Modèle de concours d'accès à l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM Casablanca-Meknès) 2014 — Épreuve : Mathématiques — séries sciences expérimentales et techniques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année des années préparatoires organisé par l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM Casablanca-Meknès) (2014), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- l'École Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM Casablanca-Meknès)
- Grade
- 1ère année des années préparatoires
- Spécialité
- Mathématiques — séries sciences expérimentales et techniques
- Année
- 2014
- Pages
- 2
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
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Université Hassan II-Mohammedia-Casablanca / Université Moulay Ismail Concours d'accès en 1 année des années préparatoires Aa AW ensem ENSAM-Casablanca - ENSAM-Meknès ب الجر El al lo La Séries: sciences expérimentales et branches techniques Épreuve de Mathématique Samedi 02 Août 2014- Durée 2h00 ٠١ QUESTIONS À RÉPONSES PRÉCISES Une réponse correcte = 2pt, pas de réponse ou une réponse fausse = Opt Calculer la limite de la suite (u,), définie par: 1 1 Le ٍ 1 1 1 1 limu, = إٍْ إٍْ Un = 0 ب In (1 + >) 4 ا ا k 1 1 k=1 1 ا Résoudre, dans ]0,27[2 , le système: إٍْ إٍْ press — COS X COS y = : S= إٍْ إٍْ sin x + cos y = V2 إٍْ + Déterminer la forme algébrique de: 1 1 إٍْ إٍْ 3-02+8/-2ل اح Déterminer, F, l'ensemble des points du plan د إٍْ مج185 complexe dont les affixes 2 vérifient: 1 1 Soit a € 10,7]. Calculer D = [I cos رج Calculer: 5 إٍْ ١ n 1 1 لنت كال مد | | an 2 ,Œrii Z +1)! لا Q7 ‘| Soit f une fonction positive sur son domaine de Ï Î définition et dérivable en a > 0. Déterminer 1 1 f(x) nNx-In a ب« | | 2pt حب | وز دي ْ 0 x>a \ f(a) د 08 ‘| Calculer la limite cos G cos x) = j = lim — 27 2pt x-0 x sin(sin x) nm Trouver toutes les applications f: R° — R telles إٍْ إٍْ que: fo) = ًٍ ًٍ 1 1 1 717 ER’, f(x) + 7 6 2 1 | Soit g la fonction définie par | Vxe]0,r[ gx) = |cosx|V1 - cosx g'(x) =... إٍْ ا Calculer g'(x) en fonction g(x) , Vx 10,7] : إٍْ إٍْ 0117 Soit h définie sur 187 par h(x) = Inle* - e2*| إٍْ إٍْ ال ا الب عازلات د Déterminer 17 : ا . ."م x: xx I = 4 | PP f, (1+x2)2 “x CE = Vsin x = Calculer J = 2 تت dx J 0 Ysinx+4cos x ...سس" Résoudre l'équation différentielle y(x) = وو 7 2 4 Éd d = 0 7 - 6 a y" +2y'+10y=sin3x, 1h _ y(t)dt = 0,y'(r) = 37 ب Résoudre, dans R, l'équation 3* + 4* = 5* S= إٍْ (١ So wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو Concours d'accès en 1 année des années préparatoires Aa AW ensem ENSAM-Casablanca - ENSAM-Meknès ب الجر El al lo La Séries: sciences expérimentales et branches techniques IL - QUESTIONS À CHOIX MULTIPLES Une réponse correcte = 2pt, pas de réponse = Opt, plus d'une réponse ou une réponse fausse = -1pt. a [ne —X-Y-2mZ =1 Notes ; Q16: Pour quelles valeurs de m le système ا +(1-—m)Y + 7 =2 admet une solution unique: 1 D 2X+3Y +mzZ =3 EN 8 D ' | | -1 et un nombre négatif | |uniquement-1 | HE -1 et un nombre positif || -1et 1/ : i Q17: Sur [0,+oo, la fonction f définie par f(x) = ادا + In(x + 1) est: ES 8 ID) | l'toujours positive | | _ | toujours négative | || négative puis positive | || positive puis négative | ا 1+Inx 1 ١ Q18: Soit