Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSAT) 2005 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger, session du 27 juillet 2005. QCM à trois propositions, calculatrice non autorisée. Les questions sont numérotées de 26 à 50 (25 questions) ; la durée et le barème ne figurent pas sur ces deux pages. Voici une correction proposée, avec la numérotation du sujet.

💡 Avant de commencer : deux questions (38 et 48) n'ont aucune bonne réponse telle qu'elles sont imprimées. Le jour du concours, faites le calcul, constatez l'écart, et ne cochez pas au hasard si les réponses fausses sont pénalisées.

Suites, sommes et limites (26 à 37)

26. c) n'existe pas : (−1)ⁿ⁺¹ vaut alternativement 1 et −1 ; la proposition a) décrit la suite, pas une limite.
27. a) −1/3 : S_n = Σ_k=1ⁿ(−1/2)^k → (−1/2)/(1 − (−1/2)) = (−1/2)/(3/2) = −1/3.
28. b) 0 : 2ⁿ⁺² → +∞, donc 1/2ⁿ⁺² → 0.
29. c) 2ⁿ : binôme de Newton, Σ C_n^p = (1 + 1)ⁿ.
30. c) 0 : Σ(−1)^pC_n^p = (1 − 1)ⁿ = 0 (pour n ≥ 1).
31. a) 1/8 : f'(x) = 3x² − 6x + 8 > 0 (discriminant 36 − 96 < 0), f est bijective. f(x) = 5 ⇔ x(x² − 3x + 8) = 0 ⇔ x = 0. Donc g'(5) = 1/f'(0) = 1/8.
32. c) log₅2 : avec y = 5^x > 0 : 3y = 2(y² − 1) ⇔ 2y² − 3y − 2 = 0 ⇔ y = 2 ou y = −1/2 (rejeté). 5^x = 2 ⇔ x = log₅2.
33. b) (x³ − 2)/4 : y = ∛(4x + 2) ⇔ y³ = 4x + 2 ⇔ x = (y³ − 2)/4.
34. b) e : (1/x)ln(1 + x) → 1, donc (1 + x)^1/x → e.
35. b) 0 : la fonction sin x/x est continue et bornée près de π/4, et l'intervalle d'intégration a une longueur h → 0, donc l'intégrale → 0. Attention au piège : a) 2√2/π = sin(π/4)/(π/4) serait la limite de (1/h)∫, qui n'est pas écrit ici.
36. c) 3/2 : tg 3x ~ 3x, donc tg 3x/(2x) → 3/2.
37. b) −∞ : cotg x ~ 1/x, donc cotg x/ln x ~ 1/(x ln x) ; or x ln x → 0 par valeurs négatives quand x → 0⁺.

Intégrales (38 à 41)

38. Aucune proposition ne convient telle que la question est imprimée. Par parties : ∫x ln x dx = (x²/2)ln x − x²/4 + K. Les propositions correspondent à d'autres intégrandes : c) ln²x/2 + K est la primitive de (ln x)/x (forme u'u), b) ln(ln x) + K celle de 1/(x ln x). Réponse probable : c), si l'énoncé voulu était ∫(ln x)/x dx.
39. c) 4 : par parties, ∫₀^k x e^−x/2dx = [−2x e^−x/2]₀^k + 2∫₀^k e^−x/2dx = −2k e^−k/2 + 4(1 − e^−k/2) → 4.
40. c) F'(x) = f(x) : théorème fondamental : f continue ⇒ F(x) = ∫_a^xf(t)dt est la primitive de f qui s'annule en a.
41. a) 2t/(1 + t⁴) : f(t) = arctan(t²), donc f'(t) = 2t/(1 + (t²)²) = 2t/(1 + t⁴). (b donne f elle-même, pas sa dérivée.)

Fonctions, algèbre linéaire, suites (42 à 47)

42. b) 0 : le numérateur vaut ±1 et le dénominateur ≥ √(n+1) − 1 → +∞.
43. a) y = 1/2 est une asymptote pour f : pour x ≥ 0, f(x) = x ; pour x < 0, f(x) = x/(2x + 1), qui tend vers 1/2 en −∞. Le dénominateur s'annule en x = −1/2 (et non 1/2), donc b) et c) sont fausses.
44. a) {(1, −1)} : E = {(x, −x)} est la droite engendrée par (1, −1) ; dim E = 1. b) n'est pas dans E, c) est une famille liée.
45. b) 2 : F = {(x, y, −x)} = Vect{(1, 0, −1), (0, 1, 0)}, deux vecteurs libres (F est le noyau d'une forme linéaire non nulle de ℝ³).
46. b) (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ : (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A·I·A⁻¹ = I. Cela suppose A et B inversibles ; a) est fausse en général (le produit matriciel n'est pas commutatif) et c) aussi.
47. c) 0 : par récurrence u_n ≤ kⁿu₀, avec 0 ≤ k < 1, donc 0 < u_n ≤ kⁿu₀ → 0.

Intégrales (48 à 50)

48. Aucune proposition ne convient avec les bornes lisibles sur le scan (−1 et 1). t² + 2t + 5 = (t + 1)² + 4, d'où une primitive ½ arctan((t + 1)/2). Entre −1 et 1 : ½(arctan 1 − arctan 0) = π/8, qui ne figure pas parmi les propositions (on obtiendrait a) π/4 avec les bornes −3 et 1). Retenez la méthode : forme canonique puis arctan.
49. a) −3π : en dérivant, f(x) = sin πx + πx cos πx, donc f(3) = sin 3π + 3π cos 3π = 0 − 3π.
50. b) π/3 : ∫₁² dx/√(4 − x²) = [arcsin(x/2)]₁² = π/2 − π/6 = π/3.