Modèle de concours commun d'accès en 1re année des ENSAM 2024 — Épreuves : Mathématiques et Physique

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AA Arts et Métier: Varoc
Concours Commun d’accès en 1% année
Session du 29 Juillet
Epreuve de : Mathématiques Durée : 2h15mn
Importants :
1. Aucune question n'est permise pendant l'épreuve.
2. Les calculatrices sont strictement interdites.
Partie I : Questions à choix multiples
Pour chaque question qui suit, cocher la bonne réponse dans la partie correspondante de la
feuille des réponses.
(Une réponse correcte = 2pls, aucune réponse, plus d'une réponse ou une réponse fausse = pts)
Question 1 : On propose à un candidat un QCM de 30 questions. Pour chaque question, il
y à 5 réponses possibles dont une seule est correcte. Quelle est la probabilité ©
pour que toutes ses réponses soient justes sachant qu'il va répondre au hasard
à ce questionnaire ?
Question 2 : Soit f(x) = x +Inzx une fonction strictement croissante et bijective de R* sur
R. On note ‏ل‎ sa fonction réciproque qui est dérivable sur R. Quelle est la valeur
‏عل‎ 7
Question 3 : On pose f(x) = )1 +x)(1+2x)...(1+nx). Cocher la bonne Valeur de )0(٠
Question 4 : Déterminer la limite de la suite de terme général (u,)hen- avec ‏من‎ = (cos).
Question 5 : Soit u une racine 5°%€ de l'unité et u/= 1, calculer 1 + u + u? +.
Question 6 : Dans le plan complexe, on considère les points ‏با‎ B et © d'affixes respectives
1+ 46,2 —iet —3— 51. Déterminer l'affixe ‏م2‎ du point D tel que le quadrilatère
ABCD soit un parallélogramme.
Question 7 : Quel est le reste r de la division de 117 +217 ‏تلوب‎ +... + 1517 par 7
Question 8 : Pour n € N, on définit l'entier A, = 1+ 58 +52 45%, Déterminer la condition
nécessaire et suffisante pour laquelle À, est un multiple de 13.
Question 9 : On définit dans IR? la loi notée « par : V(x, y), (x, y’) € (R?}?, (x, y) x (x.y!) =
(æ+x!,ye” + ‏,وان‎
‎Question 10 : Soit f une fonction définie, continue et strictement monotone de [0, 1] sur [0,1].
Cocher la bonne réponse.
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Question 11 : Soit f une fonction définie sur R* par f(t) = ] ‏.كب‎ Cocher la bonne
réponse.
Question 12 : Soit f la fonction définie par f(x) = x(x + 1)(x +2)(x +3). Cocher la bonne
réponse.
. SE , : ‏ا‎ : 5012-14-92
Question 13 : Déterminer la limite ١ = lim, 1 <<.
Question 14 : Donner la forme trigonométrique du nombre complexe z = sin 0 + 2isin? 2 Ë
Question 15 : Calculer la valeur de l'intégrale 1 = [°,(x° — 5x) dr.
Partie 11 : Questions à réponses précises
Pour chaque question qui suit, écrire la réponse dans la partie correspondante de la feuille des
réponses.
(Chaque réponse est notée sur 2pts)
Question 16 : On désigne par [x] la partie entière de x. Calculer la valeur de 1 = lim,_,o([#*] -
Question 17 : Calculer la valeur de la somme S= 50 ‏ع‎
Question 18 : Soit f la fonction définie de R dans R par f(x) = ‏لي‎ — 1. Déterminer dans
= . .… 02 * ‏م1‎
‎R l’ensemble ‏ى‎ des solutions ‏عل‎ l'inéquation f(x) < x.
Question 19 : On note ‏رى‎ = vo+v +-:-+0, pour tout n 6 N avec v, = In ‏بج‎ . Déterminer
Mimyyssiss
8 . ‏سر‎ 20
Question 20 : Ecrire sous forme algébrique le complexe z = (33 ) ë
Question 21 : Calculer 1 = f} cos*tsin? t dt.
Question 22 : Soit ‏ع‎ = x+1y, x et y étant deux réels tels que (x,y}/= (1,0). On pose Z = 2%,
L'ensemble E des points d’affixe z tel que Z soit un imaginaire pur est un cercle
de centre C et de rayon r privé d'un point M. Déterminer les coordonnées des
points C et M et la valeur du rayon r.
Question 23 : Déterminer l'ensemble P des primitives de la fonction a 1
Question 24 : Soit P(z) = ‏تون + 8-) + قح‎ + (17 — 8i)z + 176. Résoudre l'équation P(z) = 0
sachant qu'elle admet un imaginaire pur comme solution.
