Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) 2010 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle préparatoire organisé par l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) (2010), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech)
- Grade
- 1ère année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2010
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
Sujet de l'épreuve « Mathématiques » du concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire — l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech), session du 23 juillet 2010. Document officiel publié sur ensa.ac.ma (copie archivée), 5 page(s). Accompagné du corrigé officiel (grille de réponses) publié par l'école.
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
UNIVERSITE CADI AYYAD ANNEE 2010 /2011
Ecole Nationnale des Sciences Appliquées
Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire
Epreuve de mathématiques : Durée 1H30
Responsable : ALI OUKHOUYA
Mise en garde :
1°) Il est interdit d’utiliser les portables , calculatrices ou tout autre document .
2°) Dans chaque question il y a une seule réponse correct , il faut alors cocher une seule case
qui correspond à la bonne réponse .
3°) Deux cases cochées valent —1 .
4°) Régles de Notation :
Réponse juste ح +1 ; Réponse fausse = —1 ; Sans réponse = 0 .
Question 1 : Soit f la fonction définie par :
1 — cos x
Alors :
a) lim f (x) = +oo ط: ) lim 7 )2( 0ح :©( lim fr) =2 ‘d ) lim f(x) =-1 .
à : 1 1 2-1
Question 2 : Soit f : R5 جرع ,م1 ج arctan ا — | — arctan | | + arctan | —
2x? 2+1 2
a ) f est constante égale à 1.
b ) f est constante égale à 0.
c ) f n’est pas constante .
d) نا :( = —
( TRS +
Question 3 : Pour tout n € N* U, 1 + 1 Æ 5 + 1 1
: Pour tout n , On pose لم + م = ين +..+— , 011 a alors :
| à ” n+1i n+2 2n
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a) متتل Un = 0 15) متتل Un = In (2) 2é) AU Un = +00 1 للحاو متتل :
Question 4 : Soit (u),, la suite définie par : uo = 1 et un+1 = Te
a ) La suite (u,),, est croissante et tend vers + .
b ) La suite (w,),, est décroissante et tend vers 0 .
c ) La suite (u,), est convergente vers 1 .
d)VnenN, un > ; .
Question 5 : On considère l’équation différentielle (E) : y” — (1+m) y" + my ح ٠
a ) Si m = 1 les solutions de (E) sont de la forme y(t) = aet+ Bet , (a, B) € R?.
b ) Si m £ 1 les solutions de (Æ) sont de la forme y(t) = a cost + Bsin(mt) , (a, 8) € R?.
c ) Si m — 1 les solutions de (E) sont de la forme y(t) = (at + B)et , (a, B) € R?.
d ) Sim = 0 les solutions de (E) sont de la forme y(t) = (at + Be! , (a, 3) € R?.
Question 6 : Soit Z — (1 + iV3) 8 + (1 — iV3) 8 alors
a ) Z = —-32 :b)Z7=16e 3 (7 2 :d)Z=64e 6
Question 7 : On note z1,...,z, les solutions dans € de l’équation : 2“ = 1
On pose S = 21 + 29 +... +2, et P = 2,22...2z, , alors :
a)S=0et P=(-1)"
0ط 5 - 0 6601-1
ce)S=le P=(-1)"
205-1651 - ٠
Question 8 : Pour (m,n) € 111 , on pose م7 = Î. cos (nt) cos (mt) dt ٠
a)Sim=n, lim =T.
اط ( 3177112513 Don = 27:
CJSMER sum = 0:
d)Sim=n, lisa 27:
Question 9 : Soit (a,b) € 162 tel que a <bet f : [a,b] — R de classe C! sur [a,b] . Alors :
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a) lim | f(t)cos(nt) dt =b—a.
N— + O0 0
b) lim | f (&) cos (nt) dt = +00 .
TN +00 0
ë) lim | f (t) cos (nt) dt = 0.
Nr +00 0
d ( La suite de terme général Î f (£) cos (nt) dt n’a pas de limite lorsque n — + .
Question 10 : Parmi les ensembles suivants lequel est un sous-espace vectoriel de ٠:
a)E={(x,y,2) رق x? قب - 0 ٠
b)E={{(x,y,2) م إثتل < 0[
c)E={(x,y,2) ER/2r-y+2=1}).
d)E={(x,y,2) ER°/27-y+2=0}.
