Modèle de concours d'accès à l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) 2018 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée à l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II), filières techniques. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée. Cinq exercices : complexes, espace, suites, fonction exponentielle, optimisation d'un périmètre. Voici une correction détaillée.

💡 Astuce : l'exercice 1 est un classique. On calcule cos(π/12) et sin(π/12) en écrivant le même nombre Z sous deux formes, trigonométrique et algébrique, puis en identifiant les parties réelles et imaginaires.

Exercice 1 : nombres complexes (3,5 pts)

1) Formes trigonométriques

• z₁ = 1 + i : |z₁| = √2, donc z₁ = √2(√2/2 + i√2/2) = √2(cos π/4 + i sin π/4).
• z₂ = √3 + i : |z₂| = 2, donc z₂ = 2(√3/2 + i/2) = 2(cos π/6 + i sin π/6).
• Z = z₁/z₂ : on divise les modules et on soustrait les arguments, π/4 − π/6 = π/12. Donc Z = (√2/2)(cos π/12 + i sin π/12).

2) Forme algébrique : on multiplie par le conjugué de z₂.

Z = (1 + i)(√3 − i) / ((√3 + i)(√3 − i)) = (√3 − i + i√3 + 1)/4.

Donc Z = (√3 + 1)/4 + i (√3 − 1)/4.

3) Identification : (√2/2) cos(π/12) = (√3 + 1)/4, donc cos(π/12) = (√3 + 1)/(2√2) = (√6 + √2)/4.

De même, sin(π/12) = (√6 − √2)/4.

Contrôle numérique : (√6 + √2)/4 ≈ 0,966 = cos 15°.

Exercice 2 : géométrie dans l'espace (3 pts)

A(1, 1, −1), B(−1, 1, 1), u(1, 1, 2).

1) (Δ) : x = 1 + t ; y = 1 + t ; z = −1 + 2t, avec t ∈ ℝ.

2) Un plan de vecteur normal u(1, 1, 2) a une équation de la forme x + y + 2z + d = 0.

B appartient au plan : −1 + 1 + 2 + d = 0, donc d = −2.

(P) : x + y + 2z − 2 = 0.

3) On remplace les coordonnées du point de (Δ) dans l'équation de (P) :

(1 + t) + (1 + t) + 2(−1 + 2t) − 2 = 0, soit 6t − 2 = 0, donc t = 1/3.

I(4/3 ; 4/3 ; −1/3).
Vérification : 4/3 + 4/3 − 2/3 − 2 = 0. Comme u est à la fois directeur de (Δ) et normal à (P), I est le projeté orthogonal de A sur (P).

Exercice 3 : suites (5 pts)

u_n+1 = −2 + 3u_n, u₀ = 1/2, v_n = −1 + u_n.

1) u₁ = −2 + 3/2 = −1/2 ; u₂ = −2 − 3/2 = −7/2.

2) a) v_n+1 = −1 + u_n+1 = −3 + 3u_n = 3(u_n − 1) = 3v_n.

(v_n) est géométrique de raison 3, de premier terme v₀ = −1 + 1/2 = −1/2.

b) v_n = v₀ × 3ⁿ = (−1/2) × 3ⁿ.

c) u_n = 1 + v_n = 1 − (1/2) × 3ⁿ.

Contrôle : u₁ = 1 − 3/2 = −1/2. On retrouve bien la valeur de la question 1.

3) La somme compte 18 termes :

S = v₀ (3¹⁸ − 1)/(3 − 1) = (−1/2)(3¹⁸ − 1)/2 = −(3¹⁸ − 1)/4 = −96 855 122.

Exercice 4 : f(x) = e^2x − 2e^x (4,5 pts)

1) Limites

• En −∞ : e^2x → 0 et e^x → 0, donc lim f(x) = 0. L'axe des abscisses est asymptote horizontale.
• En +∞ : f(x) = e^x(e^x − 2), produit de deux facteurs qui tendent vers +∞, donc lim f(x) = +∞.
• f(x)/x = (e^x/x)(e^x − 2). Or e^x/x → +∞, donc lim f(x)/x = +∞. La courbe a une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

2) a) f'(x) = 2e^2x − 2e^x = 2e^x(e^x − 1).

b) Comme 2e^x > 0, f'(x) a le signe de e^x − 1 : négatif pour x < 0, nul en 0, positif pour x > 0.

f(0) = 1 − 2 = −1.

Exercice 5 : périmètre minimal d'un terrain de 900 m² (4 pts)

1) Pour x = 100 m, la largeur vaut 900/100 = 9 m.

Périmètre = 2(100 + 9) = 218 m.

2) a) La largeur vaut 900/x, d'où f(x) = 2(x + 900/x) = 2(900/x + x).

b) f'(x) = 2(−900/x² + 1) = 2(x² − 900)/x².

c) Pour x > 0, f'(x) a le signe de x² − 900 = (x − 30)(x + 30). Il est négatif sur ]0 ; 30[ et positif sur ]30 ; +∞[. Le minimum est atteint pour x = 30 m : le terrain est alors un carré de 30 m de côté.

Périmètre minimal : f(30) = 2(30 + 30) = 120 m.