Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSAT) 2007 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 25 juillet 2007. QCM de 25 questions, une seule réponse juste par question. Barème : +1 par réponse juste, −1 par réponse fausse, 0 sans réponse. Voici une correction proposée, avec la numérotation du sujet.

💡 Avant de commencer : avec −1 par erreur, une réponse au hasard ne rapporte rien en moyenne et peut coûter cher. Les formules de sommes (Σk, Σk², Σk³) et les équivalents usuels font gagner plusieurs points en quelques secondes : apprenez-les par cœur.

Sommes, suites et limites (1 à 11)

1. a) n(n + 1)/2 : somme des n premiers entiers (on écrit S deux fois, dans les deux sens : 2S = n(n + 1)).
2. b) n(n + 1)(2n + 1)/6 : formule classique (contrôle : n = 2 donne 1 + 4 = 5 = 2·3·5/6).
3. b) n²(n + 1)²/4 : Σk³ = (Σk)² (contrôle : n = 2 donne 1 + 8 = 9 = 4·9/4).
4. b) e : n ln(1 + 1/n) → 1, donc (1 + 1/n)ⁿ → e.
5. c) −1/e : cos(1/n) = 1 − 1/(2n²) + o(1/n²) et ln(e + 1/n) = 1 + ln(1 + 1/(en)) = 1 + 1/(en) + o(1/n). La différence vaut −1/(en) + o(1/n) ; multipliée par n, elle tend vers −1/e.
6. c) u_n diverge : (−1)ⁿ vaut alternativement 1 et −1.
7. b) 0 : |sin n/n| ≤ 1/n → 0.
8. b) 0 : chacun des n termes est compris entre 1/(n² + n) et 1/(n² + 1), donc n/(n² + n) ≤ S_n ≤ n/(n² + 1), et les deux bornes → 0.
9. b) 0 : |cos x sin(1/x²)| ≤ |sin(1/x²)| ≤ 1/x² → 0.
10. b) 0 : |sin x sin(1/x)| ≤ |sin(1/x)| ≤ 1/x → 0 quand x → +∞.
11. c) e⁻² : (1/x)[ln(1 − x + x²) − ln(1 + x + x²)] = (1/x)(−2x + o(x)) → −2.

Intégrales (12 à 16)

12. a) π/2 − 1 : par parties, ∫x cos x dx = x sin x + cos x ; entre 0 et π/2 : (π/2 + 0) − (0 + 1) = π/2 − 1.
13. b) π − 2 : par parties, ∫₀^π/2x² sin x dx = [−x² cos x]₀^π/2 + 2∫₀^π/2x cos x dx = 0 + 2(π/2 − 1) = π − 2.
14. a) 2 ln 2 − 1 : [x ln x − x]₁² = (2 ln 2 − 2) − (0 − 1) = 2 ln 2 − 1.
15. b) (5√5 − 3√3)/3, avec une coquille dans l'énoncé : √(2x − 3) n'est pas définie sur [0, 1] (2x − 3 < 0). Les propositions correspondent à ∫₀¹√(2x + 3)dx = [(2x + 3)^3/2/3]₀¹ = (5√5 − 3√3)/3.
16. b) ∫_−a^af = 2∫₀^af : avec t = −u, ∫_−a⁰f(t)dt = ∫₀^af(u)du pour f paire. (a) est vraie pour f impaire.)

Nombres complexes (17 à 20)

17. a) α = |a + b + c| : comme |a| = 1, 1/a = ā (de même pour b, c). Alors ab + bc + ca = abc(1/c + 1/a + 1/b) = abc·(ā + b̄ + c̄), d'où |ab + bc + ca| = |abc|·|conj(a + b + c)| = |a + b + c|.
18. a) α ≥ 1 : inégalité triangulaire : |1 + a| + |a + b| + |b + c| + |c| ≥ |(1 + a) − (a + b) + (b + c) − c| = |1| = 1.
19. b) |z| = |cotan(θ/2)| : 1 + cos θ + i sin θ = 2cos(θ/2)e^iθ/2 et 1 − cos θ − i sin θ = −2i sin(θ/2)e^iθ/2, d'où |z| = |cos(θ/2)|/|sin(θ/2)| (θ ∉ 2πℤ).
20. a) s = Re((1 + i√3)ⁿ) : (1 + i√3)ⁿ = Σ C_n^k(i√3)^k ; les termes réels sont ceux d'indice pair k = 2p, qui valent C_n^2p(i√3)^2p = C_n^2p(−3)^p. Remarque : (1 − i√3)ⁿ est le conjugué de (1 + i√3)ⁿ, donc il a la même partie réelle ; b) est donc aussi exacte, a) est la réponse attendue par la construction.

Algèbre linéaire (21 à 25)

21. c) 2 : tout z s'écrit x·1 + y·i (x, y réels) de façon unique ; (1, i) est une base de ℂ sur ℝ.
22. b) 1 : sur ℂ, tout z s'écrit z·1 ; (1) est une base.
23. a) dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G) : formule de Grassmann. b) n'est vraie que si F ∩ G = {0}.
24. a) A²⁰⁰² = −I : A² = [[−1, 0], [0, −1]] = −I (A est la matrice de la rotation d'angle π/2), donc A⁴ = I. 2002 = 4 × 500 + 2, d'où A²⁰⁰² = A² = −I.
25. c) A²⁰⁰⁵ = A : A² = [[−2, −1, 0], [3, 1, 0], [−4, −2, 1]] et A³ = A²·A = I (calcul ligne par colonne, par exemple première ligne : (−2·1 − 1·(−3), −2·1 − 1·(−2), 0) = (1, 0, 0)). 2005 = 3 × 668 + 1, d'où A²⁰⁰⁵ = A.