Question 11 : Soit ابه et c des réels et À — ( 0 م et n € N*. Alors :
جم a” b?
a ) A = ( 0 a” ) à
à a? nb?
jets 2).
n _ (a nat
c ) A7 = ( 0 a" :
8 a”? ab"?
2(4*-) 9 "6 ل
Question 12 : Deux augmentations successives عل 10% du prix d’un produit donne une augmentation
a ) 20% (ط: 76 :( 7 : d ) 10%
Question 13 : Une augmentation de 10% puis une baisse du prix d’un produit de 10% donne :
a ) Un prix inchangé ٠
b ) Une baisse de 1% .
c ) Une augmentation de 1%.
d ) Une variation de 10% .
Question 14 : Soit A(2,1) , B(—1,2) et M (3,4) des points du plan affine euclidien muni d'un repère
orthonormé R = (o, %, 7( . Alors la distance d de M à la droite (AB) vaut :
a ) d= 0 b)d=5 se Jid= 10 d ) d=Y6 .
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Question 15: Dans l’espace muni d’un repère orthonormé R — (o. F ; 7 ÿ 7) , on considére les points
A(1,1,0) ,B(1,2,1) ,C(3,—1,2) alors :
a) A,B et C' sont alignés
b ) les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires .
c ) L’équation du plan contenant les points بك 2 et C'est : 2r+y—2-—3=0
d ) Les droites (OA) et (BC) sont parallèles .
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UNIVERSITE CADI AYYAD Marrakech, le 23-07-2010
ECOLE NATIONALE DES SCIENCES APPLIQUEES
MARRAKECH
KKKKKÉE
Correction du concours d’entrée en 1°"° année du Cycle Préparatoire
Fiche de réponses
Epreuve de Mathématiques (Durée 1h : 15min)
مم 10108 meme بت اليا
جا ملت تا ا ا 116101
مومع عي مامه ع ع د ره À 0163331601 119
Remarques Importantes :
La documentation, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits. )1
Parmi les réponses proposées il n’y en a qu’une qui est juste. )2
Cochez la case qui correspond à la réponse correcte sur cette fiche. )3
Réponse juste - 1 point ; Réponse fausse — - 1 point ; Pas de Réponse = 0 point. )4
Noter Bien : Plus qu’une case cochée = - 1 point.
Réservé aux correcteurs
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Exercices] LT | ا
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آلا لل | لكا | مسنسم ا
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L_Exercice 14 لا ل ل
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Avenue Abdelkrim El Khattabi BP 575 Marrakech - Maroc
Tél : (212) 024.43.47.45/46 Fax : (212) 024.43.47.40
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad, année 2010/2011, concours du 23 juillet 2010). C'est un QCM de 15 questions, une seule réponse juste par question. Barème : juste +1, fausse −1, sans réponse 0, deux cases cochées −1. L'énoncé indique une durée de 1 h 30, la fiche de réponses jointe 1 h 15. Voici une correction proposée, avec une ligne de justification par question.
💡 Le sujet est accompagné d'une fiche de réponses officielle. Elle concorde avec nos calculs pour 11 questions sur 15. Pour les questions 6, 7, 12 et 15, elle ne correspond pas aux propositions telles qu'elles sont imprimées (voir ci-dessous) ; nous donnons la réponse mathématiquement juste.
- c) lim f(x) = 2 : au voisinage de 0, x sin x ~ x2 et 1 − cos x ~ x2/2, donc f(x) → 2.
- b) f est constante égale à 0 : avec a = (x − 1)/x et b = x/(x + 1), on a a − b = −1/(x(x + 1)) et 1 + ab = 2x/(x + 1) > 0. Donc arctan a − arctan b = arctan(−1/(2x2)), qui annule arctan(1/(2x2)).
- b) lim Un = ln 2 : Un = (1/n)Σk=1n 1/(1 + k/n) est une somme de Riemann de ∫01 dx/(1 + x) = ln 2.
- b) décroissante et tend vers 0 : un > 0 et un+1/un = 1/(1 + un2) < 1. La limite l vérifie l = l/(1 + l2), donc l = 0. (d est faux : u2 = 2/5.)
