Modèle de concours d'accès à l'École Normale Supérieure de l'Enseignement Technique de Mohammedia (ENSET) — session 2017 — Épreuve de mathématiques

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Epreuve de mathématiques
=
\ 2
1 Nombres complexes Ë
Questions préliminaires + 8
Qi Les entiers n € N tels que (1 + iVF)" soit un réel positif sont : 3] 2
CAL tes ‏متسس‎ de 6 [5._Lesmultiples de [C._Les multiples de 4 | 0. Les multiples de 2
62. Soient z et z' deux nombres complexes de module 1 et d'arguments respectifs 0 et 0 ‏ذا‎ a 2
+ 22" ‏ع‎ —1. Alors (: + 2')/(1 + ‏ا‎ est un réel de module: ‏ص‎
‎B.
‎A. TS
‏ب 2 ب‎ 0 9 + 87 0
CE
(242) (25 2] .. ‏بخ .رخ‎ Ë
| Eee D. 8
|6568 + 07/0568 — 8") |:)4 + 0')/cos(8 - 9") 7
Exercice 1 : Soit n 2 1 etu = ‏تل‎
‎Q3. Le produit [lEz{w* des racines n-ièmes de l'unité vaut :
A 8: 1 c. D.
l eu" (CU) =D" ED"?
Q4. Soit p > 0. Alors 52 ‏م‎ vaut:
Il A. 8:
| = 1,si p est multiple de n ‏اعد‎ multiple de n
l 0 sinon 1_,sinon
| * € 0
| msi p est multiple de n 8 ‏طأى‎ est multiple de n
1 0. 1 sinon
5. La somme 2020)1 + w*)" vaut:
FR Te. 3 D.
2-1 | 2+1 2+2 2n
‏ا‎ Limite, continuité, dérivabilité et théorème de Rolle.
Exercice 2 : Soit /: R° —+ R la fonction définie par
FO = x€ (x
FR) vaut:
1 3 0 0. 01516 pas
Exercice 3 : Soient a et b deux réels.
9:R — ‏مله‎ fonction définie par
‎six=0‏ م با
‎Ca six>0‏
‎Q7. La limite de an) en 0 im LED, Va
[a 1 5. 0
‎D._nexistepas |

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57
<
__Mohammedin__" }
a=2et b=1
b quelconque
D. aet bréels quelconques
D.
B. ilexiste a, € ]0,1[ tel que hÿ (a) = 0
D. ilexiste ‏مه‎ € 10,1] tel que han) = 0
D.
n+1
7‏تت‎ cos(ran)
D. n'existe pas
D.
x
a(x) = ESS
D.
—x + 2x5 + o(xt)
D. |
8
x+xt+ xs
15*
+ o(x5)
az=2 et
g
€ a=letb=2
et cos(ra,) est:
C.
n
"|
Fi cos(rah)
TT
n
Q12. La limite de h,(@,) lorsque n tend vers l'infini, lim+c An (@n), est :
cC. 0
V1- x?
Epreuve de mathématiques
_ 908. La fonction ‏و‎ est continue sur R pour :
_et__ b quelconque
99. La fonction g est dérivable sur R pour :
LA._ilexiste ‏ره‎ € 10.1 telaue 0 (a) = 0
C. ilexiste ‏عن‎ ]0,1{ tel que A, (an) = 0
9311. L'expression de À, («,) en fonction de ‏تب‎
n+1
‏ا‎ 05)
I
1
B.
‎Œ‏ 1ج م
‏ها
‎4
‎n
‏و
‎cos(ran)‏ > ا
‎A. -l
‎ut, Développement Limité
Exercice 5 : Soit u la fonction définie sur ]—1,1[ par
arcsin (x)
‎u(x) =
‎Q13. Soit la fonction a: ]—1,1[ ‏د‎ R telle que, pout tout x 6 [1-1]:
‎u'(x) + ‏من‎ u(x) = =
‎C.
‎X
‎AX)=—
‎0 ‏حر‎
‎a vaut :
C.
x + ‏قم‎ +o(xt)
u vaut :
C.
‎1+ +2 34 8,5
Lit
237 7
‎—X
‎2 8
‏قر‎ + — xs
+8 LT
‎+ o(x5)
‎y)? = -9x2.‏ - ب )زر
‎+ 0(x5)
‎La fonction a(x) vaut alors :
‎B.
‎ee | «= 1= x?
‎914. Un développement limité à l’ordre 4 en 0 de
‎x=x+o(xt) | ‏3ج«‎ +o(xt)
‎| A.
‎Q15. Un développement limité à l’ordre 5 en 0 de
‎A.
‏8 24 ,,
كي + قرح + ترج
‎3 15°
+o(x)
‎IV. Equations différentielles
Exercice 6: On se propose d'intégrer sur l'intervalle le plus grand possible contenu dans [0, +]
‎0
‎l'équation différentielle :

