Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSAT) 2010 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 23 juillet 2010. QCM de 25 questions sur 4 pages, une seule réponse juste par question. Barème : +1 par réponse juste, −1 par réponse fausse, 0 sans réponse. (Le pied de page des feuilles porte « Épreuve de Physique-Chimie », mais le contenu est bien l'épreuve de maths.) Voici une correction proposée, avec la numérotation du sujet.

💡 Avant de commencer : plusieurs questions demandent l'assertion FAUSSE (8, 24) ou « laquelle/lesquelles » (6, 18, 20, 22). Soulignez la consigne avant de calculer : c'est là que se perdent les points, pas dans le calcul.

Analyse (1 à 17)

1. c) S(m) est une fonction constante : S(m) = ∫_m^2mdx/x = ln(2m) − ln m = ln 2.
2. a) 1/π : ln(1 + u) ~ u, donc (1/h)ln(1 + h/π) ~ (1/h)(h/π) = 1/π.
3. c) ∛9 : le produit vaut 3 à la puissance 1/3 + 1/6 + 1/12 + … (exposants en progression géométrique de raison 1/2), dont la somme tend vers (1/3)/(1 − 1/2) = 2/3. Limite : 3^2/3 = ∛9.
4. c) y = 2x − e : f(x) = e^{(ln x)²}, f(e) = e ; f'(x) = (2 ln x/x)e^{(ln x)²}, f'(e) = (2/e)·e = 2. Tangente : y = 2(x − e) + e = 2x − e.
5. Réponse probable : b) (n² + 5n)/4. La relation de récurrence de (x_n) n'apparaît pas sur la copie (seul x₀ = 1 est donné). Avec la suite arithmétique x_n+1 = x_n + 1/2, qui est la seule cohérente avec les propositions : x_i−1 = 1 + (i − 1)/2, donc x_i−1 + 1/2 = 1 + i/2 et la somme vaut n + n(n + 1)/4 = (n² + 5n)/4.
6. c) I, II et III : u_n ≤ Mⁿ avec 0 < M < 1. (W_n) est croissante (u_k > 0) et majorée par Σ M^k = 1/(1 − M), donc convergente ; 0 < u_n ≤ 1 donne II, et u_n ≤ Mⁿ → 0 donne III.
7. a) 3/2 : f'(x) = (2x − 3)e^{(x² − 3x)²}, du signe de 2x − 3 : f décroît puis croît, minimum en x = 3/2.
8. b) est FAUSSE : f'(x) = 1/√(x³ + 2), donc f'(1) = 1/√3 et non 1/(2√3). a) f(0) = 0 et c) f(1) > 0 (intégrande positive) sont vraies.
9. b) 2 : e^2x − 1 ~ 2x et tan x ~ x.
10. b) e/2 : avec F(x) = ∫₁^xe^u²du, F(x)/(x − 1) → F'(1) = e, et (x² − 1)/(x − 1) = x + 1 → 2 ; d'où e/2.
11. a) (e/2)(e² + 1) : f'' = 2f' donne f'(x) = f'(0)e^2x = e·e^2x, puis f(x) = (e/2)e^2x + D ; f(0) = e impose D = e/2. Donc f(1) = (e/2)e² + e/2 = (e/2)(e² + 1).
12. b) 2(1 − ln 2)² : par parties, une primitive de (ln x)² est x(ln x)² − 2x ln x + 2x. Entre 1 et 2 : (2ln²2 − 4 ln 2 + 4) − 2 = 2(ln²2 − 2 ln 2 + 1) = 2(1 − ln 2)².
13. b) 6x g(x³) + 9x⁴ f(x⁶) : h'(x) = 3x² f'(x³) = 3x² g(x³), puis h''(x) = 6x g(x³) + 3x²·3x²·g'(x³) = 6x g(x³) + 9x⁴ f(x⁶).
14. a) 1/4 : une primitive de x/(1 + x²)² est −1/(2(1 + x²)). Avec la borne inférieure 1 (peu nette sur le scan) : V_n = 1/4 − 1/(2(1 + n²)) → 1/4.
15. b) e^x/√x − 1/√(2x ln x) : H'(x) = (e^x)'/√(ln e^x) − (√x)'/√(ln √x) = e^x/√x − (1/(2√x))/√((ln x)/2) = e^x/√x − 1/√(2x ln x).
16. c) 2h(x) − 2 arctan h(x) : on dérive : (2h − 2 arctan h)' = 2h' − 2h'/(1 + h²) = 2h'·h²/(1 + h²) ; avec h² = e^x − 1 et h' = e^x/(2h), cela donne 2·(e^x/(2h))·(e^x − 1)/e^x = (e^x − 1)/h = h.
17. a) √(a² + b²) : a cos x + b sin x = √(a² + b²)·cos(x − φ) avec cos φ = a/√(a² + b²), sin φ = b/√(a² + b²).

Algèbre linéaire et matrices (18 à 23)

18. Aucune proposition ne convient : seule la famille C est une base. A est liée : (u + w) − (v + w) = u − v. B est liée : v − 2u = v − 2·u. C a une matrice triangulaire de diagonale (1, 1, 1) dans (u, v, w), donc c'est une base. D est liée : v + w = −(−v) − (−w). Aucune des propositions (« B », « A et C », « A et D ») n'est exacte telle qu'imprimée.
19. b) {(3, 0, 1) ; (0, 1, 0)} : F = {(3z, y, z)} = Vect{(3, 0, 1), (0, 1, 0)}, dim F = 2. a) ne suffit pas ; c) contient (1, 0, 3) ∉ F.
20. b) Seulement A et D : A (z = 0) et D (x − y + z = 0) sont définis par des équations linéaires homogènes. B ne contient pas (0, 0, 0) ; C n'est pas stable par addition : (1, 1, 1) ∈ C mais (2, 2, 2) ∉ C (4 − 2 ≠ 0).
21. a) dim W = 1 : y = 2x et z = x + y = 3x, donc W = Vect{(1, 2, 3)}.
22. (Question 22, énoncé en tête de la page 4.) Réponse probable : a) (I) et (III). B = (I − A)(I + A) = I − A², et A·B = A − A³ = I, donc B⁻¹ = A : (I) est vraie. (III) est la formule (XY)⁻¹ = Y⁻¹X⁻¹, vraie. Remarque : I − A et I + A commutent (ce sont des polynômes en A), leurs inverses aussi, donc (II) est également exacte ; la proposition a) est celle qui est attendue.
23. c) I_n + B(I_n − AB)⁻¹A : vérification : (I − BA)(I + B(I − AB)⁻¹A) = I − BA + B(I − AB)(I − AB)⁻¹A = I − BA + BA = I.

Intégrales (24 et 25)

24. b) est FAUSSE : g décroissante ⇒ g' ≤ 0, donc G'(x) = x g'(x) ≤ 0 : G est décroissante, pas croissante. a) est vraie (intégrande t g'(t) ≤ 0) et c) aussi (intégration par parties : ∫₀^xt g'(t)dt = x g(x) − ∫₀^xg(t)dt).
25. b) ln|tan x + 1/cos x| + K : la dérivée de tan x + 1/cos x est 1/cos²x + sin x/cos²x = (1 + sin x)/cos²x, et (1 + sin x)/cos²x ÷ (tan x + 1/cos x) = (1 + sin x)/cos²x × cos x/(sin x + 1) = 1/cos x.