Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) 2009 — Épreuve : Mathématiques
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En bref
Ce document est une ancienne épreuve écrite du concours de 1ère année du cycle préparatoire organisé par l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) (2009), publiée sur Wadifa Info en consultation et téléchargement PDF gratuits, avec une correction proposée.
- Organisme
- l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech)
- Grade
- 1ère année du cycle préparatoire
- Spécialité
- Mathématiques
- Année
- 2009
- Pages
- 5
- Langue des questions
- français
- Correction
- correction proposée disponible sur cette page
📝 Texte des questions (extrait automatiquement des pages scannées)
Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.
UNIVERSITÉ CADI AYYAD Année : 2008/2009
Ecole Nationale Des Sciences Appliquées Session du : 24 Juillet 2009
Marrakech Responsable : I. OUASSOU
Concours d’entrée en 176 année du cycle préparatoire
Epreuve de mathématiques (durée 1h30min)
Remarques importantes
1) Les documentations, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
2) Parmis les réponses proposées elle n’y à qu’une qui est juste.
3) Cocher la case qui correspond à la réponse correcte sur la fiche de réponses.
4) Règles de notation :
Réponse juste — 1 point ; Réponse fausse = -1 point ; Sans réponse — 0 point.
Noter Bien Plus qu'une case chochée = -1 point.
Exercice 1 A) Vn E N* : n(n+1)(n +2)(n +3) est divisible par 22.
B) Vn E N* : n(n+1)(n+2)(n +3) n’est pas divisible par 48.
C) Vn E N* : n(n+1)(n+2)(n +3)(n +4) est divisible par 120.
D) VnEN* : nn +1l)(n+2)(n +3)(n +4) n'est pas divisible par 120.
Exercice 2 Soit h la fonction définie sur R par : h(x) = e *In(1+e*).
A) h est solustion de l'équation différentielle E : y — y ح EN
B) Sif—-h est solution de E alors f est solution de E.
C) La solution générale de y + y = 0 est y = ke*, © ER.
D) La fonction f définie par f(x) = e * n(1 +e*) +2e * est solution de E.
Exercice 3 Dans une classe, les garçons représentent le quart de l'effectif. Une fille sur
trois a eu son permis du premier coup, alors que seulement un garçon sur dix l’a eu du
premier coup. On interroge un élève (garçon ou fille) au hasard. La probabilité qu'il ait eu
son permis du premier coup est égale à :
A) 0,043 B) 0,275 C) 0,217 D) 0,033
(Les résultats proposés ont été arrondis à 107% près).
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Concours d’accée à la 1ère année du C. P. ENSA de Marrakech 2
2ل — V2 1/2 2
Exercice 4 Soit le complexe w = V2 + à see
A) t raci ع2 d 1 (i—1)
w est racine carrée de —={i — 1).
(£ ) 2ل - 2
B) cos | — ) داح
C) w? est solution de l'équation Z? — V2Z +1=0.
D) w‘=i.
Exercice 5 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct, on considère
les points À, B,C, D d'affires respectives zA = 1 + 2i, ورت = 1 + V3+ à, ze = 1 + وان 1
A) AB Z DC.
B) Le triangle ABD est rectangle.
C) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
D) Les points A, B,C, D ne sont pas sur un même cercle.
Exercice 6 La limite de la fonction
5 sin° x + cos$ x + 1
9 ان متا
quand x tend vers +oo vaut :
A) 0B) + C) n'existe pas D) 1
Exercice 7 Soit la fonction f de la variable réelle x définie sur R par : f(x) = cos(x)e"(®),
A) La fonction f n’est pas périodique.
B) On a f'(x) = (cos?(x) + sin(x)) اماع
C) Une primitive de f est F(x) = sin(r)e“"(®) — 1.
D) L'aire du domaine plan délimité par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses
et les droites d'équations x = 0, x = 5 est différent de e + 1 unité d’aire.
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Concours d’accée à la 1ère année du C. P. ENSA de Marrakech 3
Exercice 8 Indiquer la phrase qui vous semblent correcte parmi les phrases suivantes :
A) Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel.
B) La somme de deux nombres irrationnels est irrationnelle.
C) Le produit de deux nombres irrationnels est irrationnel.