Question 25 : Calculer la limite ‏ا‎ = lim, _,0 sin(\/ = ).
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7 Concours Commun cu en 1ère année de l'ENSAM Maroc" - TT
' A ts e j M ê { lers Epreuve de Physique
| ‏ب‎ | Session du 29 juil ;
0 POV:-CNC
Rent es ‏ذا لمعا‎ smposée d'une seule pige.
pacte Praha ‏أب سيم‎ sur la fiche de réponse donnée au candidat,
Le candidat doit se concentrer sur le sujet d'examen 38015 00581 AUCUNE question concernant s
Electricité (QCM : Marquez la bonne réponse sur la fiche de 1 15, Do Dre la ae Propre 70 des oscillations électriques ‏وى‎
‎réponse) x ; 33 1713, la capacité C (en uF) des condensateurs vaut pa
s lces À et 2 sont indépendants. ans les questions suivantes, on tiendra |
Sr bobine, Un appareil adéquat permet de ne en 7 de la
Exercice 1 ‏للم‎ ess À | ‏حم‎ - 8: du circuit en fonction du temps ‏رأ‎ ainsi que la 5 de l'énergie totale
On réalise un circuit | / | R | = | 7 en to = 0 (Figure 3), Pre ‏مع‎ Courbe
électrique comportant 4 ‏لست‎ 0 7 Ter nt
un générsteur de | 0 « ü (L, r) 3 U, CC ‏ا‎ (en ‏ا[‎ Figure 3
tension continu 5, un | \ R ? 5,625 LE
interrupteur de courant | | |
K, une bobine _ — 4 —-
d'inductance L et de Figure 1
résistance Fr, deux ‏ا‎
‎condensateurs initialement déchargés de même capacité € et deux ‏لدج‎
‎conducteurs ohmiques de même résistance À (Figure 1), Ve
A l'instant & = Os, on positionne l'interrupteur K en position 0, Le | Rae ‏ماماو‎
‎courant 1 )4( traversant le circuit augmente de zéro à une valeur maximale 0 [0 ‏ما‎
‎notée ‏م1‎ = 500 mA où le régime permanent est attelnt. Pre nor S7s 9 10,5 12 13,5 15
. ote £ La valeur ‏عل‎ l’énergi 1 = 0.1
‏ل‎ 1. L'expression de ‏ما‎ en fonction de r, R et E est : s'exprime suivant ‏م2 1816 ةا و‎ l'instant t, = 0, L inductance L
Un dispositif approprié permet de relever la tension U} aux bornes de la 17. La pente, notée p, de la tangente à ‏وا‎ >
bobine en fonction du temps comme le montre la courbe de la Figure 2. (en 7/s) : courbe en to = 0 a Pour valeur
| ‏مس د بخص‎ 18, L'
lU, (env) Figure 2 expression de la résistance 7 de la bobine est :
| 25 Exercice 2
2,5 ‏ا م ا‎
| 21 À _ Une bobine d'inductance L et de it) L,r
Pr Fa résistance r est placée en série dans un A B
| | circuit Comprenant un condensateur de
13 | - capacité C = 390 UF et un générateur Gur) 08
‏للب 1 وا‎ (GBF) délivrant une tension alternative
75 ‏ا‎ — sinusoïdale :u, = 30 sin(100rt) , ‏ما‎ M
| 5 TETE : ICT : 1_jenims en Vetten s (Figure 4). Le circuit est Figure 4
4 1 : ِ _8 9 60 alors traversé Par un couran
N - ‏نك‎ t alternatif \ :
"2. La tension ‏ونا‎ s'exprime en fonction de ‏را‎ (t), R et E comme suit : ICE) = 1, cos(1007rt + P),ln en À et @ 5 ‏حو‎ ّ Mes
V3. A partir de l'équation de la question 2, et en utilisant la courbe de | numéri 7 ‏اي ارت‎
Figure 2, La tension © (en V) fournie par le générat | 5 ‏اج جوزي 2 قا‎ le ‏م عه‎ vos ai
À le générateur a pour valeur : tension u4 = uyy et sur la voie Y late
an 8 nsion ue = uyy (Figure 5).
