Modèle de concours d'accès à l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) 2015-2016 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année de l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II de Casablanca), année académique 2015/2016. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée. Cinq exercices (20 points) : géométrie dans l'espace, nombres complexes, suite géométrique, étude de fonction et intégrale, optimisation d'une aire. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Géométrie dans l'espace (4,5 points)

A(1, 0, 0), B(0, 2, 1), C(0, 0, 2).

1°) Représentation paramétrique de (BC)

BC(0, −2, 1). La droite passe par B et est dirigée par BC :
x = 0 ; y = 2 − 2t ; z = 1 + t (t ∈ ℝ).

2°) a) Produit vectoriel

AB(−1, 2, 1) et AC(−1, 0, 2).
AB ∧ AC = ( 2×2 − 1×0 ; 1×(−1) − (−1)×2 ; (−1)×0 − 2×(−1) ) = (4 ; 1 ; 2),
soit AB ∧ AC = 4i + j + 2k.

2°) b) Équation cartésienne du plan (ABC)

(4, 1, 2) est normal au plan : 4x + y + 2z + d = 0 ; A ∈ (ABC) : 4 + d = 0, d = −4.
(ABC) : 4x + y + 2z − 4 = 0. Vérification : B : 0 + 2 + 2 − 4 = 0 ; C : 0 + 0 + 4 − 4 = 0.

Exercice 2 — Nombre complexe (3 points)

1°) Forme algébrique de Z = 2i / (√3 + i)

Z = 2i(√3 − i) / [(√3 + i)(√3 − i)] = (2√3 i − 2i²) / (3 + 1) = (2 + 2√3 i) / 4 = 1/2 + (√3/2) i.

2°) Forme trigonométrique

|Z| = √(1/4 + 3/4) = 1 ; cos θ = 1/2 et sin θ = √3/2, donc θ = π/3.
Z = cos(π/3) + i sin(π/3).
(Vérification : |2i| / |√3 + i| = 2/2 = 1 et arg Z = π/2 − π/6 = π/3.)

Exercice 3 — Suite géométrique (3,5 points)

1°) Terme général

u_n = u₀ × qⁿ = (3/16) × 2ⁿ.

2°) Somme S = u₀ + u₁ + … + u₁₁

Il y a 12 termes : S = u₀ × (1 − q¹²) / (1 − q) = (3/16) × (2¹² − 1) = (3/16) × 4095 = 12285/16 = 767,8125.

Exercice 4 — Fonction f(x) = x + ln x sur ]0, +∞[ (5,5 points)

1°) Limites

• En 0⁺ : x → 0 et ln x → −∞, donc lim_x→0+ f(x) = −∞.
• f(x)/x = 1 + (ln x)/x, et lim_x→+∞ (ln x)/x = 0, donc lim_x→+∞ f(x)/x = 1.

2°) Dérivée et variations

f'(x) = 1 + 1/x = (x + 1)/x > 0 sur ]0, +∞[ : f est strictement croissante.
De plus lim_x→+∞ f(x) = +∞ (somme de deux termes qui tendent vers +∞).

3°) Intégrale ∫₁^e f(x) dx

∫₁^e (x + ln x) dx = ∫₁^e x dx + ∫₁^e ln x dx.

• ∫₁^e x dx = [x²/2]₁^e = (e² − 1)/2.
• Intégration par parties pour ∫ ln x dx : u = ln x, v' = 1 ; u' = 1/x, v = x.
  ∫₁^e ln x dx = [x ln x]₁^e − ∫₁^e 1 dx = (e − 0) − (e − 1) = 1.

∫₁^e f(x) dx = (e² − 1)/2 + 1 = (e² + 1)/2 ≈ 4,19.

Exercice 5 — Rectangle inscrit dans un triangle isocèle (3,5 points)

Disposition retenue (la figure n'est pas fournie) : M et N sur la base [AB], Q sur [AC] et P sur [BC], avec AM = x et PN = y la hauteur du rectangle ; H est le pied de la hauteur issue de C (AH = 6 cm, CH = 10 cm). C'est la disposition qui donne les résultats annoncés par l'énoncé.

1°) y = (5/3) x

Les droites (QM) et (CH) sont parallèles (toutes deux perpendiculaires à (AB)). D'après le théorème de Thalès dans le triangle AHC : QM / CH = AM / AH, soit y / 10 = x / 6, donc y = (10/6) x = (5/3) x (QM = PN = y, côtés opposés du rectangle).

2°) Aire S(x)

Par symétrie, NB = AM = x, donc MN = 12 − 2x.
S(x) = MN × PN = (12 − 2x) × (5/3) x = (5/3)(12x − 2x²) = (10/3)(−x² + 6x), avec 0 < x < 6.

3°) Aire maximale

S'(x) = (10/3)(−2x + 6) = 0 ⟺ x = 3 ; S' > 0 avant 3 et S' < 0 après : maximum en x = 3 cm.
Dimensions : MN = 12 − 6 = 6 cm et PN = (5/3) × 3 = 5 cm ; aire maximale S = 30 cm² (vérification : (10/3)(−9 + 18) = 30).