D) La somme d'un nombre rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle.
Exercice 9 L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, à, j, k). On considère les
points :
A(2;1;-1),.B(-1,2;4), C(0;-2;3), 101:1 2)
et le plan P d’équation x — 2y + 21 ح
A) Les points À, B et C définissent un plan.
B) La droite (AC) est incluse dans le plan P.
C) Une équation cartésienne du plan (ABD) est : x + 8y + 2 — 11 = 0.
D) Une représentation paramétrique de la droite (AC) est :
y = 2+3k (kER)..
z = 3-7
Exercice 10 L'espace est rapporté au repère orthonormal (O, à, j,k). On considère
les points :
4)21-1(..5)-1:2:4(, 60-29), 011+ 2)
et le plan P d’équation x — 2y+2z+1=0.
A) Les droites (AB) et (CD) sont orthogonales.
B) La distance du point C au plan P est égale à 41/6.
C) La sphère de centre D et de rayon vE n'est pas tangente au plan P.
D) Le point E (- 5 à 2 ï 3 est le projeté orthogonal du point C sur le plan P.
Exercice 11 On considère les suites (x,) et (yn) définies pour tout entier naturel n non
nul par :
Le ÿ 1" cos(t)dt et y, = 1 t'sin(t)dt.
A) La suite (x,) convergence vers L > 0 et ولإمببممتسصتل = 0.
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Concours d’accée à la 1ère année du C. P. ENSA de Marrakech 4
B) Pour tout entier naturel n non nul, tuz1 = (n + 1 ملو( + sin(1).
C Si on admet que, pour tout entier naturel n non nul, صملا = (n+1)x, —cos(1). alors
MM sp ح مره CO8(L);
D) Si on admet que, pour tout entier naturel n non nul, جملا = (n+1)x, —cos(1). alors
He, 0 COL).
Exercice 12 Soient les deux intégrales définies par :
1 FL ef sin(x)dx et J = | Le cos(x)dr.
A) Onal=-2J.
B) Onal=J+e"+1.
C) Onal=-3(1+e).
D) 08 » ل 14 6".
Exercice 13
A) Si حم [in (a?) e- (3) alors x = 4.
B) $: « صاح (5) — 4In(V3) alors x = In8.
C) Si + = 5; —— alors x = —.
( Vav3) vv3
D) Si In(2x — 1) = In(x — 1) alors x = 0
Exercice 14 Soit f la fonction définie sur [0,3] par
—1 si æ=0
1 ss 0<zæz<il
JG) =*< 3 Si G=I
—2 si 1<xz<2
4 si 2<7x<3.
A) | f(é)dt = 4.
x 6 0 1
B) Fx)=4 3-22 22 > 2
O+4r si 2> 83
C) F est continue sur [0, 3].
D) F est dérivable sur [0,3].
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Exercice 15 Soient les suites numériques (u,) et ل(من) définies pour tout n € N par :
1 سلا + 3 ; Un — 3
ول = 1 Unyi = به EU = جص
0 LUE Un + 3 Un +1
A) La suite (u,) n’est pas bornée.
B) La suite (v,) est décroissante.
C) Pour tout entier n > 0 , u, = en .
D) La suite (u,) est convergente.
Exercice 16 Soit f la fonction définie sur R* par :
z) = zsin|—).
A) On a f(x) = 0 si est seulement s'il existe un entier relatif non nul k tel que x = Ex
B) On a lim fe) 1د
CY .-Onaf 8 = —.
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Correction proposée
Il s'agit d'une correction proposée, rédigée par l'équipe wadifa-info pour vous aider à comprendre la méthode — ce n'est pas un corrigé officiel de l'administration organisatrice.
Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1re année du cycle préparatoire de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 24 juillet 2009. Durée : 1 h 30, documents, calculatrices et téléphones interdits. QCM de 16 exercices, une seule réponse juste annoncée par exercice ; juste = +1, fausse = −1, sans réponse = 0, plus d'une case = −1.
💡 À savoir : deux énoncés de ce sujet comportent une coquille (exercices 2 et 16) ; la correction ci-dessous explique ce qui est vrai tel qu'imprimé et ce qui était visiblement attendu.