- c) L'équation caractéristique r2 − (1 + m)r + m = (r − 1)(r − m) a pour m = 1 la racine double 1, d'où y = (αt + β)et. Pour m = 0, les racines sont 1 et 0 : y = αet + β (d faux).
- c) Z = 32 : 1 + i√3 = 2eiπ/3, donc Z = 2 Re(32 ei5π/3) = 64 cos(5π/3) = 32. Contrôle direct : (1 + i√3)5 = 16 − 16i√3. La fiche officielle coche a) (−32), ce qui ne correspond pas au calcul.
- Aucune proposition n'est exacte (réponse probable attendue : a). Pour n ≥ 2, S = 0 (somme des racines de zn − 1, coefficient de zn−1 nul). Le produit vaut P = e2iπ(0+1+…+(n−1))/n = eiπ(n−1) = (−1)n+1, et non (−1)n : pour n = 2, les racines 1 et −1 donnent P = −1. La fiche officielle coche a), qui contient une erreur de signe ; b) n'est juste que pour n impair.
- c) Si m ≠ n, In,m = 0 : cos(nt)cos(mt) = ½[cos((n − m)t) + cos((n + m)t)], et chaque terme s'intègre en 0 sur une période. Pour m = n, I = π si n ≥ 1 mais 2π si n = 0, donc a) n'est pas vrai pour tout (m, n) ∈ ℕ2.
- c) La limite vaut 0 (lemme de Riemann-Lebesgue ; l'intégrale est à lire sur [a, b], intervalle où f est définie). Par parties : ∫ f(t)cos(nt)dt = [f(t)sin(nt)/n] − (1/n)∫ f′(t)sin(nt)dt, et les deux termes sont bornés par C/n.
- d) 2x − y + z = 0 est un plan vectoriel (noyau d'une forme linéaire). a) est la réunion de deux plans, non stable par addition ; b) n'est pas stable par multiplication par −1 ; c) ne contient pas 0.
- c) An = (an, nan−1b ; 0, an) : A = aI + bN avec N2 = 0 et I, N qui commutent, donc An = anI + nan−1bN (binôme).
- c) 21 % : 1,1 × 1,1 = 1,21. La fiche officielle coche d) (10 %), ce qui ne correspond pas aux propositions imprimées.
- b) Une baisse de 1 % : 1,1 × 0,9 = 0,99.
- a) d = √10 : la droite (AB) a pour vecteur directeur (−3, 1) et pour équation x + 3y − 5 = 0 (A et B la vérifient). d = |3 + 12 − 5|/√(1 + 9) = 10/√10 = √10.
- b) et c) sont toutes deux vraies (réponse probable attendue : c, celle de la fiche officielle). AB = (0, 1, 1) et AC = (2, −2, 2), donc AB·AC = 0 − 2 + 2 = 0 : (AB) ⊥ (AC). Et AB ∧ AC = (4, 2, −2) ∝ (2, 1, −1) ; A, B, C vérifient 2x + y − z − 3 = 0 (2 + 1 − 0 − 3 = 0 ; 2 + 2 − 1 − 3 = 0 ; 6 − 1 − 2 − 3 = 0). a) est faux (vecteurs non colinéaires), d) aussi (OA = (1, 1, 0) et BC = (2, −3, 1) ne sont pas colinéaires).
Questions fréquentes sur ce sujet
Ce sujet est-il téléchargeable gratuitement ?
Oui. La totalité du sujet (5 pages) est consultable et téléchargeable gratuitement, sans inscription ni compte.
Le corrigé est-il inclus ?
Oui. Un corrigé proposé figure sur cette page, sous les pages du sujet : méthode de réponse et éléments attendus, rédigés par l'équipe Wadifa Info.
Quel organisme et quel grade concerne ce sujet ?
Ce sujet provient d'un concours organisé par l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech). Il concerne le grade : 1ère année du cycle préparatoire.
De quelle session s'agit-il et dans quelle langue ?
Session : session du 23 juillet 2010. Les questions sont en français.
Où trouver d'autres sujets du même concours ?
Tous nos sujets de la même famille sont regroupés sur la page les sujets de concours « Accès aux écoles et instituts supérieurs ». Les sujets y sont classés par session, du plus récent au plus ancien.
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Organisme : l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) · session du 23 juillet 2010 — Copie issue de : archive de modèles de concours — document archivé tel que reçu ; l'avis officiel du concours fait foi.
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