\ 2 : ‏ليوف‎ de ‏م‎ en fonction de lt), r et L est : l'écran de l'oscilloscope, les oscillogrammes de latente à Fi de
35. À partir de l'équation de la question 4, et en utilisant la courbe de la On donne t = 3,7 ms. |
Figure 2, la résistance r {en A) vaut :
4 ٍ 41 ‏و‎ R (en Q) d'un conducteur ohmique vaut : lu u 4 3,174 Figures
HO = 1 ‏(أ-ه-1)‎ represent FR ‏فل‎ AY UEETE A8, La valeur de la tension U} (en V) aux bornes des conducteurs 01001 / 1 | 1
Tia miques ‏أ الال‎
11. ‏ها‎ vaeur de ne MEME 2 a pour valeur {en ms: ‏بألل‎ MINE VAT |
: Péclance Len mu) de a bobine et; 1018 816011647
* A Un instant 4, ‏ولا‎ = Un. L'expression de 1, est : ‏م‎ A
3. La valeur de ‏ال للا الات ع‎ 1 mL"
e 1 (en ms) est : : |
oryque le régime Permanent du courant dans tea à, Sachant que la sensibilité verticale Sy (en V/div) est la même pour les
1 = /p), on bascule ‏)ا‎ de la position 0 à la position 1 à un he ARS ‏عفادن ملام‎ SFR M
?nsidéré comme origine du temps, CR ‏وح‎ 20. La sensibilité horizontale Sy (en ms/div) de l'oscilloscope vaut:
‎805 Un premier temps, on négligera la résistance r de In bob) ‏بإ‎ RENTE de ‏ع4 مالقا‎ en fonc ton ‏بال‎ No
Lions Metal 4 2 ne. 22. Le couple (1,,; @) a pour valeur (respectivement en À et en rad):
bornes des Mais l'évolution de la tension Us aux 23, En appliquent la loi des mailles et en utilisant les expressions
ax, ‏0؟ 0 و‎ fonction du temps est la suivante : temporelles de uç, {(t) et ue(t) puls en attribuant au temps + deux
“#60 = A. l'expression du couple (a, Best: PR ah le couple (r; L) a pour valeur (respectivement en
8 8 0 +. + « ‏تماذ - )ل | بات‎
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Mécanique
On suppose que l'accélération de la pesanteur est cons ;
égale à g = 10 ‏,ثور‎ dirigée vers le be ‏ميات‎ 8
Les parties A, B ‏أو‎ C sont indépendantes. CA 7 ‏و‎ 4
‏مس‎ : On écrit seulement le résultat final sur la fiche de EL D 0 ‏ب‎ FE
ponse A Figure 7
PartieA ‏بجوي‎ Aestions suivantes, on suppose que ‏ما‎ condition ‏ولا‎ < ١ ‏مه ب‎
On étudie le mouvement d'un skieur, assimilé à un point Matériel de
masse mn, descendant une piste selon la ligne de plus grande pente faisant 138. L'expression de ‏ذا‎ durée x de
’ . Parcours du trajet AB est :
nt or tonne re ‏أ امت مااي‎ | En a nm nn mn
me origine axe 0: confondu avec et la verticale Or Q
la piste, On note Oy la normale à la piste dirigée vers le haut. F et Ï de la piste sur M est “dr ‏دلي ليب متيل‎ D
désignent respectivement les Vecteurs unitaires des axes (0x) et (O y), La 40.€ h2
réaction de la neige sur le skieur est notée : À - -T 14 NJ avec T = jiN "2e ‏وم‎ le théorème de l'énergie ‏,جات‎ 02 s'écrit :
90 H désigne le coefficient de frottement. On repère la position du skieur ôt = Va # 0
\ sur l'axe Ox par son abscisse X(2), On néglige la résistance de l'air, La TA 8 css 1
V 24. Exprimer N en fonction de ‏ب‎ get bé ane eg op ‏وه ايل جم واد‎ À
١ " , y Vitesse V, doit rester inférieure à un seuil ‏.ور لا‎ l'expression de Vs
Ÿ tr
25. Exprimer l'accélérati pe
‏جروا ماب‎ 1 SE du skieur à {Indication : l'intensité À, doit rester positive pour maintenir le contact
V26. Déterminer l'équation horaire 4 ‏و ع‎
xt) en fonction du temps ‏,أ‎ a, g 42, l'angle 0 pour lequel le palet M quitte la piste vérifie : ‏ا رقو‎
A etui. Le coefficient ff est :
27. Déterminer, en fonction de « au
et ‏رأ‎ la vitesse v du skieur quand il 2 ‏معنم‎
‎parcourt une distance L. Figure 6 Une bille M assimilée A 0
0 8 : à un point matériel de masse a, A
reprend l'énoncé précédent mails en supposant que l'air exerce sur le m, peut se déplacer sur un as 2
skieur une force de frottement de la forme: F = -47 où À est un plan incliné d'un angle « par ‏م4‎ D
