Modèle de concours d'accès à l'ENSA Tanger 2010 — Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de Élève — 1re année du cycle préparatoire organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi (2010), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi
- Grade
- Élève — 1re année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2010
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger (23 juillet 2010) : QCM (+1 / −1 / 0) avec fiche réponse — limites, suites, fonctions, intégrales.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
| ROYAUME DU MAROC F 2 A المملكة المغربية :
| UNIVERSITE ABDELMALEK ESSAADI TS mere pe aus
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(Nombre de pages 4 et une fiche réponse à remettre au surveillant, correctement Laquelle (Lesquelles) des assertions est (sont)
| remplie, à la fin de l'épreuve) VRAIE(S). ? , Ii
| Parmi les réponses proposées, une seule est juste. Pour chaque question répondre sur la fiche 7) Pour quelle valeur de x, ما fonction définie -. ا د il |
réponse par une croix dans la case correspondante. Le f “4 4 à | 2 Î
(Barème : une réponse juste : +1, une réponse fausse : -1, pas de réponse : 0) par (= 2 © prend une valeur | c)2 1
, | 1( Soit S{m) la fonction qui associe à chaque | ME fto= # 8 |
| ! Réel m strictement positif, la surface délimitée | a) Sn) est strictement croissante | Soit SX 1 و 1 | يي |
| 1 b) S(m)est strictement décroissante | | "10 قيلي +2 | FES QE 2/3 | |
| par Le graphe ÿ= ce et les droites c} S{m) est une fonction constante | Laquelle parmi ces trois assertions est! c)fO)>0 |
eme MANN NAN ANNNNN nn IA Le je his بالل للسبلليسأفلسشسلسيس — |
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| | 0 4/9 IFL telle que 2 RE (x) a 2f (x) avec a) 36 +i) b} 2e c) 3
الانا>>: :ااانا ا ا الس اناا لاما ا ام اس | f'(0)= f(0)= e Alors /)0( =
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| 4) Soit f(x) = x", La tangente à ia courbe | | | D RE OO
de fau point x = € est donnée par | a)y =e(x-e) b)y=x | 12) 1 (inx} dx a) زه 2(1-in2)° |
Î chy=2x-e | | €) : |
on 4 LT 30 0 tes | nt, "> نل MN HDI il
| Soit (x,), une suite numérique telle que ١ a) د b) —— | 13) Soient fg es h trois fonctions telles que : | / الل
| x, =1. | 2 4 | À {h(x)= f(x?) | b) 6xg(x)+ 9x 7 (x°) |
| م با ال |
LL 1 ()و- )7 | | 2-1 نع Alors AUx)= | co) 3x/g(x}+6x f(x)
| Al مارج +2 | 4 | gx) = f(x?) ااا ML
بلا يي لاا لاسي 0 | Soit (F.),., la suite définie par | 1 :
| 6 Soit Soit (4,), une suite numérique à! | ء à | a) L b)—: (ع +0
| : 88 : | 14) 7 = Ps dr | 4 2 :
|termes strictement positifs vérifiant | (+x) |
1 1 Î 5
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NE: r iÉ in 8١ | ادرو ووو Soit À une matrice carrée d'ordre n vérifiant 1 ----- 01
8 PR 73 B= )1-0)1,+/4 | |
سمي ESS | On considère les égalités suivantes | b) Seulement (11)
Soit h(x} = PAT | a) 2(x-arctanx) bb) sin/A(x) | O1) 2-1 < )1, - )7ر4 + A)" c} Seulement )111( |
| Une primitive de #(x) est donnée par | c) 2A(x)— 2 arctan H(x) | QE = a + 1 ا |
5171171 777:7 سردو ووو سس رو He ليام Parmi lesquelles ou laquelle de ces égalités est |
17) La fonction / 2 2 eu |
| f(x) = a cos x + b sin x admet comme a} “ولد HE bia - VRAIE ? |
| amplitude le nombre | c) + | 55 nn]
| 2 Soient À, B deux matrices carrée 7 ) (1 AB ) si |
