Modèle de concours d'accès à l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) 2016-2017 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année de l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II de Casablanca), année académique 2016/2017. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée. Cinq exercices notés sur 20 : nombres complexes, géométrie dans l'espace, suites, étude de fonction, optimisation. Voici une correction détaillée.

💡 Gestion du temps : 1 heure pour 5 exercices, soit une dizaine de minutes chacun. Les questions sont des applications directes du cours de 2^e année du bac. Rédigez court, mais montrez chaque étape de calcul.

Exercice 1 : nombres complexes (3 pts)

1) Forme algébrique de Z = 2i / (1 − i) : on multiplie par le conjugué du dénominateur.

Z = 2i(1 + i) / ((1 − i)(1 + i)) = (2i + 2i²) / 2 = (−2 + 2i) / 2, donc Z = −1 + i.

2) Forme trigonométrique de W = √3 + i : |W| = √(3 + 1) = 2.
W = 2(√3/2 + i·1/2), et l'angle dont le cosinus vaut √3/2 et le sinus 1/2 est π/6.
Donc W = 2(cos π/6 + i sin π/6).

Exercice 2 : géométrie dans l'espace (4,5 pts)

A(1, 0, 2), B(0, 1, 1), C(2, 3, 0), u(1, 1, −1).

1) Représentation paramétrique de (D) passant par A et dirigée par u :

x = 1 + t ; y = t ; z = 2 − t, avec t ∈ ℝ.

2) a) AB(−1, 1, −1) et AC(1, 3, −2).

• 1^re coordonnée : 1×(−2) − (−1)×3 = −2 + 3 = 1
• 2^e coordonnée : (−1)×1 − (−1)×(−2) = −1 − 2 = −3
• 3^e coordonnée : (−1)×3 − 1×1 = −3 − 1 = −4

Donc AB ∧ AC = i − 3j − 4k.

b) Le vecteur n(1, −3, −4) est normal au plan (ABC), dont l'équation s'écrit x − 3y − 4z + d = 0.
A ∈ (ABC) : 1 − 0 − 8 + d = 0, donc d = 7.
(ABC) : x − 3y − 4z + 7 = 0.
Vérification : B donne 0 − 3 − 4 + 7 = 0 et C donne 2 − 9 − 0 + 7 = 0.

Exercice 3 : suite arithmétique (3 pts)

1) u_n = u₀ + nr, donc u_n = 1/2 + 2n.

2) S = u₀ + … + u₁₇ compte 18 termes, et u₁₇ = 1/2 + 34 = 69/2.
S = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2 = 18 × (1/2 + 69/2) / 2 = 9 × 35, donc S = 315.

Exercice 4 : f(x) = e^2x − e^x + 1 (6 pts)

1) Limites

• En −∞ : e^2x → 0 et e^x → 0, donc lim f(x) = 1.
• En +∞ : f(x) = e^x(e^x − 1) + 1, avec e^x → +∞ et e^x − 1 → +∞, donc lim f(x) = +∞.

2) Dérivée et variations

f'(x) = 2e^2x − e^x = e^x(2e^x − 1). Comme e^x > 0, f'(x) a le signe de 2e^x − 1.

2e^x − 1 = 0 donne e^x = 1/2, soit x = −ln 2 (≈ −0,69).
f(−ln 2) = 1/4 − 1/2 + 1 = 3/4.

f est décroissante sur ]−∞ ; −ln 2] et croissante sur [−ln 2 ; +∞[. Son minimum vaut 3/4.

3) Intégrale : une primitive de f est F(x) = e^2x/2 − e^x + x.

∫₀¹ f(x) dx = F(1) − F(0) = (e²/2 − e + 1) − (1/2 − 1) = e²/2 − e + 3/2 ≈ 2,48.

Exercice 5 : boîte sans couvercle (3,5 pts)

1) Encadrement de x : on découpe un carré de côté x à chaque coin, donc 2x doit rester inférieur à 24. Pour avoir une vraie boîte : 0 < x < 12.

2) Volume : la base est un carré de côté 24 − 2x et la hauteur vaut x.

V(x) = x(24 − 2x)² = x(576 − 96x + 4x²) = 4x³ − 96x² + 576x.

3) Volume maximal : V'(x) = 12x² − 192x + 576 = 12(x² − 16x + 48) = 12(x − 4)(x − 12).

Sur ]0 ; 12[, V'(x) > 0 pour x < 4 et V'(x) < 0 pour 4 < x < 12. V est donc maximal pour x = 4 cm.
V(4) = 4 × 16² = 1 024 cm³ (boîte de 16 cm × 16 cm × 4 cm).