Modèle de concours d'accès à l'Académie des Arts Traditionnels de Casablanca (Fondation de la Mosquée Hassan II) 2014-2015 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1^re année de l'Académie des Arts Traditionnels (Fondation de la Mosquée Hassan II de Casablanca), année académique 2014/2015. Durée : 1 heure, calculatrice non programmable autorisée. Cinq exercices (20 points) : nombres complexes, géométrie dans l'espace, suite arithmétique, étude de fonction et intégrale, optimisation d'un volume. Voici une correction proposée.

Exercice 1 — Nombres complexes (3 points)

1°) Forme algébrique de U = 4i / (1 + i)

On multiplie par le conjugué du dénominateur :
U = 4i(1 − i) / [(1 + i)(1 − i)] = (4i − 4i²) / 2 = (4i + 4) / 2 = 2 + 2i.

2°) Forme trigonométrique de V = √2 + √2 i

|V| = √(2 + 2) = 2. cos θ = √2/2 et sin θ = √2/2, donc θ = π/4.
V = 2 (cos π/4 + i sin π/4).

Exercice 2 — Géométrie dans l'espace (4,5 points)

A(0, 1, 2), B(1, 0, 3), C(0, 0, 1).

1°) Représentation paramétrique de (AB)

AB(1, −1, 1). La droite passe par A et est dirigée par AB :
x = t ; y = 1 − t ; z = 2 + t (t ∈ ℝ).

2°) Produit vectoriel

AB(1, −1, 1) et AC(0, −1, −1).
AB ∧ AC = ( (−1)(−1) − (1)(−1) ; (1)(0) − (1)(−1) ; (1)(−1) − (−1)(0) ) = (1 + 1 ; 0 + 1 ; −1) = (2, 1, −1),
soit AB ∧ AC = 2i + j − k.

3°) Équation cartésienne du plan (ABC)

Le vecteur (2, 1, −1) est normal au plan (ABC) : 2x + y − z + d = 0. Le point A appartient au plan : 0 + 1 − 2 + d = 0, d = 1.
(ABC) : 2x + y − z + 1 = 0. Vérification : B : 2 + 0 − 3 + 1 = 0 ; C : 0 + 0 − 1 + 1 = 0.

Exercice 3 — Suite arithmétique (3,5 points)

1°) Terme général

u_n = u₀ + n r = 2 + 3n.

2°) Somme S = u₀ + u₁ + … + u₁₅

Il y a 16 termes ; u₁₅ = 2 + 45 = 47.
S = (nombre de termes) × (premier + dernier) / 2 = 16 × (2 + 47) / 2 = 392.

Exercice 4 — Fonction f(x) = x ln x sur ]0, +∞[ (5,5 points)

1°) Limites

• En +∞ : x → +∞ et ln x → +∞, donc lim f(x) = +∞.
• En 0⁺ : limite de référence lim_x→0+ x ln x = 0.

2°) Dérivée et variations

f'(x) = 1 × ln x + x × (1/x) = ln x + 1.
f'(x) = 0 ⟺ ln x = −1 ⟺ x = 1/e ; f'(x) < 0 sur ]0, 1/e[ et f'(x) > 0 sur ]1/e, +∞[.
f(1/e) = (1/e) × (−1) = −1/e.

3°) Intégrale ∫₁^e x ln x dx (intégration par parties)

On pose u(x) = ln x, v'(x) = x ; donc u'(x) = 1/x, v(x) = x²/2.

∫₁^e x ln x dx = [ (x²/2) ln x ]₁^e − ∫₁^e (x²/2)(1/x) dx = e²/2 − ∫₁^e x/2 dx = e²/2 − [x²/4]₁^e = e²/2 − (e²/4 − 1/4)

∫₁^e x ln x dx = (e² + 1) / 4 ≈ 2,10.

Exercice 5 — Boîte sans couvercle (3,5 points)

1°) Encadrement de x

Les côtés de la base doivent être positifs : 48 − 2x > 0 et 18 − 2x > 0, et x > 0. La contrainte la plus forte est x < 9 : 0 < x < 9.

2°) Volume

V(x) = longueur × largeur × hauteur = (48 − 2x)(18 − 2x) × x.
(48 − 2x)(18 − 2x) = 864 − 96x − 36x + 4x² = 4x² − 132x + 864,
donc V(x) = 4x³ − 132x² + 864x.

3°) Volume maximal

V'(x) = 12x² − 264x + 864 = 12(x² − 22x + 72) = 12(x − 4)(x − 18).
Sur ]0, 9[, x − 18 < 0 : V'(x) > 0 pour x < 4 et V'(x) < 0 pour x > 4. V est croissante puis décroissante : le maximum est atteint en x = 4 cm.
Volume maximal : V(4) = 4 × 40 × 10 = 1600 cm³ (boîte de 40 cm × 10 cm × 4 cm).