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| On considère ies familles suivantes die Alors (1, - BAY" = :b) 2), - AB) 7 |
| A=fu-v,u+w,v+w} |
| B= {u,v-2u,v} b) Seulement A et C C) 4 + B 0 — AB) يم
18) C={u+v+wv+w,w} 24) Soit g une fonction décroissante su ا
c) Seulement A et D 0 | 1 إٍْ
| 0 2-1 10, +], et اموي ] وات définie su | 20 © CIE D تتفم IQUEX م |
| Alors laquelle ( ou lesquelles ) jo | b) G est croissante sur 0 4 م {
des familles forme une base ? rie NÉS a 1
| | Laquelle parmi ces trois assertions est CR [ (na |
19) Soit F ={(x,y,2) IR? /x-3z 0}. | a) {(,0,D)} ASE |
دن الس orne بس[
une base pour F ? | A نر = |
| c :(1,0,3); ] ï
ie | c) {(3,0,13:(1,0,3):(0,1,3)} | 25) أ cos x | 0) (tan or À +K |
On considère les ensembles suivants | | | | 1
١ | | c)in +X K tante
| Az2{{(xyz2)elR' /2=0} | a) Seulement À et C | LR ll fée rss j a
| B={(Ly2)elR /x-2y+2= 1 | b) Seulement A et D |
| 20) C= {G,», z)elR / برجي - 0 | SC ACT |
| D=f(x7,2elR /x-y+7=0 } | |
| Lesquels parmi ces ensembles sont des Î | |
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| 01 ) »,2)E IR? /
| Soit W = i 1 J= 1 = 1 =
| 21) 901 { AR برت رتاه " a) dimW=1 b)dimW=2 c) dimW=3
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 23 juillet 2010. QCM de 25 questions, une seule réponse juste par question ; barème : +1 réponse juste, −1 réponse fausse, 0 sans réponse. Voici une correction proposée avec la justification de chaque choix.
💡 Avec −1 par erreur, ne cochez que ce que vous avez vérifié. Deux questions de ce sujet (5 et 18) sont mal posées telles qu'imprimées : elles sont signalées plus bas.
Analyse
- c) S(m) est constante. S(m) = ∫ₘ^{2m} dx/x = ln(2m) − ln m = ln 2, indépendant de m.
- a) 1/π. ln(1 + h/π) ~ h/π quand h → 0, donc (1/h)·ln(1 + h/π) → 1/π.
- c) ∛9. Le produit vaut 3^{1/3 + 1/6 + 1/12 + …} ; la somme géométrique de premier terme 1/3 et de raison 1/2 tend vers (1/3)/(1 − 1/2) = 2/3. Limite : 3^{2/3} = ∛9.
- c) y = 2x − e. f(x) = x^{ln x} = e^{(ln x)²} ; f(e) = e ; f'(x) = (2 ln x / x)·e^{(ln x)²}, donc f'(e) = (2/e)·e = 2. Tangente : y = 2(x − e) + e = 2x − e.
- Réponse probable : b) (n² + 5n)/4. L'énoncé imprimé ne donne que x₀ = 1 : la relation de récurrence manque. Les propositions correspondent à la suite arithmétique x_{k+1} = x_k + 1/2 : alors x_k = 1 + k/2 et Σ_{i=1}^{n} (x_{i−1} + 1/2) = Σ_{k=0}^{n−1} (3/2 + k/2) = 3n/2 + n(n−1)/4 = (n² + 5n)/4. Le jour de l'épreuve, s'abstenir si la récurrence n'est pas lisible.
- c) I, II et III. (u_n)^{1/n} ≤ M donne 0 < u_n ≤ Mⁿ avec 0 ≤ M < 1 : (u_n) est bornée (II) et tend vers 0 (III) ; W_n est croissante et majorée par Σ Mᵏ ≤ 1/(1 − M), donc convergente (I).
- a) 3/2. f'(x) = (2x − 3)·e^{(x² − 3x)²} : s'annule en 3/2 en passant de − à +, donc minimum en x = 3/2.
- b) est FAUSSE. f(0) = 0 (vrai), f(1) > 0 car l'intégrande est positive (vrai), mais f'(1) = 1/√(1 + 2) = 1/√3 et non 1/(2√3).
- b) 2. e^{2x} − 1 ~ 2x et tan x ~ x en 0.
- b) e/2. Posons F(x) = ∫₁ˣ e^{u²}du : F(1) = 0 et F'(1) = e. Donc F(x)/(x² − 1) = [F(x)/(x − 1)]·[1/(x + 1)] → e × 1/2.
- a) (e/2)(e² + 1). f'' = 2f' donne f'(x) = f'(0)e^{2x} = e·e^{2x}, puis f(x) = (e/2)e^{2x} + C avec f(0) = e/2 + C = e, donc C = e/2. f(1) = (e/2)e² + e/2 = (e/2)(e² + 1).
- b) 2(1 − ln 2)². Une primitive de (ln x)² est x(ln x)² − 2x ln x + 2x. Entre 1 et 2 : 2(ln 2)² − 4 ln 2 + 4 − 2 = 2(ln 2)² − 4 ln 2 + 2 = 2(1 − ln 2)² ≈ 0,188.