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1
ب"
لسن
Epreuve de mathématiques
Q6, Soit ff © 10, oo] tel que ‏تئر‎ = fév soit ne solution ‏صصنفااالا لاا‎ vi de ) 16٠١ La vateue de fé wat
[EN
1 |
vi
1) - ‏تجن‎ 0 Ce changement
١ ‏ا‎
‎petit 8 l Jr l
- ) HU = el
100 0) (os
€
11001111116 :
transforme l'équation CE) en l'équation différentielle Qi) suivante:
0
918. Les solutions de l'équation (4) sur 10, Leo] sont alors:
alors :
A. 1"
V3 |
4
t
Q17. On effectue le changement de fonc don ١
A.
ch) VE + + (x -
ro =
GE) v'Q) + (ex [ 2“ "= 1
A. LR
Lt aexp(—va ١١ ‏)ترص‎ dit)
‏سا = وين‎ ANC VAN) et) =
OX 61
avec a 6 ١ avec EI
c. b,
2 n
1 ‏(جإ-ا»‎ 11 men -)
VX) ‏مث مساج‎ MA) = VA
01
‏ا‎ CR ER avec € ٠
Q19. Les solutions ‏در‎ de L équation 0 ( sont alors :
0١
A. = CERTES 1
4 : RUES 3x vu VC) V5 rw Te 177 010 ١ ‏ا‎
‎01
‎B. ‏تدر‎ = Var où VOOR EE— ! ANUS |
2 1 ١ ‏الال‎ vai )
1 l 01
© ‏()ر‎ = 8 4 01 VAE x ‏رب لأس نم‎ ave ds |
3 VE tue ‏ص‎ ١
4 6 NU -
mm ‏بل اب تر ع‎
1 01
D. va) = 3" ou ‏ود 0د‎ - ENTER |
١ ‏انحا‎ +)
V. Primitive et Fractions rationnelles
Exercice 7 : soit
1 5٠" +0 2
\) = — nn . ‏ا‎
‎AS) )١- DE 7 VE sl
Q20. Les trois réels a, bete tels que
velo, ‏لد دن‎
à ٠-١ OAEX )١7

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E
N
SG e |!
E |
T
Mohammedia
# Epreuve de mathématiques
valent respectivement :
A, B. ‏ع‎ D.
a=3,h=2etcs 1 a=2,bh=3etc=-1 | a=3,b=-1etc=2 | a=-1,b=2etc=3
Q21. La primitive de f sur ]1, +] qui s’annule en 2 vaut :
A. B.
31n0x — 1) + 21n(x + 3) + 1 2105 1 21 1) +31n(x +3) + 1 35 1
_ —— — = _ — -3105--
Les 74320573 | 210 1(431064 3( + ‏وبي‎ 5
[en D.
3 ‏)ا‎ - 1) + 10) +3) + 2 In5 7 1 1( + 210) +3) + 3 215 3
3 ‏)ا‎ - 1( + 11n(x +: ‏ل _ = ايل‎ 2105-2
7 n 8 ‏)د(‎ - 1( + 7 5
‏ال‎ Matrices et suites
Exercice 8 : Soit
1 1 0 1 0 0
F=lo 1 1 =(0 1 9 6] 6 ©]
0 0 1 0 0 1
. La matrice 67 pour tout n > 3 vaut:
‏م‎ 8: 0 | c. I D. F?
023. La matrice F' pour tout n € N vaut :
A. B. C. D.
n? n(n-1) n(n-—1) n(n +1)
1 37 1 on ‏ال‎ 1 n+1 ‏اند‎ 1 n ‏اص‎
‎0 1 n 0 1 n 0 1 n+1 0 1 n
L \0_0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
Exercice 9,
Q24. Pour n 2 2, le reste de la division euclidienne de X" par X2 — 3X + 2 vaut :
A. B. C. D.
(27-2)X +4 2-78 (27—-2)X + 1-8 (27—-1)X+2-27 G7T-1X+1-—2"
0 1 -1
Q25, Soit M = (5 2 —1 } la matrice M" vaut alors :
1 -1 2
A. | B.
)2 - 2(14 + )2 - 5 )27 - 2(04 + )1 -- 25
c. | D.
-1)M+(2-2) C'-1M+(G-2),
Exercice 10 : Soient (a,), (bA) et (ch) trois suites réelles telles que ‏مع‎ = 1, bo = 2, co = 7et
vérifiant les relations de récurrences
bn+1 = 30, + ‏م‎
‎Cn+1 = 3Cn
On souhaite exprimer ‏رمه‎ b, et c, uniquement en fonction de n.
fe =3a,; +b,

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RE
#
Epreuve de mathématiques
00
20 considère le vecteur colanne X, = 8 La matrice // tee que ‏رمأ‎ © HA vaut:
9 —__———
PAR | OI
3« 1 0 n 1 0
0 3« 1 0 n 1)
93 0_0 ‏لم‎
Les matrices H? et
028. La matrice 11" vaut alors :
{indication : Ecrire ff en fonction des matrices {et
2
‎CETTE LE = 3‏
| ل ثم 0
"ع 00
3
1
2 ار سمو ‎nm 3 4(n-1)‏
0 الا ا ّم" 0
‎ni 0‏ 0 0
029.Les termes généraur ‏وق رموه‎ et ‏وت‎ en fonction de n valent respectivement:
indication : ‏و‎ = H° * #9)
* E
‏بنحقاة‎
‏ا ال اس‎
‏وا 7:37 +203 حوظ‎ > 2:35 +7: PI on
‏قن‎ 77
c D TT
20 A
CELA CES TES LE RS ‏حو وو 20207 تو خية‎
‏-فوء7 4 2030 حوط زاجعا ء :73نب‎
Len =7n ‏7ح‎
a
Q
3
El
0
e
S
<
3
a
ra
5
@
‏لج‎