Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Marrakech (ENSA Marrakech) 2003 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année de l'ENSA de Marrakech (Université Cadi Ayyad), session du 29 juillet 2003. Durée : 1 h 30, calculatrice interdite. Barème : réponse juste = +1, réponse fausse = −1, pas de réponse = 0. Chaque exercice propose quatre affirmations a) à d) ; l'énoncé ne limite pas le nombre d'affirmations vraies, on indique donc Vrai / Faux pour chacune.

💡 Avant de commencer : avec −1 par erreur, ne cochez que ce que vous savez justifier en une ligne. Un seul contre-exemple suffit pour rejeter une affirmation « pour tout ».

Exercice 1 — PGCD (u, v, w ∈ ℕ)

• a) Vrai. Tout diviseur commun de u et v divise v + nu, et réciproquement (v = (v + nu) − nu) : u∧v = u∧(v + nu).
• b) Vrai. Un diviseur commun de w et v divise aussi u (car w | u), donc divise u∧v = 1.
• c) Vrai (réponse probable, en lisant u∧(v,w) comme u∧(vw)). Si w∧u = 1, les diviseurs communs de u et de vw sont ceux de u et de v (lemme de Gauss) : u∧(vw) = u∧v.
• d) Vrai. Les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p ; p ne divisant pas u, le PGCD vaut 1.

Exercice 2 — Module (Z, Z' non nuls)

• a) Vrai. Z·Z̄ = |Z|², donc 1/Z = Z̄/|Z|².
• b) Vrai. |Z|² = Re(Z)² + Im(Z)² ≥ Re(Z)².
• c) Vrai. |Z| = |(Z + Z') − Z'| ≤ |Z + Z'| + |Z'|, et de même en échangeant Z et Z' : ||Z| − |Z'|| ≤ |Z + Z'|.
• d) Faux. Re(Z Z̄') = |Z||Z'|cos(θ − θ') ; contre-exemple Z = 1, Z' = i : Re(−i) = 0 ≠ 1.

Exercice 3 — Arguments

• a) Vrai (à 2π près, pour Z, Z' non nuls) : les arguments s'ajoutent dans un produit.
• b) Faux. Arg(Z) = −Arg(Z̄) est juste, mais Arg(1/Z) = −Arg(Z), pas Arg(Z) (contre-exemple Z = i).
• c) Faux. Aucune règle pour une somme : Z = 1, Z' = i donnent Arg(1 + i) = π/4 ≠ 0 + π/2.
• d) Vrai (à 2π près) : Arg(Z/Z') = Arg(Z) − Arg(Z').

Exercice 4 — u_n = 1 + 1/2 + … + 1/n

• a) Vrai. u_n+1 − u_n = 1/(n+1) > 0.
• b) Faux. Sur [k, k+1], 1/k ≥ ∫ dt/t, d'où u_n ≥ ln(n+1) → +∞ : la suite diverge.
• c) Faux, pour la même raison (u_n ≥ ln(n+1)).
• d) Vrai. Somme de termes positifs.

Exercice 5 — Racines n-ièmes (x ≥ 0 ; m, n ≥ 1)

• a) Vrai. Définition de la racine n-ième sur ℝ⁺.
• b) Vrai. x ≥ 0 et xⁿ = xⁿ, donc la racine n-ième de xⁿ est x.
• c) Faux. (x^1/n)^1/m = x^1/(mn) : c'est la racine (mn)-ième, pas (m+n)-ième (x = 2, m = 2, n = 3 : 2^1/6 ≠ 2^1/5).
• d) Vrai. x^1/n·x^1/m = x^(m+n)/(mn) = racine (mn)-ième de x^m+n.

Exercice 6 — Cardinaux (Card E = m, Card F = n)

• a) Faux en général : vrai seulement si E ∩ F = ∅ (E = F = {1} donne 1 ≠ 2).
• b) Vrai. Principe multiplicatif : Card(E×F) = mn.
• c) Vrai. C'est la formule Card(E∪F) = Card E + Card F − Card(E∩F) réécrite.
• d) Vrai. Chaque élément est dans la partie ou non : 2^m parties.

Exercice 7 — Probabilités (P(A) ≠ 0)

• a) Faux en général : vrai seulement si A et B sont indépendants (B = A avec P(A) = 1/2 : 1/2 ≠ 1/4).
• b) Vrai. Formule de Poincaré.
• c) Faux. P(A/B)·P(B) = P(A∩B) ; l'égalité écrite P(A/B)·P(A) = P(A∩B)·P(B) n'est pas une identité (B = A, P(A) = 1/2 : 1/2 ≠ 1/4).
• d) Vrai. A et Ā forment une partition de X.

