Modèle de concours d'accès à la Faculté de Médecine et de Pharmacie de Casablanca (Université Hassan II) 2005 — Épreuve : Mathématiques (version arabe)

هذا النموذج هو اختبار الرياضيات في مباراة ولوج كلية الطب بالدار البيضاء (جامعة الحسن الثاني)، دورة 2005. أسئلة من نوع الاختيار من متعدد («ضع دائرة حول الاقتراح أو الاقتراحات الصحيحة»)، وقد يكون في السؤال أكثر من اقتراح صحيح. ما يلي الإجابات مع الحساب المختصر.

💡 لا وقت لدراسة كاملة: احسب فقط ما يلزم للحكم على الاقتراح (نهاية، إشارة مشتقة، مسافة...)، وتحقّق من الحالات الحدّية (نقط الوصل بين التعابير).

I) الدالة المعرّفة بأجزاء

لـ x < 0: f(x) = |x|·ln x² = −2x·ln(−x)؛ لـ 0 ≤ x ≤ 1: f(x) = √(x(1−x))؛ لـ x > 1: f(x) = (x−1)/(2x−3).

1. الإجابة: A و C.
   • القيمة الوحيدة الممنوعة هي x = 3/2 (منعدمة المقام)، و 0 داخل المجال ⇐ Df = ]−∞, 3/2[ ∪ ]3/2, +∞[ (A صحيح، B خطأ).
   • الاتصال في 0: limx→0⁻ −2x·ln(−x) = 0 = f(0) و limx→0⁺ √(x(1−x)) = 0 ⇐ C صحيح.
   • الاشتقاق في 0: (f(x)−f(0))/x = −2ln(−x) → +∞ على اليسار و √((1−x)/x) → +∞ على اليمين ⇐ غير قابلة للاشتقاق (D خطأ).
   • في 1: على اليسار (f(x)−f(1))/(x−1) = −√(x/(1−x)) → −∞، وعلى اليمين 1/(2x−3) → −1 ⇐ غير قابلة للاشتقاق (E خطأ).
2. الإجابة: B. limx→−∞ −2x·ln(−x) = +∞ (جداء مقدارين يؤولان إلى +∞).
3. الإجابة: D. limx→+∞ (x−1)/(2x−3) = 1/2.
4. الإجابة: A و C و D.
   • لـ x < 0: f'(x) = −2ln(−x) − 2، و f'(x) > 0 ⇔ ln(−x) < −1 ⇔ −1/e < x < 0 ⇐ f تزايدية على ]−1/e, 0[ (A صحيح).
   • على ]1/2, 1[: f'(x) = (1−2x)/(2√(x−x²)) < 0 ⇐ f تناقصية (B خطأ).
   • limx→−∞ f(x)/x = lim −2ln(−x) = +∞ ⇐ فرع شلجمي في اتجاه محور الأراتيب (C صحيح).
   • على يسار 1 المشتقة تؤول إلى −∞ ⇐ نصف مماس عمودي (D صحيح).
   • على يمين 1 المعامل الموجه لنصف المماس هو lim 1/(2x−3) = −1 وليس −1/2 (E خطأ).

II) الدالة f(x) = x + ex/(1+ex)

الإجابة: B و C.

• بجوار +∞: f(x) − (x+1) = ex/(1+ex) − 1 = −1/(1+ex) → 0 ⇐ المستقيم y = x + 1 مقارب مائل (B صحيح)، وبما أن الفرق سالب فالمنحنى تحت المقارب (E خطأ).
• بجوار −∞: f(x) − x = ex/(1+ex) → 0 ⇐ المستقيم y = x مقارب مائل (C صحيح).
• D خطأ (f لا تؤول إلى 0). A: بجوار +∞ للمنحنى مقارب مائل وليس مجرد «اتجاه مقارب» (فرع شلجمي)، لذلك يُعتبر A خطأ — إجابة مرجّحة، لأن بعض الصياغات تعدّ المقارب المائل اتجاهاً مقارباً أيضاً.

III) التكاملات

• I: الإجابة D. دالة أصلية لـ 1/cos x على [0, π/3] هي ln|tan(x/2 + π/4)|، إذن I = ln tan(5π/12) − ln tan(π/4) = ln(2 + √3) ≈ 1,317.
• J: الإجابة D. J = ∫01 √(1−x²) dx هي مساحة ربع قرص شعاعه 1 (أو بالتعويض x = sin t): J = π/4.

IV) العددان العقديان

الإجابة: D (|Z| = 2ρ·sin(θ − π/4) و arg Z = 3π/4).

cos(π/2) + i·sin(π/2) = i، إذن Z = z − i·z̄ = ρ(eiθ − ei(π/2 − θ)). باستعمال eia − eib = 2i·sin((a−b)/2)·ei(a+b)/2: Z = 2iρ·sin(θ − π/4)·eiπ/4 = 2ρ·sin(θ − π/4)·ei3π/4. بما أن θ ∈ ]π/4, 5π/4[ فإن θ − π/4 ∈ ]0, π[ و sin(θ − π/4) > 0، فهذا هو الشكل المثلثي.

V) المثلث ABC

الإجابة: A و B و D.

• a − b = 3 و c − b = −3i ⇐ BA = BC = 3 و (c−b)/(a−b) = −i ⇐ المثلث قائم الزاوية ومتساوي الساقين في B (A و B صحيحان، C خطأ لأن AC = 3√2).
• مركز الدائرة المحيطة بمثلث قائم هو منتصف الوتر [AC]: (a + c)/2 = 1/2 − i/2 ⇐ Ω(1/2, −1/2) (D صحيح)، وشعاعها AC/2 = 3√2/2 وليس √2/2 (E خطأ).

VI) الفلكة

1. الإجابة: C و E. (x+2)² + (y−3)² + (z+1)² = 4 + 9 + 1 − 9 = 5 ⇐ فلكة مركزها Ω(−2, 3, −1) وشعاعها √5.
2. الإجابة: E. مسافة المركز عن المستوى: d = |2(−2) + 3 − 2(−1) + 1|/√(4+1+4) = 2/3 < √5 ⇐ التقاطع دائرة شعاعها √(5 − 4/9) = √41/3 (C و D خطأ). مركزها المسقط العمودي لـ Ω على المستوى: H = Ω − (2/9)(2, 1, −2) = (−22/9, 25/9, −5/9) ⇐ E صحيح. B خطأ لأن (5,0,4) لا تحقق معادلة المستوى (10 + 0 − 8 + 1 = 3 ≠ 0).

VII) الاحتمالات (سحب كرتين في آن واحد)

عدد الإمكانيات: C102 = 45. A: «كرة بيضاء واحدة بالضبط»، B: «كرة سوداء واحدة بالضبط».

1. p(A) = (2 × 8)/45 = 16/45 ≈ 0,355 ⇐ B.
2. p(B) = (3 × 7)/45 = 21/45 ≈ 0,466 ⇐ C.
3. p(A∩B) = (2 × 3)/45 = 6/45 ≈ 0,133 (بيضاء وسوداء) ⇐ A.
4. p(A∪B) = 16/45 + 21/45 − 6/45 = 31/45 ≈ 0,688 ⇐ D.