f définie par 7)0( = =: , f(e) = 0 et f(x) = re) . Alors sa courbe C; admet: ا ا a | D D] ! أ une asymptote en x = e une demi en x = e une demi aucunes des oblique en +0 tangente à gauche tangente à droite verticale trois réponses | :______ ; Q19: Dans une boite se trouvent 14 jetons portant chacun une lettre du nom "SAHARA MAROCAIN". On tire successivement et sans remise 5 jetons. Quelle est la probabilité pour que l'on tire les lettres du nom " SMARA" ; : dans un ordre quelconque? Ta ] LT su] LT 2 || | li 6006 00 45 ane see Q20: Une boite B, contient 2 jetons numérotés: 1, 3. Une boite B, contient 2 jetons numérotés: 2, 2. Une boite و5 : contient 2 jetons numérotés :1, 0. On tire au hasard un jeton a de B;, un jeton b de B;, un jeton c de B;. Quelle est : : la probabilité pour que l'équation ax? + bx + c = 0 admet des racines réelles? ل , Q21: Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère les deux points A(—1,1,1) et B(7, —5,5). Soit S la ; ا sphère dont l'un des diamètre est le segment [AB]. Le plan tangent à S au point C(1,1 — 1) est: [A 8 8 ! [__[2x-8y+47+5=0] | 4x+3y+2:2-5=0 | | 2x+2y-z2-5=0 | | 4x+2y+22-5=0 |) Q22: Soit (u,), la suite de terme général ملا = | eGax. Alors à 1 [A E 0 | | Q23: Sur R*, La fonction f(x) = In Ce + +) admet : ; 1 a | ا D | ! | Un maximum Deux maximums Un minimum local Deux minimums locaux ‘ local locaux eur) Q24: Combien l'équation tan x + tan 2x + tan 3x + tan 4x = 0 possède-t-elle de solutions dans|[0, 2] ? [A] 8 [D | |__| وه solutions | | | sixsolutions | | | Septsolutions | | | Plus que sept solutions ا ا اا ااانا | Q25: -1 1 ١ li I 27 ا ا di, | حاضيا[ | k=0 : à a | ا CE ! | ثم 1لا | # ا 0[| || 4+» | || cette limite n'existe pas Lt à wadifa-info.com نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو
Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'accès en 1re année des années préparatoires ENSAM Casablanca – ENSAM Meknès (Université Hassan II / Université Moulay Ismail), séries sciences expérimentales et branches techniques, session du samedi 2 août 2014, durée 2 h. Partie I : 15 questions à réponse précise (2 pts, pas de pénalité) ; partie II : 10 QCM (2 pts, réponse fausse ou multiple = −1). Voici une correction proposée, avec le calcul de chaque réponse.
💡 Stratégie : en partie II, une réponse fausse coûte −1 : ne cochez que si vous avez éliminé au moins deux propositions. La partie I ne pénalise pas : répondez à tout.
I – Questions à réponses précises
Q1 – Limite de un = Σ ek/n² ln(1 + 1/k)
Pour 1 ≤ k ≤ n : 1 ≤ ek/n² ≤ e1/n, donc un ≥ Σ ln(1 + 1/k) = Σ [ln(k+1) − ln k] = ln(n+1) (somme télescopique).
lim un = +∞.
Q2 – Système dans [0, 2π]²
La 1re équation s'écrit cos x (√2 − cos y) = 1/2 ; la 2e donne √2 − cos y = sin x. Donc cos x sin x = 1/2, soit sin 2x = 1, d'où x = π/4 ou x = 5π/4.
- x = π/4 : cos y = √2 − √2/2 = √2/2, donc y = π/4 ou y = 7π/4.
- x = 5π/4 : cos y = √2 + √2/2 = 3√2/2 > 1, impossible.
S = {(π/4, π/4) ; (π/4, 7π/4)}.
Q3 – Forme algébrique de z = (√(2−√3) − i√(2+√3))42
On a √(2−√3) = 2 sin(π/12) et √(2+√3) = 2 cos(π/12) (car (2 sin π/12)² = 2 − 2cos(π/6) = 2 − √3).
Donc w = 2(sin π/12 − i cos π/12) = 2(cos 5π/12 − i sin 5π/12) = 2e−i5π/12.
w42 = 242 e−i·42·5π/12 = 242 e−i35π/2 = 242 e−i3π/2 (car 35π/2 = 16π + 3π/2) = 242 i.
z = 242 i.
