Modèle du concours d'accès au Master Gestion des Risques Financiers et Assurantiels (GRFA) — FSJES Agdal, Université Mohammed V — 2012-2013 — mathématiques-probabilités-statistiques et dissertation

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Université Mohammed V - Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Economiques et Sociales
Rabat-Agdal
La des Kisques Financiers et Assurantiels »
Test écrit de Mathématiques-Probabilité-Statistiques
Durée:2h Année 2012-2013
NB : Seule la calculatrice est autorisée
Partie 1 : Mathématiques :
Exercice n°1 : Soit l’ensemble F défini par
F={(xy,2) ER°/x+y+2=0)
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R? et déterminer sa dimension.
Exercice n°2 : Soit f l'application définie de R° vers RŸ par
fRy.z) = ) + - ‏2ر2‎ + +23 4 2y)
1) Montrer que f'est une application linéaire.
2) Chercher la matrice M associée à f par rapport à la base canonique de RS.
3) Déterminer le noyau de f et chercher sa dimension,
4) Déduire la dimension de l'image de f.
Exercice n°3 : On considère la matrice À définie par
2 1 0
A = ( 2 1
0 0 2
Montrer par récurrence que Vn € N°:
n n x ni 0
47 - | 0 2" 0 )
0 0 27
Exercice n°4: Pour quelles valeurs du paramètre réel m la matrice suivante est-elle
inversible ?
1 1 1
A= (mn 1 1 )
1 2 m-1
Partie 2 : Probabilité et Statistique
Exercice L: Caleul des probabilités
Un inspecteur d'une compagnie d'assurance rend visite aux parents de nouveau-nés. La
probabilité que cette visite se termine par la conclusion d'un nouveau contrat est de 10%.
Dans tous les cas, il rend visite une nouvelle fois aux parents et leur propose un autre type de
contrat. Dans ce cas la probabilité d'obtenir un contrat est de 15%. Quelle est la probabilité
pour que l'un ou l'autre des deux contrats soit signé? On notera p(Ci), la probabilité pour que
le contrat i soit signé.

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Exercice 2: Loi de probabilité discrète
Dans une population d'étudiants de master, 50% sont équipés d'un ordinateur fixe, 30%
possèdent un ordinateur portable et 20% n'ont pas d'ordinateur. Aucun d'eux n'a les deux types
d'ordinateurs. Si dix étudiants ont été pris au hasard:
1- Quelle est la probabilité pour que la moitié des étudiants possède un ordinateur fixe?
2- Quelle est la probabilité pour que tous les étudiants aient un ordinateur?
3- L'Etat décide d'offrir un ordinateur portable à chaque étudiant de master qui n'en
possède pas et sachant que le nombre des étudiants en master est de 600, quel serait le
budget moyen consacré à cette opération? Un ordinateur portable coûte 10 000 Dh.
Exercice 3 : Loi de probabilité continue
Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour
l'industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres (mm). Une tige de ce
type est considérée conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l'intervalle
(99,45mm;100,55mm].
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée dans la production, associe sa
longueur. On suppose que X suit la loi normale de moyenne ١ 00 et d'écart-type0,25.
1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit
conforme pour la longueur.
2. Calculer la probabilité qu'une tige préievée au hasard dans la production ait une
longueur comprise entre 99,51 et 100,49 millimètres.
3. Calculer la probabilité qu'une tige prélevée au hasard dans la production ait une
longueur supérieure à 100,5775 millimètres.
Exercice 4 : Loi de probabilité continue
Soit X une variable aléatoire désignant les notes des étudiants du master. X suit une loi
normale de paramètres m et ‏يه‎ Déterminer les paramètres m et ‏ه‎ sachant que la probabilité
d'avoir une note inférieure à 16 est égale à 0,8413 et celle d'avoir une note inférieure à 18 est
0,9772,
Exercice 5: Estimation et tests
On a relevé dans le tableau suivant les résultats de 10 pesées d’un même objet:
Masse (g) [72.20 72,26 | 72,30 72,39 | 72,42 | 72,48 [72,50 | 4
On note X la variable aléatoire représentant la masse d'un objet.
1- L'écart type o de l'échantillon de la masse de cet objet est égal à 0.118. Calculer
la masse moyenne de l'échantillon.
2: En déduire des estimations ponctuelles de la moyenne m et de l'écart type de la
variable ‏ب‎
3- On admet que la variable aléatoire X suit une loi normale. En prenant pour écart
type la valeur estimée dans la question 2; donner un intervalle de confiance au
seuil de 5% de la moyenne m.
4- Soit un autre échantillon de 36 pesées, la masse moyenne est égale à 72,04
gramme. L'écart type a estimé est égal 0.16 ‏بع‎ Peut-on affirmer au seuil de
signification de 1% que la masse moyenne est différente de 72 grammes?
Los cite sites MES 1 9 Ron ln pie 7 ‏بيصيججبع‎ Lis ntfs étés Mise été ‏يوجن جبحا لو بجع‎ Los il nt ot ‏مهرد‎ tie tie ‏نويد رذج فيج رع + بجر طبع‎ > EE LE DE
‏م7 هلمن‎ déclnmts ‏لتتممسسشالتس لتمللسى امس ظ[ا+#+#بباالتلمضش اباس[‎ sabot dant à sn) nb d él une san) nl Cd saint ‏لسو بر َب لتخم‎ RE nd ‏سلجمب‎ pain
8
|
|
|
|
ض
ض