Exercice 8 — f(x) = |x|/x sur ℝ*

f(x) = 1 si x > 0 et f(x) = −1 si x < 0 : limites à droite 1 et à gauche −1.

• a) Faux. b) Faux. c) Vrai : les limites à gauche et à droite diffèrent.
• d) Faux : f n'est même pas définie en 0.

Exercice 9 — f(x) = x + 1 − ln x / x² sur ]0, +∞[

• a) Vrai. ln x / x² → 0 et x + 1 → +∞.
• b) Vrai. f(x) − (x + 1) = −ln x / x² → 0 en +∞.
• c) Faux. F(x) = 1 − x⁻³ + 2 ln x · x⁻³, F'(x) = 3/x⁴ + 2(1 − 3 ln x)/x⁴ = (5 − 6 ln x)/x⁴ ≠ f(x).
• d) Faux. f'(x) = 1 − (1 − 2 ln x)/x³ ; pour x > 1, (1 − 2 ln x) < 1 < x³, donc f'(x) > 0 : f est croissante.

Exercice 10 — C(x) = ch x, S(x) = sh x

• a) Vrai. C² − S² = (C − S)(C + S) = e^−x·e^x = 1.
• b) Faux. S(x) < 0 pour x < 0 (S(−1) = (e⁻¹ − e)/2 < 0).
• c) (notée « d) » sur le sujet) Vrai. C' = (e^x − e^−x)/2 = S et S' = C.
• d) Faux. S' = C > 0 : S est croissante.

Exercice 11 — f(x) = ∛(x²) − ∛(x² − 4)

Au programme marocain, la racine cubique est définie sur ℝ⁺ : il faut x² − 4 ≥ 0, soit D_f = ]−∞, −2] ∪ [2, +∞[.

• a) Faux. L'intervalle proposé exclut 2 alors que f(2) = ∛4 existe (et si l'on définit ∛ sur ℝ, D_f = ℝ : faux aussi).
• b) Faux. En −2, ∛(x² − 4) a une dérivée infinie : f n'est pas dérivable en −2.
• c) Faux. ∛(x² − 4)/(x − 2) = ∛(x + 2) · (x − 2)^−2/3 → +∞, et ce terme est soustrait : la limite vaut −∞.
• d) Vrai. Avec a = ∛(x²), b = ∛(x² − 4) : a − b = (a³ − b³)/(a² + ab + b²) = 4/(a² + ab + b²) → 0.

Exercice 12 — f(x) = (2/π) x Arctan(1/|x|) − 2x, f(0) = 0

• a) Faux. f est définie sur ℝ tout entier.
• b) Vrai. 0 ≤ Arctan(1/|x|) ≤ π/2, donc |(2/π) x Arctan(1/|x|)| ≤ |x| → 0 et f(x) → 0 = f(0).
• c) Faux. En +∞, x Arctan(1/x) → 1 (car Arctan u ~ u), donc f(x) ~ −2x → −∞.
• d) Vrai. f(x) − (−2x + 2/π) = (2/π)(x Arctan(1/x) − 1) → 0.

Exercice 13 — Intégrales

• a) Faux. (2x + 2)/(x + 1)² = 2/(x + 1) ; l'intégrale vaut 2 ln 2, pas 3 ln 2.
• b) Faux. [−e^−x] de 1 à −1 = −e + e⁻¹ = e⁻¹ − e (signe opposé à celui proposé).
• c) Vrai. [sin²x / 2] de 0 à π/2 = 1/2.
• d) Faux. [ln(1 + e^x)] de 0 à 2 = ln((1 + e²)/2).

Exercice 14 — Plans, droite et sphère

(S) : centre Ω(2, −1, 1), rayon 5.

• a) Vrai. Les points (5, 3, t) vérifient 2·5 + 3 − 13 = 0 et 5 − 21 + 16 = 0 ; les normales (2,1,0) et (1,−7,0) ne sont pas colinéaires, donc P ∩ Q est une droite, qui est (D).
• b) Vrai. d(Ω, P) = |4 − 1 − 13|/√5 = 2√5 ≈ 4,47 < 5 : l'intersection est un cercle.
• c) Vrai. (D) est verticale, passant par (5, 3) : d(Ω, D) = √((5−2)² + (3+1)²) = 5 = R, donc (D) est tangente à (S).
• d) Faux (contraire de c).

Exercice 15 — Sphère x² + y² + z² + x − 1/4 = 0 et plan y + z − 1 = 0

(x + 1/2)² + y² + z² = 1/4 + 1/4 = 1/2 : centre (−1/2, 0, 0), rayon √2/2.

• a) Vrai.
• b) Faux. R = √2/2, pas 1/2.
• c) Vrai. d = |0 + 0 − 1|/√2 = √2/2 = R : le plan est tangent.
• d) Faux. L'intersection est un point, pas un cercle.