Modèle du concours d'entrée au Master d'Enseignement de Mathématiques — ENS Marrakech, Université Cadi Ayyad — septembre 2013

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Université Cadi Ayyad
Ecole Normale Supérieure Marrakech
Concours d'Entrée au Master d'Enseignement de
Mathématiques
Partie |
1) Soit G un groupe et /} un SOus-groupe de +
À quelle condition // est-il distingué ?
2 Soit y un élément d'ordre fini dans un groupe 6 et 4 un entier relatif.
Montrer que: ofg') =
IN
OÙ ‏م زعا‎ est le PGCD de <(g) et 4
3 Soit G - (y) un groupe cychique d'ordre »
Prouver que l'application : ‏مد‎ (4) est une bijection de l'ensembie
des diviseurs de n dans l'ensemble des 50105-90611685 de (;
Quel est l'ordre de ‏ا‎ Pour tout diviseur 4 de ‏م‎
‎4) Exercice : Soit G un groupe abélien noté multiphicatvement , » un entier
P: 0 -٠ ) le morphisme défini par: + + y.
3) Supposons que )6 est fini d'ordre ‏م‎ etque m An = |, montrer que
© est un automorphisme de 7
9) On suppose que «; est cyclique d'ordre x etque m divise » Quel est
le noyau de ‏.م‎ quelle est son image .
£) On suppose encore que (est cyclique d'ordre n et que / est un nombre
Premier qui divise » et que m = / . QueE sont l'image et le noyau de ‏م‎
‎(on discutera en fonction de la plus grande puissance de ‏م‎ Qui divise ‏ب‎ (
Partie ١١
Dans toute cette partie A désigne un corps commutatit de carcténistique  ,
À) Soit 4 = (u,).., une matrice carrée d'ordre n à 061008015 dans K .
Kg
On appelle trace de 4 fa somme D “et on la note 7r{4)
ai Montrer que l'application, 77 est une forme linéairesur M4,{K°)
‏رط‎ Prouver que  YA.B € M,(X) D(A8) = T4)
: En dédure que deux matrices semblables ont la même trace . |
Soit £ un À -espace vectonel de dimension ١ ,00 définit alors la trace d un
endomorphisme # de / comme élant la trace de sa matrice par rapport à
ure base quelconque de £ . el 00 la note ‏ربي)ء/‎
‎c) Montrer que la trace d'un projecteur » de £ est égale au rang de ‏م‎
CR  يتتت((ت0(|ت7‎  :م,لفثة.5فزفزف.ف./ىزكد#‎ 66

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UNIVERSITE CADI AYYAD
ECOLE NORMALE SUPERIEURE MARRAKECH
Concours d'entrée en s, du Master de Maths et Enseingement
Epreuve d'Analyse Du 1 CIS
tée. 2° (Septembre 2013)
Exercice 1:
Pour tout ‏م‎ € N, on pose :
+
In = [ sin”(xhéx <
0 ‏ال لي‎
(a) Calculer / et /, 34
(b) Donner une 613000 de récurrence entre /, et ‏.حمل‎
‎(c) En déduire que VpeN*: / P æ
2n ‏ب"‎ 9 _
Gp - 2.2 4 2 (2p + 1()2(- 1(,.. ‏ب(‎
(d) Montrer que Yp ‏.كلا‎ Pi < ‏.رما كما‎ En déduire que Jim ‏اج‎ =1.
(e) En déduire la formule:
2
١) _ 2020-2 ‏ل‎ ِ
pa 1 ‏...(3-م1()0-م0)‎ 10  *
)0 Montrer que:
‎r.‏ حمام هنا
‎Exercice 2:
Soit ‏ه‎ l'application de R dans R définie par.
ox) = 1 six > 0 et ‏زناه‎ = -| sinon,
Soit f l'application de R dans R définie pour tout réei x, par
A) = ax) ‏أي‎
‎(a) Montrer que / est un homéomorphisme vénfiant pour tous x, y € R
VU) ‏كاضار-‎ 2/8 = et ff GENE x Ml ١ lp).
‏(ط)‎ Est-ce que /et f'‘ sont uniformément continues?
‎Exercice 3: |
On se propose de déterminer les fonctions / de ciasse C# sur R: x R, telles que:
‎8 0
{t) x Lx) + va Gi) = Je ١ ni
(a) À l'aide du changement de variable x = ‏ب‎ et y = uv avec u > Ü, caïculet
‎8: | 9 et Lite v
“+ (u,») en fonction de x.y, (x.y) et ‏الاج‎
‎b) En déduire l'équation en « et v équivalente à l'équation (1), puis résourdre
te Les équation. En déduire les solutions de (1),
ce