Q4 – Ensemble Γ : (iz + 1)(z + i − 1) ∈ iℝ
Avec z = x + iy : iz + 1 = (1 − y) + ix et z + i − 1 = (x − 1) + i(y + 1).
Partie réelle du produit : (1 − y)(x − 1) − x(y + 1) = y − 2xy − 1. Condition : y(1 − 2x) = 1, soit y = 1/(1 − 2x).
Γ est l'hyperbole d'équation y = 1/(1 − 2x) (x ≠ 1/2), de centre (1/2 ; 0), d'asymptotes x = 1/2 et y = 0.
Q5 – D = Πk=1..n cos(a/2k)
On multiplie par sin(a/2n) et on applique n fois sin 2t = 2 sin t cos t : D · sin(a/2n) = sin a / 2n.
D = sin a / (2n sin(a/2n)).
Q6 – An = Σ k/(k+1)!
k/(k+1)! = ((k+1) − 1)/(k+1)! = 1/k! − 1/(k+1)! : somme télescopique.
An = 1 − 1/(n+1)!.
Q7 – ℓ = limx→a (f(x)/f(a))1/(ln x − ln a)
ln de l'expression : [ln f(x) − ln f(a)] / [ln x − ln a] = taux d'accroissement de ln f par rapport à ln x, qui tend vers (f'(a)/f(a)) / (1/a) (f(a) > 0 pour que l'expression ait un sens).
ℓ = exp(a f'(a) / f(a)).
Q8 – j = limx→0 cos((π/2)cos x) / (x sin(sin x))
cos((π/2)cos x) = sin((π/2)(1 − cos x)) ~ (π/2)(x²/2) = πx²/4 ; dénominateur ~ x · x = x².
j = π/4.
Q9 – f(x) + 3f(1/x) = x²
En remplaçant x par 1/x : f(1/x) + 3f(x) = 1/x². On élimine f(1/x) : f(1/x) = 1/x² − 3f(x), donc f(x) + 3/x² − 9f(x) = x².
f(x) = (3/x² − x²)/8 = (3 − x⁴)/(8x²) (et cette fonction vérifie bien l'équation).
Q10 – g(x) = |cos x|·√(1 − cos x)
Sur chaque intervalle ]0, π/2[ et ]π/2, π[, g ne s'annule pas et ln|g| = ln|cos x| + ½ ln(1 − cos x). En dérivant :
g'(x)/g(x) = −tan x + sin x / (2(1 − cos x)) = −tan x + ½ cot(x/2).
g'(x) = g(x) · [ sin x / (2(1 − cos x)) − tan x ] = g(x) · [ ½ cotan(x/2) − tan x ].
Q11 – h(x) = ln|ex − e2x| sur ℝ+*
Pour x > 0, e2x > ex, donc h(x) = ln(e2x − ex), h'(x) = (2e2x − ex)/(e2x − ex) > 0 ; h → −∞ en 0+ et +∞ en +∞ : h est une bijection de ℝ+* sur ℝ.
y = h(x) ⇔ t² − t − ey = 0 avec t = ex > 1 ⇔ t = (1 + √(1 + 4ey))/2.
Dh⁻¹ = ℝ et h⁻¹(x) = ln[(1 + √(1 + 4ex))/2].
Q12 – I = lim ∫1x t ln t/(1+t²)² dt
Intégration par parties : u = ln t, v' = t/(1+t²)², v = −1/(2(1+t²)).
I = [−ln t / (2(1+t²))]1+∞ + ½∫1+∞ dt/(t(1+t²)) = 0 + ½ [ln t − ½ ln(1+t²)]1+∞ = ½ · ½ ln 2.
I = (ln 2)/4.
Q13 – J = ∫0π/2 √sin x / (√sin x + √cos x) dx
Le changement x → π/2 − x donne K = ∫ √cos x/(√sin x + √cos x) dx = J, et J + K = ∫0π/2 dx = π/2.
J = π/4.
Q14 – y'' + 2y' + 10y = sin 3x
- Équation caractéristique r² + 2r + 10 = 0 : r = −1 ± 3i ; solution homogène e−x(C1 cos 3x + C2 sin 3x).
