Modèle de concours d'accès en 1re année du cycle préparatoire — École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) — session du 27 juillet 2004 — Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 27 juillet 2004. Durée : 1 h, documents et calculatrices interdits. QCM de 15 exercices, une seule réponse juste par exercice ; réponse juste = +1, fausse = −1, sans réponse = 0, plus d'une case cochée = −1.

💡 Méthode : une minute par réponse évidente (exercices 1, 2, 11), puis gardez le temps pour les calculs (13, 14, 15). Éliminer deux options par un contre-exemple suffit souvent.

Exercice 1 — Nombre de copies possibles

Réponse : d) 2¹⁵. Chaque question admet 2 réponses indépendamment des autres : 2 × 2 × … × 2 = 2¹⁵ = 32 768.

Exercice 2 — Rationnels et irrationnels

Réponse : d). Si r + x = q avec r, q rationnels, alors x = q − r serait rationnel : contradiction. Contre-exemples des autres : a) 0 × √2 = 0 ; b) √2 + (−√2) = 0 ; c) √2 × √2 = 2.

Exercice 3 — 1/x ≥ 1/x³

Réponse : d) [−1, 0[ ∪ [1, +∞[. 1/x − 1/x³ = (x − 1)(x + 1)/x³ ≥ 0. Tableau de signes : positif sur [−1, 0[ (numérateur ≤ 0, x³ < 0) et sur [1, +∞[ ; négatif sur ]−∞, −1[ et ]0, 1[.

Exercice 4 — h(x) = x^m − (ln x)²

Réponse : d). Si m > 0, (ln x)²/x^m → 0 (croissances comparées), donc h(x) = x^m(1 − (ln x)²/x^m) → +∞. a) est donc faux ; c) faux car pour m ≤ 0, x^m reste borné et −(ln x)² → −∞ ; b) faux car pour m < 0, x^m → +∞ en 0 et l'emporte sur (ln x)².

Exercice 5 — lim en 1⁻ de |x² − 1|/(1 − x)

Réponse : c) 2. Pour x < 1 proche de 1, |x² − 1| = (1 − x)(1 + x), donc f(x) = 1 + x → 2.

Exercice 6 — Dérivée de f(x) = x + cos²x

Réponse : c). f'(x) = 1 − 2 sin x cos x = 1 − sin 2x ≥ 0 pour tout x. a) faux : f'(−x) = 1 + sin 2x ≠ f'(x) ; b) faux : f'(π/4) = 0.

Exercice 7 — lim en +∞ de (sin⁹x + cos⁶x + 1)/(e^−x + 1)

Réponse : c) n'existe pas. Le dénominateur tend vers 1 mais le numérateur oscille : il vaut 2 en x = 2kπ et 0 en x = 3π/2 + 2kπ.

Exercice 8 — U_n = 1 + 1/2 + … + 1/n − ln n

Réponse retenue : d) décroissante et minorée (réponse probable). U_n+1 − U_n = 1/(n+1) − ln((n+1)/n) < 0 car ln(1 + 1/n) > 1/(n+1) : la suite décroît. Comme 1/k ≥ ∫_k^k+1 dt/t, on a 1 + … + 1/n ≥ ln(n+1) > ln n, donc U_n > 0 : minorée (b est faux).

💡 Attention : avec ces calculs, a) « positive » et c) « majorée » (U_n ≤ U₁ = 1) sont aussi vraies. L'énoncé annonce une seule bonne réponse ; d) est la plus complète, c'est celle qu'il fallait cocher.

Exercice 9 — f(x) = 2x + 1 + √(4x² + 4x)

Réponse : d). D_f : 4x(x + 1) ≥ 0, soit ]−∞, −1] ∪ [0, +∞[ (a faux). (f(x) − 1)/x = 2 + √(4x² + 4x)/x = 2 + √(4 + 4/x) → +∞ quand x → 0⁺ : f n'est pas dérivable en 0 (b et c faux) et la courbe admet en (0, 1) une demi-tangente verticale.

Exercice 10 — u₀ = 1, u_n = u_n−1 + (1 + u_n−1)/(1 + 2u_n−1)

Réponse retenue : b) strictement croissante (réponse probable). Par récurrence u_n > 0, donc l'incrément (1 + u)/(1 + 2u) est strictement positif : la suite est strictement croissante. De plus (1 + u)/(1 + 2u) > 1/2, d'où u_n > 1 + n/2 → +∞ : ni majorée ni convergente (c et d faux).

💡 a) « croissante » est aussi vraie (strictement croissante ⇒ croissante). L'énoncé n'acceptant qu'une réponse, on coche la plus précise, b).

Exercice 11 — Formules trigonométriques

Réponse : d). cos a + cos b = 2 cos((a+b)/2) cos((a−b)/2). Les autres sont fausses : cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a−b)], sin a sin b = ½[cos(a−b) − cos(a+b)], sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a−b)].

Exercice 12 — x₁ ≤ y₁ et x₂ ≤ y₂

Réponse : c). x₁ + x₂ ≤ y₁ + y₂, donc a = e^x₁+x₂ ≤ b = e^y₁+y₂ et b/4 − a/5 + 0,05 ≥ a/4 − a/5 + 0,05 = a/20 + 0,05 > 0. Contre-exemples : a) x₁ = −2, y₁ = 1 ; b) x₁ = y₁ = 0, x₂ = −5, y₂ = 0 (5 ≤ 0 faux) ; d) x₁ = x₂ = −2, y₁ = y₂ = 0 (4 ≤ 0 faux).

Exercice 13 — Dérivée d'ordre n + 1 de xⁿ e^1/x

Réponse : c) (−1)ⁿ⁺³ e^1/x / xⁿ⁺², c'est-à-dire (−1)ⁿ⁺¹ e^1/x/xⁿ⁺². Vérification : n = 0, (e^1/x)' = −e^1/x/x² ; n = 1, (x e^1/x)'' = e^1/x/x³. a) et b) donnent le signe opposé ((−1)ⁿ⁺² = (−1)ⁿ), d) la mauvaise puissance de x. (La formule générale se démontre par récurrence.)

Exercice 14 — ∫₀^π/2 sin²x cos³x dx

Réponse : d) 2/15. cos³x = (1 − sin²x) cos x ; avec u = sin x : ∫₀¹ (u² − u⁴) du = 1/3 − 1/5 = 2/15. (Le « s dx » de l'énoncé est une coquille pour « x dx ».)

Exercice 15 — Sphère x² + y² + z² − x − y − z + 3/4 = 0, plan y + z = 0

Réponse : d) aucune réponse correcte. (x − ½)² + (y − ½)² + (z − ½)² = 3/4 − 3/4 = 0 : l'équation, telle qu'imprimée, ne représente que le point Ω(½, ½, ½) (rayon nul). Son « centre » n'est pas (½, 0, 0) (a faux), et Ω n'est pas sur le plan (½ + ½ = 1 ≠ 0), donc ni tangence ni cercle (b et c faux).