- b) 6x g(x³) + 9x⁴ f(x⁶). h'(x) = 3x² f'(x³) = 3x² g(x³) ; h''(x) = 6x g(x³) + 3x²·3x²·g'(x³) = 6x g(x³) + 9x⁴ f(x⁶).
- a) 1/4. Une primitive de x/(1 + x²)² est −1/(2(1 + x²)). V_n = ∫₁ⁿ … = 1/4 − 1/(2(1 + n²)) → 1/4 (borne inférieure lue « 1 », comme aux questions 10 et 12).
Primitives et dérivées
- b) eˣ/√x − 1/√(2x ln x). H'(x) = eˣ·1/√(ln eˣ) − (1/(2√x))·1/√(ln √x) = eˣ/√x − 1/(2√x·√(ln x / 2)) = eˣ/√x − 1/√(2x ln x).
- c) 2h(x) − 2 arctan h(x). Avec u = √(eˣ − 1) : x = ln(1 + u²), dx = 2u/(1 + u²) du, et ∫ u·2u/(1 + u²) du = 2(u − arctan u). (Vérification : la dérivée de 2h − 2 arctan h est 2h'·h²/(1 + h²) = h.)
- a) √(a² + b²). a cos x + b sin x = √(a² + b²)·cos(x − φ) : l'amplitude est √(a² + b²).
Algèbre linéaire
- Question mal posée. Telles qu'imprimées : A = {u − v, u + w, v + w} est liée car (u + w) − (u − v) = v + w ; B = {u, v − 2u, v} est liée ; C = {u + v + w, v + w, w} est une base (matrice triangulaire de diagonale 1, 1, 1) ; D = {v + w, −v, −w} est liée car v + w = −(−v) − (−w). La seule base est donc C, réponse absente des propositions. Le choix attendu par le concepteur était vraisemblablement b) Seulement A et C (avec A = {u − v, u + w, v − w}, qui serait une base) ; le plus prudent est de ne pas cocher.
- b) {(3,0,1) ; (0,1,0)}. F : x = 3z, donc (x, y, z) = z(3, 0, 1) + y(0, 1, 0) ; ces deux vecteurs sont libres, dim F = 2 (la proposition c a trois vecteurs, trop pour un plan).
- b) Seulement A et D. A (z = 0) et D (x − y + z = 0) sont définis par des équations linéaires homogènes. B ne contient pas (0,0,0) (0 ≠ 1). C n'est pas stable : (1,1,1) ∈ C mais 2·(1,1,1) = (2,2,2) donne 4 − 2 ≠ 0.
- a) dim W = 1. y = 2x puis z = x + y = 3x : W = Vect{(1, 2, 3)}.
- Réponse probable : a) (I) et (III), avec une réserve. B = (I − A)(I + A) = I − A² et, comme A³ − A = −I, on a B·A = A − A³ = I et A·B = I : B⁻¹ = A, (I) est vraie. B étant inversible, I − A et I + A le sont aussi et B⁻¹ = (I + A)⁻¹(I − A)⁻¹ : (III) est vraie. Mais I − A et I + A commutent, donc leurs inverses aussi : (II) est également vraie. Aucune proposition ne donne « I, II et III » ; la proposition a) est celle que visait le sujet (le concepteur considérait (II) fausse par ordre inversé).
- c) Iₙ + B(Iₙ − AB)⁻¹A. Vérification : (Iₙ − BA)(Iₙ + B(Iₙ − AB)⁻¹A) = Iₙ − BA + B(Iₙ − AB)(Iₙ − AB)⁻¹A = Iₙ − BA + BA = Iₙ.
- b) est FAUSSE. g décroissante donc g' ≤ 0 et t·g'(t) ≤ 0 pour t > 0 : G(x) ≤ 0 (a vraie) et G'(x) = x g'(x) ≤ 0, donc G est décroissante (b fausse). Par parties : G(x) = [t g(t)]₀ˣ − ∫₀ˣ g(t)dt = x g(x) − ∫₀ˣ g(t)dt (c vraie).
- b) ln|tan x + 1/cos x| + K. La dérivée de tan x + 1/cos x est (1 + sin x)/cos²x, et son quotient par tan x + 1/cos x = (sin x + 1)/cos x vaut 1/cos x.
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (2 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSA) — Université Abdelmalek Essaâdi. Il concerne le grade : Élève — 1re année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : 23/07/2010. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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