Ne constant positif et ‏تآ‎ est la vitesse du skieur, rapport à l'horizontale
28. En appliquant la deuxième loi de Newton, la vitesse v du skieur vérifie (Feure 8). or br le 13
0 men aide un
l'équation différentielle : mi + Av — B=0, exprimer ‏ل‎ en sde R, de constants de ‏م‎
‎fonction de m, «, ‏ع‎ et y. raldeur k; de longueur à vide 6 2
‏ب‎ donne :À = 179.571: ‏حم‎ 0,9: m = 80 kg et à = 45°, lo. En haut du plan incliné se 7 Zz
trouve un autre ressort ‏أل‎ de 0 Figure
29. La piste est tellement longue qu'un régime permanent va s'établir. ra raideur ‏و‎ 5 de : 8 8
5 Déterminer la valeur raamérique (en m/s) de la vitesse limite ‏ل‎ . même longueur à vide
‏ها.0‎ solution ‏م4‎ l'équation de la question 28 s'écrit: 024 = l5. On donne la longueur 0,0; = ‏.ما4‎ L'origine des énergies
KQ PC) = ‏1)رس‎ — e7 ‏.ل‎ Exprimer r en fonction de m et À. potentielles de pesanteur est le plan horizontal passant par 01. Le point M
S'z. Sachant que x(t = 0) = 0, déterminer l'équation horaire x(t) en peut être repéré soit par son abscisse x sur l'axe (Oz) soit par son a
fonction dv , x = 0,M sur l'axe (0,0;) orienté de 0, vers O; . On néglige les masses
1 ٍ : des ressorts ainsi que les frottements.
N 32. Sage ho en fonction de + l'instant ‏رخ‎ où la vitesse du skleur atteint \ 43, La longueur L,, du ressort R; correspondant à l'équilibre de La bille
7 . est:
A l'instant ‏ريغ‎ le skieur tombe. On suppose que le mouvement du skieur On déplace la bille d’une distance a telle que : 0,M = a+ Lg puis on la
est toujours sur la ligne de plus grande pente. On néglige la résistance de lâche sans vitesse Initiale, On suppose que la bille reste accrochée au
l'air, et on considère que le coefficient de frottement sur le sol est multiplié ressort R;.
par10(u = 10 X0,9 = 9), Déterminer les valeurs numériques de : À 44. L'énergie potentielle totale de la bille (élastique et de pesanteur) est :
33, La distance ‏ل‎ (en m) parcourue par le skieur avant de s'arrêter. 45. l'équation différentielle du mouvement de la bille s'écrit:
34. La durée At (en s) entre l'instant £, et l'instant d'arrêt ‏دخ ف‎ w (x = Lea) = 0. La pulsation ‏:كه ونه‎
35. Le travail W (en k/) de la force de frottement entre f4et ٠ 46. L'équation horaire x(t) s'écrit sous la forme : x(t) = À + pcos(wot).
la fiche de ré Le couple (4, y) est:
, r la e reponse,
QCM : Marquez la bonne réponse su ‏م‎ En réalité la bille n’est pas soudée au ressort R;. Au cours d'une
Partie B expérience, on comprime l’ensemble {Bille + Ressort R;} jusqu’à une
libère l’ensemble sans vitesse Initiale. La bille monte
matériel, est lancé sur une longueur 12 et on :
‏لوجي لمم وبا وما‎ 7 inclinée d'un angle « par alors Jusqu'à un point B qu'elle atteint pee ‏اليلد‎ >
rapport à l'horizontale, et d'une portion circulaire BC, de rayon R et se situe entre 0, et À tel que: 0:8 <2 (le ressort R; est alors
d'angle BOT = © + a (Figure 7), Le palet, Initialement lancé depuis A avec comprimé).
[re vitesse V,, glisse sans frottement sur la piste, 47, L'énergle mécanique de la bille exprimée au point B s'écrit :
36. En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, l'expression de la E,(B) = 41616 + Bmglosina. Le couple (4, B) est:
vitesse V} au point B est : 48, En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, l'expression de la
\/ 37, Afin que B soit effectivement atteint par l'objet, || est nécessaire que constante de raldeur k se met sous la forme:
Va > Vau L'expression de Vuy est : ka = 4k(1- ‏تن‎ - "MD, Le couple (C, D) est:
‏المباردريات من مو قع و ظيفة إن م يقي‎ > ai
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