Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle préparatoire — ENSA Marrakech — 25/07/2006 — Mathématiques

Ce texte est extrait automatiquement des images de l'épreuve et peut contenir des erreurs de lecture — les images ci-dessus font foi.

UNIVERSITÉ CADI AYYAD Année : 2005/2006
Ecole Nationale Des Sciences Appliquées Session du : 25 Juillet 2006
Marrakech Responsable : I. OUASSOU
Concours d’entrée en 176 année du cycle préparatoire
Epreuve de mathématiques (durée 1h15min)
Remarques importantes
1) Les documentations, les calculatrices et les téléphones portables sont interdits.
2) Parmis les réponses proposées elle n’y a qu’une qui est juste.
3) Cocher la case qui correspond à la réponse correcte sur la fiche de réponses.
4) Règles de notation :
Réponse juste — 1 point ; Réponse fausse — -1 point ; Sans réponse — 0 point.
Noter Bien Plus qu'une case chochée = -1 point.
Exercices 1
Soita=1-ietb=V3+i.
a) Le module de ‏كه‎ est 84/2.
b) L'argument de ab? est =
; a° TT
c) L'argument de 0 est — a
d) L'écriture algébrique de ‏اط‎ est b = —4 + i4V3.
Exercices 2
1—cos(3r) 3
Lin —— © = —.
4 ‏ل‎ sin(4x) 4
b). lim / 42 — x +1-—2x = +00.
L , F1 —
c) lim x sin (5) n'existe pas.
In(x
d) lim He) =";
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

Exercices 3
Soient les suites numériques (u,) et (v,) définies pour tout n € N par
Up = 1, Us = Su de = 1
0 — +: dn+1 — ot 3 ‏اع او مام‎ 1 .
a) La suite (u,) n'est pas bornée.
b) La suite (v,) est décroissante.
c) Pour tout entier n > 0 , un = ii .
d) La suite (u,) est convergente.
Exercices 4
2n? — (—1)"n +1
a) ‏ستل‎ ————— n'eriste pas.
) Jim. nes 2
b). lim In(n + 1) — In(n +2) = -co.
5 ‏مو وال‎
d) lim (—0,7)" + (0,7)" n'existe pas.
Exercices 5
On admet que dans une famille, pour toute naissance d’un enfant, la probabilité d’avoir
un garçon est la même que celle d’avoir une fille et que, lors de deux naissances séparées,
les sexes des enfants sont indépendants. Pour une famille de trois enfants (les naissances
étant toujours séparées), on désigne par X la variable aléatoire qui à chaque famille, associe
le nombre de filles.
a) P(X =1)= =.
6) P(X=2)==;
‏بح (3 حرط ل‎
1 ? 7 : 2 : 9
d) Soit E(X) la moyenne (l’espérence) de la variable aléatoire X, E(X) = 2
Exercices 6
Soient f et g deux fonctions continues sur l'intervalle [—1; 1].
a) Si 1 fl&)dz = Î g(x)dx alors pour tout x de [—-1;1], f(x) = g(x).
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎

b) Si pour tout x de [—-1;1], |f(x)| = |g(x)| alors 1 12)<(4« = Î g’(x)dx.
| 1 1 2
c) Si pour tout x de [—-1;1], f(x) = g?(x) alors 1 f(x)de= (/ g(r)dr) .
d) Si pour tout x de [—-1;1], f(x) > 0 alors | 1 ‏و()‎ 3 | f(x)dx.
Exercices 7 ‏و‎
‏يب يجب‎
Dans l’espace raporté à un repère orthonormal 02 1 Le À ) , on considère la droite
(D) intersection des deux plans d'équations cartésiennes x + y = 0 etx +y—2=0.
a) La droite (D) passe par le point (0, 1,2).
b) La droite (D) a pour système paramétrique
z=k+1
y - 7 2 6
c) le vecteur A )1,-2, —1) est un vecteur directeur de la droite (D).
d) La droite (D) n’est pas orthogonale au plan d'équation cartésienne x + y — z = 2.
Exercices 8
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = cos(x)eV ‏ساف ا‎
a) f(m— - f(x) =0.
b) Le point M 6 0) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f dans un
repère orthonormé.
c) La dérivée de f est f(x) = [cos?(x) — sin(x)| eat),
d) Une primitive F de f est définie par F(x) = e“"(),
Exercices 9 * 1
Soit la fonction f de la variable réelle x définie sur R par f(x) = Î 15e dt.
a) La fonction f est paire.
c) la fonction f est décroissante sur R.
d) Pour tout x €]1,+oo, f(x) < 2.

Exercices 10
Soit f la fonction définie sur R par :
e si x <0
Fe) = cost si <0
On appelle Cf sa représentation graphique dans un repère du plan. Soit T la représentation
graphique de la fonction exponentielle (x — e*) dans le même repère.
a) Dans la portion du plan correspondant aux points d'abscisses négatives, C; est l’image
de T par symétrie axiale dont l’axe de symértrie est l’axe des abscisses.
b) f est continue en 0.
c) f est dérivable en 0
d) l'équation f(x) = 0 possède au moins deux solutions dans l'intervalle | — 0; x].
Exercices 11
a) Soit f la fonction définie sur ]0; +oo[ par :
f(x) = x {sin (Inx) — cos (In x)].
La dérivée f' de f est la fonction définie sur R — {0} par : f'(x) = sin (In x).
b) Tn(V2+1)+2m(3+ V2) -In(11+6V2) +7Im(V2-1) = V2.
c) | tan(x)dx = - 1.
117
d) | ‏موحد‎ -4-/
‏ين ل(‎ ve
Exercices 12
Soit (E) l'équation différentielle y + 2y = 3e **.
a) La solution de (E) nulle en 0 est f(x) = 3) — 7
b) f'(x) = 3 *(—2e7* +3).
Fe 2 | 2
c) f est décroissante sur | —00; In (2) | et croissante sur ln (à) ; +00 |
d) im f(x) = 00.
Exercices 13
Dans le plan complexe, on considère un repère orthonormé (O0, 7, vŸ) direct.
Soit f la fonction définie par f(2) — = —
Z+2—1

a) La fonction f est définie sur © — { 5 } |
b) On a fof(2) = +
n a fof(z) = ‏.ب‎
c) L'antécédent de —i par f est i.
d) Il existe un unique z vérifiant f(2) = z.
Exercices 14 æ
Soit (o, #, 7 « À ) le repère orthonormal de l’espace. Soit P le plan de repère (A, w, v')
où A(-1,12), 2 14+ 7 ‏حْ م‎ 1 - 7 +
a) Le vecteur À = à + ri -27 n'est pas normal au plan P.
b) L'équation cartésienne du plan P est x + y - 22 +6 = 0.
c) La droite (D) passant par le point B(1,0,—1) et de vecteur directeur © est définie
par :
z+y—1 = 0
z+2z-1 = 0:
d) Le plan P et la droite (D) se coupent au point 6 5° 5? 2) s
Exercices 15
4/1 + 2 -1
Soit la fonction définie sur R par f(x) = ME E et f(0) = 0.
a) La fonction f n’est pas continue en 0.
Vl+z+1
b) Sur R — {0}, f'(x) = nr ‏سلا‎
‎x?2Vx2 +1
d) La droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe C$ représentative de f.
wadifa-info.com ‏نماذج المباريات من موقع وظيفة إنفو‎