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FONCTION DE RÉPARTITION DE LA LOI NORMALE REDUITE
Cette table donne pour u < 0, la valeur P = F(u) de la fonction de répar-
tition de la loi normale réduite telle que :
u 1 _#
P = F(u) = Br 2dx
‏ا‎
Pour u > 0: ‏ات م‎ =1-FCù).
‏لما‎ RCE ‏ست‎ RUE | 00 | ‏مه‎ | 005 | 006 | 00 | | 009 |
0,5120 | 0,5160 | 0,5199 | 05239 | 05279 | 0. 3 19 | 9
0 1 à 5308 : 1 03678 0,5517 | 05557 | 0.5596 | 0,563 | 05655 0,5714 0,5753
02 | 053393 | 05832 | 05871 | 05910 | 0,5948 | 0.5987 | 0, 6026 | 06064 | 06103 | 0,6141
03 | 06179 | 06217 | 0.6255 | 0.6293 | 0,633: | 0.6368 0,606 | 0,6443 | 0.6480 ١ 7
04 | 06554 | 06591 | 0.6628 | 0.6664 | 0.6700 | 6 0,672 | 0,6808 | 0,6844 | 9
05 | oép1is | 06950 | 0.6985 | 07019 | 03054 | 07088 0.7123 07257 | 0,7190 | 0,7224
0.6 | 07257 | 0,7291 | 0,7324 | 07357 | 0389 0.7422 0.7454 | 07486 | 070517 | 9
07 | 07580 | 0,7611 | 0,7642 | 0763 | 07704| 4 0,774 | 07794 | 0,7823 | 0,7852
08 |o7881 | 07910 | 07939 | 0,7967 | 07995 | 3 0,805! | 0,8078 | 0,8106 | 3
09 | 0859 | 08186 | 0,8212 | 08238 | 0.8264 | 9 0,8315 | 0,8340 | 0,8365 | 0,8389
10 | 08413 | 0,8438.| 0.8461 | 08485 | 08508 | 1 0,8554 | 08577 | 0,8599 | 0,8621
1,1 0.8643 | 08665 | 08486 | 0,8708 | 08729 | 0,8749 | 0,8770 0,8790 | 08810 0,8830
1,2 | 08849 | 08869 | 0,8888 | 03900 | 5 0,8944 | 0,8962 | 08980 | 0,8997 | 5
1,3 | 09032 | 0.9049 | 09066 | 09082 | 0,9099 | 0,911 5 | 09131 | 09147 | 0,9162 | 0,9177
1,4 | 09192 | 0920 | 09222 | 09236 | 1 09265 | 0,9279 | 09292 | 09306 | 9
1 | 09429 | 09418 | 0.406 94 | 0.9382 | 09370 | 09357 | 09345 | 09332 | 1,5
0,9545 0.9535 | 0.9525 | 0.9515 5 ( 0.9495 | 0.9484 | 09474 | دمعو | 0.9452| 1.6
0,9633 09625 | 09616 | 0,9608 9 | 0,9591 | 09582 | 0,9573 | 0,9564 | 09554 | 17
6 | 0,9699 | 0,9693 | 0.9636 | 9678 0 | 0.9671 | 0964 | 09656 | 09649 | 09641 | 18
0,9767 09766 | 08756 | ,0.9750 7 .0 0,9738 | 0,9732 | 0,9726 | 0,9719 | 09713 | 1,9
0,9817 | 0,9812 | 09808 | 0,9803 )09798 0,9793 0,9788 | 0,9783 | 0,9778 | 09772 | 20
7 | 09854 | 0,9850 | 09846 0,9842 09838 | 0,9834 | 09830 | 09826 | 0.9821 2,1
0 | 0,9887 | 09884 | 0.9881 8 | 09815 | 0,9871 | 09868 | 09864 | (0986 | 22
0,9916 0913 | 0,9911 | 0,9909 6 [ 0.9904 | ص99 | 09898 | موقو | 0.893 | 23
0,9936 | 0,9934 | 09932 | 0,9931 | 0.9929 7 | 09925 | 09922 | 09920 | 09918 | 2425 | 09938 | 0.9940 | 0.9941 | 09943 0,9945 0.9946 | 0,9948 | 0.9949 | 09951 | 0,9952
2.6 | 09953 | 0.9955 | 09956 | 099957 | 9 09960 | 09961 | 0,9962 | 0,9963 | 44
27 | 05965 | 09966 | 09967 | 09968 | 0.9969 0.9970 | 0.9971 | 09972 | 0,9973 | 0,9974
28 | 09974 | 09975 | 09976 | 0,9977 | 0,9977 0.9978 | 0,9979 | 03979 | 09980 | 0,9981
29 | 09981 | 09982 | 09982 | 09983 | 09984 | 0,9984 0,9985 | 0,9985 | 0,9986 | 0,9986

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UNIVERSITE MOHAMMED V AGDAL À ‏جامعة محمد الخامس — اكدال‎
FACULTE DES SCIENCES ‏ندة » الاقتصاددة‎ eu i
JURIDIQUES, ECONOMIQUES ET ‏كلية العلوم القانونية والاقتصاديا‎
SOCIALES ‏الا تم رو‎ Ft
Département des Sciences et Techniques 7
de Gestion ١ 3
CONCOURS
MASTER GESTION DES RISQUES FINANCIERS ET ASSURANTIELS (GRFA)
Durée : 1 heure
Sujet: La crise financière internationale : les causes et les conséquences sur le
plan économique et social