Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSAT) 2011 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 8 août 2011. QCM de 25 questions sur 2 pages, une seule réponse juste par question. Barème : +1 par réponse juste, −1 par réponse fausse, 0 sans réponse. Voici une correction proposée, avec la numérotation du sujet.

💡 Avant de commencer : une bonne moitié de ce sujet est du cours pur (formules de tan(a ± b), sommes Σk, Σk², Σk³, limites de référence, valeur de e). Ces points-là ne doivent pas être perdus : gardez votre temps pour les matrices et les complexes.

Nombres complexes et matrices (1 à 5)

1. b) −1 : w = z₁z₂ vérifie |w| = 1 et |w − (−2)| = 1. Le cercle unité et le cercle de centre −2 et de rayon 1 ne se touchent qu'en −1 (distance des centres 2 = 1 + 1). Donc z₁z₂ = −1.
2. a) [[1, 2n], [0, 1]] : A = I + N avec N = [[0, 2], [0, 0]] et N² = 0 ; I et N commutent, donc Aⁿ = I + nN.
3. a) [[2ⁿ⁺¹ − 1, 2ⁿ − 1], [2 − 2ⁿ⁺¹, 2 − 2ⁿ]] : c'est la seule proposition qui redonne A pour n = 1 ([[3, 1], [−2, 0]]) ; contrôle pour n = 2 : A² = [[7, 3], [−6, −2]] = [[8 − 1, 4 − 1], [2 − 8, 2 − 4]]. (Les valeurs propres de A sont 1 et 2, d'où des termes en 1 et 2ⁿ ; une récurrence achève la preuve.)
4. a) |(a − b)/(1 − āb)| = 1 : comme aā = 1, a − b = a − aāb = a(1 − āb), d'où |a − b| = |a|·|1 − āb| = |1 − āb| (et 1 − āb ≠ 0 car b ≠ a).
5. b) |a + b + c| : 1/a = ā, etc., donc ab + bc + ca = abc(ā + b̄ + c̄) et |ab + bc + ca| = |ā + b̄ + c̄| = |a + b + c|. Remarque : c) est la même quantité (un nombre et son conjugué ont le même module), donc c) est aussi exacte ; b) est la réponse attendue.

Séries et limites (6 à 12)

6. Réponse probable : b) e, avec une réserve : telle qu'elle est imprimée (k de 1 à +∞), la somme vaut Σ_k≥01/k! − 1/0! = e − 1, qui n'est pas proposé. b) correspond à la série commençant à k = 0.
7. a) −√2 : forme 0/0 en π/4 ; règle de L'Hôpital (ou taux d'accroissement) : (1/cos²x)/(−2 sin x) en π/4 = 2/(−√2) = −√2.
8. a) −1 : avec h = x − π/2, cotg x = −tan h ~ −h, donc cotg x/(x − π/2) → −1.
9. a) 108 : c'est la dérivée de x⁴ en 3 : 4 × 3³ = 108 (ou x⁴ − 81 = (x − 3)(x + 3)(x² + 9), et 6 × 18 = 108).
10. c) 0 : croissances comparées, x² ln x → 0 quand x → 0⁺.
11. a) 0 : quand x → +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : x²/e^x → 0.
12. b) e : n ln(1 + 1/n) → 1.

Trigonométrie et dérivation (13 à 18)

13. a) (tan a + tan b)/(1 − tan a tan b) : on divise sin(a + b)/cos(a + b) par cos a cos b.
14. a) (tan a − tan b)/(1 + tan a tan b) : on remplace b par −b dans la formule précédente (tan(−b) = −tan b).
15. a) 6x/(1 + 9x⁴) : (arctan u)' = u'/(1 + u²) avec u = 3x², u' = 6x, u² = 9x⁴.
16. a) y' = 6x(x² + 2)²(1 − x³)³(1 − 4x − 3x³) : y'/y = 3·2x/(x² + 2) + 4·(−3x²)/(1 − x³). En réduisant : y' = (x² + 2)²(1 − x³)³[6x(1 − x³) − 12x²(x² + 2)] = 6x(x² + 2)²(1 − x³)³(1 − x³ − 2x³ − 4x) = 6x(x² + 2)²(1 − x³)³(1 − 4x − 3x³).
17. b) 2(n!)(1 − x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾ : f = 2(1 − x)⁻¹, f' = 2(1 − x)⁻², f'' = 2·2(1 − x)⁻³ ; par récurrence f⁽ⁿ⁾ = 2·n!(1 − x)⁻⁽ⁿ⁺¹⁾.
18. b) y' = (1 + y)/(2 − x) : en dérivant : y + xy' + 1 − 2y' = 0, d'où y'(x − 2) = −(1 + y).

Intégrales et sommes (19 à 25)

19. a) x/2 − (1/4)sin 2x + C : sin²x = (1 − cos 2x)/2.
20. c) (1/4)ln|(x − 2)/(x + 2)| + C : 1/(x² − 4) = (1/4)[1/(x − 2) − 1/(x + 2)].
21. c) n(n + 1)/2.
22. a) n(n + 1)(2n + 1)/6 (contrôle n = 1 : 1·2·3/6 = 1).
23. c) (n(n + 1)/2)² (contrôle n = 2 : 1 + 8 = 9 = 3²).
24. a) 45/4 : sur [0, 3], la parabole est au-dessus de la droite y = −x/2 ; aire = ∫₀³(x² + x/2)dx = 9 + 9/4 = 45/4.
25. c) e ≈ 2,71828 (e = 2,718281828…). a) et b) ont une décimale fausse.