Exercice 1 — Produits d'entiers consécutifs
Réponse : C). Parmi 5 entiers consécutifs il y a un multiple de 5, un de 3, et au moins un multiple de 4 et un autre nombre pair : le produit est divisible par 5 × 3 × 8 = 120 (c'est aussi 5! × C(n+4, 5)). A) faux : n = 1 donne 24, non divisible par 22 ; B) faux : n = 5 donne 1680 = 48 × 35 ; D) contraire de C.
Exercice 2 — h(x) = e−x ln(1 + ex)
h'(x) = −e−x ln(1 + ex) + e−x·ex/(1 + ex) = −h(x) + 1/(1 + ex), donc h' + h = 1/(1 + ex).
Réponse probable : A), en lisant l'équation comme E : y' + y = 1/(1 + ex) (énoncé classique ; le sujet imprime « y' − y »).
- Telle qu'imprimée (y' − y), aucune option n'est vraie : h' − h = −2h + 1/(1 + ex).
- Avec y' + y : A) vraie ; C) faux, les solutions de y' + y = 0 sont k e−x ; B) faux, il faudrait que f − h soit solution de l'équation homogène ; D) devient vraie aussi, car 2e−x est solution de l'équation homogène.
💡 Retenez la méthode : solution générale = solution particulière (ici h) + k e−x.
Exercice 3 — Permis du premier coup
Réponse : B) 0,275. Probabilités totales : P = (1/4)(1/10) + (3/4)(1/3) = 0,025 + 0,25 = 0,275.
Exercice 4 — w = √(2 − √2)/2 + i √(2 + √2)/2
cos(3π/8) = √(2 − √2)/2 et sin(3π/8) = √(2 + √2)/2, donc w = ei3π/8.
Réponse : A). w2 = ei3π/4 = (−1 + i)/√2 = (1/√2)(i − 1). B) faux : cos(π/8) = √(2 + √2)/2 ; C) faux : les racines de Z2 − √2 Z + 1 = 0 sont e±iπ/4 ; D) faux : w4 = ei3π/2 = −i.
Exercice 5 — A(1 + 2i), B(1 + √3 + i), C(1 + √3 − i), D(1 − 2i)
Avec Ω d'affixe 1 : |zA − 1| = |2i| = 2, |zB − 1| = |√3 + i| = 2, |zC − 1| = 2, |zD − 1| = 2 : les quatre points sont sur le cercle de centre Ω, de rayon 2.
Réponse : B). [AD] est un diamètre (Ω milieu de [AD]), donc l'angle en B est droit : ABD est rectangle en B. A) faux : AB = |√3 − i| = 2 = DC = |√3 + i| ; C) faux : zB − zA = √3 − i ≠ zC − zD = √3 + i ; D) faux (cocycliques).
Exercice 6 — lim en +∞ de (sin9x + cos6x + 1)/(e−x + 1)
Réponse : C) n'existe pas. Le dénominateur → 1, le numérateur vaut 2 en x = 2kπ et 0 en x = 3π/2 + 2kπ : il n'a pas de limite.
Exercice 7 — f(x) = cos x · esin x
Réponse : D). f ≥ 0 sur [0, π/2] et esin x est une primitive de f : aire = e1 − e0 = e − 1 ≠ e + 1. A) faux : f est 2π-périodique ; B) faux : f'(x) = (cos2x − sin x) esin x ; C) faux : la dérivée de sin x · esin x − 1 vaut cos x(1 + sin x) esin x ≠ f(x).
Exercice 8 — Rationnels et irrationnels
Réponse : D). Si r + x = q (r, q rationnels), x = q − r serait rationnel. Contre-exemples : A) 0 × √2 = 0 ; B) √2 + (−√2) = 0 ; C) √2 × √2 = 2.
Exercice 9 — A(2;1;−1), B(−1;2;4), C(0;−2;3), D(1;1;−2), P : x − 2y + z + 1 = 0
Réponse : A). AB = (−3, 1, 5) et AC = (−2, −3, 4) ne sont pas colinéaires : A, B, C définissent un plan. B) faux : C donne 0 + 4 + 3 + 1 = 8 ≠ 0, donc C ∉ P ; C) faux : A donne 2 + 8 − 1 − 11 = −2 ≠ 0 ; D) faux : pour k = 0 on obtient (0, 2, 3) ≠ C, et aucun k ne donne A (2k = 2 ⇒ y = 5 ≠ 1).
