Modèle de concours d'accès à l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) 2017-2018 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année organisé par l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) (2017), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II)
- Grade
- 1ère année
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2017
- Pages
- 1
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
FONDATION DE LA MOSQUEE
HASSAN II DE CASABLANCA
ACADEMIE DES ARTS TRADITIONNELS
Concours d’accès en 1°" année
Année Académique 2017/2018
Epreuve de Mathématiques | . | | د" 00266:10. 0
| يت" L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée
0 1) Ecrire le nombre complexe 7 = = sous sa forme algébrique.
1:5 2) Ecrire le nombre complexe W = 1 — 3/ي sous sa forme trigonométrique.
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (ge) , on considère les points :
A(L1,2) ,B(-L,1,1) ,C(2,-—1,0)
195 1) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB)
1 2) a) Montrer que : برب =—-2--—5-+4-,
15 AB AC i j k
| 7 b) En déduire une équation cartésienne du plan(ABC).
3 : ا | Un+1=2Un+3 ; (NEN) :
Soit (u,,) et (v,) les suites définies par: { oi et v, = Un +3
0 De:
1,5 1) a) Montrer que (v,) est une suite géométrique de raison 2
1 b) Vérifier que : (Vn EN) v, =7 x 271
1 c) En déduire u, en fonction de n
1 2) Calculer la somme : وت و7 nt Geo nb و ور
On considère la fonction numérique de la variable réelle x definie sur قا par :
f(x) = (nx)? - 2inx
َ 1) Calculer lim, p+ f(x) +: limysso f(x) : lim, yo —
1,5 2) a)Montrerque: f'(x)= £ (In(x) — 1) pour tout x de R
1,5 b ) Dresser le tableau de variation de f
Une usine produit des moteurs électriques. Le cout de productions de x moteurs en dirhams est :
f(x) =x*- 7 x? — 90x + 100000
On suppose que x > 10.
1 1) Calculer le cout de 10 moteurs
1 2) a) Calculer f'(x)
1,5 b) En déduire le nombre de moteurs à produire pour que le cout soit minimale.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1re année de l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II de Casablanca), année académique 2017/2018. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée, cinq exercices notés sur 20. Voici une correction détaillée.
💡 Méthode : même structure chaque année (complexes, espace, suites, fonction, problème concret). Entraînez-vous sur les sessions voisines : les questions changent surtout par les nombres.
Exercice 1 : nombres complexes (3 pts)
1) Forme algébrique de Z = (1 + 2i)/(1 − i) : on multiplie par le conjugué du dénominateur.
Z = (1 + 2i)(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (1 + i + 2i + 2i²)/2 = (−1 + 3i)/2.
Donc Z = −1/2 + (3/2) i.
2) Forme trigonométrique de W = 1 − i√3 : |W| = √(1 + 3) = 2.
W = 2(1/2 − i√3/2). L'angle de cosinus 1/2 et de sinus −√3/2 est −π/3.
W = 2(cos(−π/3) + i sin(−π/3)).
Exercice 2 : géométrie dans l'espace (4 pts)
A(1, 1, 2), B(−1, 1, 1), C(2, −1, 0).
1) Droite (AB) : elle passe par A et a pour vecteur directeur AB(−2, 0, −1).
x = 1 − 2t ; y = 1 ; z = 2 − t, avec t ∈ ℝ.
2) a) On a AB(−2, 0, −1) et AC(1, −2, −2). On calcule le produit vectoriel coordonnée par coordonnée :
- 1re coordonnée : 0×(−2) − (−1)×(−2) = 0 − 2 = −2
- 2e coordonnée : (−1)×1 − (−2)×(−2) = −1 − 4 = −5
- 3e coordonnée : (−2)×(−2) − 0×1 = 4
Donc AB ∧ AC = −2i − 5j + 4k.
b) Le vecteur n(−2, −5, 4) est normal au plan (ABC), d'équation −2x − 5y + 4z + d = 0.
Comme A appartient au plan : −2 − 5 + 8 + d = 0, donc d = −1.
(ABC) : −2x − 5y + 4z − 1 = 0, soit 2x + 5y − 4z + 1 = 0.
Vérification avec B : −2 + 5 − 4 + 1 = 0. Avec C : 4 − 5 − 0 + 1 = 0.
Exercice 3 : suites (4,5 pts)
un+1 = 2un + 3, u0 = 1/2, vn = un + 3.
1) a) vn+1 = un+1 + 3 = 2un + 6 = 2(un + 3) = 2vn.
(vn) est donc géométrique de raison 2, de premier terme v0 = 1/2 + 3 = 7/2.
b) vn = v0 × 2n = (7/2) × 2n = 7 × 2n−1.
c) un = vn − 3, donc un = 7 × 2n−1 − 3.
2) La somme compte 18 termes d'une suite géométrique de raison 2 :
v0 + … + v17 = v0 × (218 − 1)/(2 − 1) = (7/2)(218 − 1) = (7/2) × 262 143 = 917 500,5 (soit 1 835 001/2).
Exercice 4 : f(x) = (ln x)² − 2 ln x sur ℝ+* (5 pts)
1) Limites : on écrit f(x) = ln x (ln x − 2).
- En 0+ : ln x → −∞ et ln x − 2 → −∞, donc lim f(x) = +∞.
- En +∞ : les deux facteurs tendent vers +∞, donc lim f(x) = +∞.
- f(x)/x = (ln x)²/x − 2 (ln x)/x. Or (ln x)/x → 0 et (ln x)²/x → 0 (croissances comparées), donc lim f(x)/x = 0. La courbe a une branche parabolique de direction l'axe des abscisses.
2) a) f'(x) = 2 ln x × (1/x) − 2/x = (2/x)(ln x − 1).
b) Pour x > 0, 2/x > 0, donc f'(x) a le signe de ln x − 1, qui s'annule en x = e.
f(e) = 1 − 2 = −1.
| x | 0 | e | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | || | − | 0 | + | |
| f(x) | +∞ | ↘ | −1 | ↗ | +∞ |
Exercice 5 : coût de production (3,5 pts)
f(x) = x³ − (87/2)x² − 90x + 100 000, avec x ≥ 10.
1) f(10) = 1 000 − 4 350 − 900 + 100 000 = 95 750 DH.
2) a) f'(x) = 3x² − 87x − 90 = 3(x² − 29x − 30) = 3(x − 30)(x + 1).
b) Pour x ≥ 10, on a x + 1 > 0. Donc f'(x) < 0 sur [10 ; 30[ et f'(x) > 0 sur ]30 ; +∞[. Le coût est minimal pour x = 30 moteurs.
f(30) = 27 000 − 39 150 − 2 700 + 100 000 = 85 150 DH.
Questions fréquentes sur ce sujet
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