 1 = xÿn).
‎2
‎4) Donner un équivalent, lorsque n tend vers +60, de : u, = Î ° (sin()" dt et v, = Î : exp(ncos(t))dt.
0 0
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