Exercice 10 — Mêmes données
Réponse : D). Projeté de C sur P : C − t·n avec n = (1, −2, 1) et t = (0 + 4 + 3 + 1)/6 = 4/3, soit E(−4/3, 2/3, 5/3) ; vérification : −4/3 − 4/3 + 5/3 + 1 = 0. A) faux : AB·CD = (−3)(1) + (1)(3) + (5)(−5) = −25 ≠ 0 ; B) faux : d(C, P) = 8/√6 = 4√6/3 ; C) faux : d(D, P) = |1 − 2 − 2 + 1|/√6 = 2/√6 = √6/3 = rayon : la sphère est tangente.
Exercice 11 — xn = ∫01 tn cos t dt, yn = ∫01 tn sin t dt
Par parties : xn+1 = sin 1 − (n + 1) yn et yn+1 = −cos 1 + (n + 1) xn. De plus |xn|, |yn| ≤ ∫ tn dt = 1/(n + 1) → 0.
Réponse : C). (n + 1) xn = yn+1 + cos 1 → cos 1, et n xn = (n + 1) xn − xn → cos 1. A) faux : xn → 0 ; B) faux : signe « − » devant (n + 1) yn ; D) faux : (n + 1) yn = sin 1 − xn+1 → sin 1, donc n yn → sin 1.
Exercice 12 — I = ∫0π ex sin x dx, J = ∫0π ex cos x dx
Par parties : I = [ex sin x]0π − J = −J, et J = [ex cos x]0π + I = −eπ − 1 + I. D'où J = −(1 + eπ)/2 et I = (1 + eπ)/2.
Réponse : B). J + eπ + 1 = (1 + eπ)/2 = I. A) faux (I = −J), C) faux (signe), D) faux.
Exercice 13 — Calculs avec ln et exp
Réponse : A). [ln(e√2)]2 = (√2)2 = 2 et e−ln(1/2) = 2, donc x = 4. B) faux : ln 9 − ln 8 − 2 ln 3 = −ln 8 ; C) faux : numérateur (41/4)2 = 2, dénominateur 33/4·31/4 = 3, x = 2/3 ; D) faux : il faut x > 1, or 2x − 1 = x − 1 donne x = 0 : pas de solution.
Exercice 14 — Fonction en escalier sur [0, 3], F(x) = ∫0x f(t) dt
Les valeurs en des points isolés (x = 0, x = 1) ne changent pas l'intégrale.
Réponse : C). L'intégrale d'une fonction en escalier est continue en sa borne : F est continue sur [0, 3]. A) faux : 1 × 1 + (−2) × 1 + 4 × 1 = 3 ; B) faux : F(x) = x sur [0, 1], 3 − 2x sur [1, 2], 4x − 9 sur [2, 3] (et non 9 + 4x) ; D) faux : F'g(1) = 1 ≠ F'd(1) = −2.
Exercice 15 — u0 = 1, un+1 = (5un + 3)/(un + 3), vn = (un − 3)/(un + 1)
vn+1 = (2un − 6)/(6un + 6) = vn/3, v0 = −1, donc vn = −3−n et un = (3n+1 − 1)/(3n + 1).
Réponse : D). vn → 0 donc un → 3. A) faux (convergente donc bornée) ; B) faux : vn est croissante ; C) faux : u1 = 2 alors que la formule donne 0.
Exercice 16 — f(x) = x sin(2/x) sur ℝ*
Réponse : C) (réponse probable, voir remarque). f(4/π) = (4/π) sin(π/2) = 4/π. A) faux : sin(2/x) = 0 ⇔ x = 2/(kπ), pas 1/(kπ) ; B) faux : |f(x)| ≤ |x| → 0.
💡 Remarque : D) est aussi vraie : x sin(2/x) = 2 · sin(2/x)/(2/x) → 2 quand x → +∞. L'énoncé annonce une seule bonne réponse ; deux options sont exactes.
Questions fréquentes sur ce sujet
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