- Solution particulière A cos 3x + B sin 3x : (A + 6B) cos 3x + (B − 6A) sin 3x = sin 3x ⇒ A = −6/37, B = 1/37.
- Condition y'(π) = 6/37 : y'(π) = e−π(C1 − 3C2) − 3/37 ⇒ C1 − 3C2 = 9eπ/37.
- Condition ∫−π/2π/2 y = 0 : la partie particulière donne 4/37 (le sinus, impair, donne 0) et la partie homogène donne (ch(π/2)/5)(C2 − 3C1) ⇒ 3C1 − C2 = 20/(37 ch(π/2)).
y(x) = e−x(C1 cos 3x + C2 sin 3x) − (6/37) cos 3x + (1/37) sin 3x, avec, en posant a = 20/(37 ch(π/2)) et b = 9eπ/37 : C1 = (3a − b)/8 ≈ −0,623 et C2 = (a − 3b)/8 ≈ −2,084.
Q15 – 3x + 4x = 5x
On divise par 5x : φ(x) = (3/5)x + (4/5)x = 1. φ est strictement décroissante sur ℝ et φ(2) = 9/25 + 16/25 = 1.
S = {2}.
II – Questions à choix multiples
Q16 – Réponse : C
Le déterminant du système vaut −(m + 1)(3m − 1). Il s'annule pour m = −1 et m = 1/3. Le système a une solution unique pour tout m sauf ces deux valeurs : les valeurs exclues sont −1 et un nombre positif (1/3).
Q17 – Réponse : A
Sur [0, +∞[, f(x) = x + ln(x + 1) ≥ 0 (somme de deux termes positifs, nulle seulement en 0) : toujours positive.
Q18 – Réponse : D
Quand x → e−, (1 + ln x)/(1 − ln x) → +∞ donc f → +∞ : pas de demi-tangente à gauche (asymptote verticale). Quand x → e+, l'exposant → −∞ et f décroît plus vite que toute puissance : demi-tangente à droite horizontale, pas verticale. En +∞, f → e−1 : asymptote horizontale, pas oblique. Donc aucune des trois.
Q19 – Réponse : B
« SAHARA MAROCAIN » : 14 lettres dont A ×5, R ×2, S, M ×1. Tirer S, M, A, R, A (sans ordre) : C(1,1)·C(1,1)·C(5,2)·C(2,1) = 10 × 2 = 20 cas sur C(14,5) = 2002.
P = 20/2002 = 10/1001.
Q20 – Réponse : C
b = 2 toujours ; Δ = 4 − 4ac ≥ 0 ⇔ ac ≤ 1. Cas équiprobables (a, c) : (1,1) oui, (1,0) oui, (3,1) non, (3,0) oui. P = 3/4 = 0,75.
Q21 – Réponse : A
Centre Ω = milieu de [AB] = (3, −2, 3) ; ΩC = (−2, 3, −4) est normal au plan tangent en C : −2x + 3y − 4z + d = 0 avec C(1,1,−1) : d = −5. Soit 2x − 3y + 4z + 5 = 0.
Q22 – Réponse : D
un = [n ex/n]nn+1 = n e (e1/n − 1) = e · (e1/n − 1)/(1/n) → e. lim un = e.
Q23 – Réponse : D
ln est croissante ; x² + 1/x² ≥ 2 avec égalité pour x = ±1. f a donc deux minimums locaux (en −1 et en 1, valeur ln 2).
Q24 – Réponse : B
tan x + tan 4x = sin 5x/(cos x cos 4x) et tan 2x + tan 3x = sin 5x/(cos 2x cos 3x). L'équation devient sin 5x · (cos 2x cos 3x + cos x cos 4x) = 0, soit sin 5x = 0 ou cos 5x + cos x cos 2x = 0.
- sin 5x = 0 : x ∈ {0, π/5, 2π/5, 3π/5} (4 solutions, tangentes définies).
- cos 5x + cos x cos 2x = 0 : x ≈ 0,438 et x ≈ 0,986 (x = π/2 est exclu, tan non définie).
Six solutions.
Q25 – Réponse : A
Avec θ = π/(2n − 1) : Π cos(2kθ) = sin(2nθ)/(2n sin θ). Or 2nθ = π + θ, donc sin(2nθ) = −sin θ et le produit vaut −1/2n → 0.
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