Modèle de concours d'accès à l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (ENSAT) 2004 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de mathématiques du concours d'entrée en 1^re année du cycle préparatoire de l'École Nationale des Sciences Appliquées de Tanger (Université Abdelmalek Essaâdi), session du 27 juillet 2004. QCM de 24 questions, une seule réponse juste par question, calculatrice non autorisée. Barème : +1 par réponse juste, −1 par réponse fausse, 0 sans réponse. Voici une correction proposée, avec la numérotation du sujet.

💡 Avant de commencer : une réponse fausse coûte un point. Ne cochez que ce que vous avez vérifié par un calcul ou un argument. Pour les limites, les équivalents usuels (sin x ~ x, 1 − cos x ~ x²/2, e^x − 1 ~ x, tan x ~ x) suffisent presque toujours.

Suites et limites (1 à 9)

1. b) convergente : |(−1)ⁿ/n| = 1/n → 0, donc la suite tend vers 0.
2. a) 0 : √(n+1) − √n = 1/(√(n+1) + √n) → 0.
3. a) bornée : toute suite convergente est bornée ; elle n'est pas forcément monotone (exemple (−1)ⁿ/n).
4. b) 1/2 : S_n = (1/3)·(1 − (1/3)ⁿ)/(1 − 1/3) → (1/3)/(2/3) = 1/2.
5. b) convergente : théorème de la limite monotone (croissante et majorée ⇒ convergente).
6. a) l : critère de Cauchy-d'Alembert : si u_n+1/u_n → l (u_n > 0), alors u_n^1/n → l.
7. c) e⁻² : (1/x)[ln(1 − x + x²) − ln(1 + x + x²)] = (1/x)(−2x + o(x)) → −2, donc la limite vaut e⁻².
8. b) 1/8 : 1 − cos x ~ x²/2 et x(2 − x)tan 2x ~ x·2·2x = 4x², d'où (x²/2)/(4x²) = 1/8.
9. b) −1 : (1 − e^x) ~ −x, sin x ~ x, x² + x³ ~ x², d'où (−x·x)/x² = −1.

Fonctions et nombres réels (10 à 14)

10. b) continue : dérivable en un point ⇒ continue en ce point. La réciproque est fausse, et x ↦ x est dérivable sans être bornée.
11. b) une infinité de rationnels : ℚ est dense dans ℝ ; entre a et b on trouve un rationnel r, puis un autre entre a et r, etc.
12. Réponse probable : a) f(x) = f(1). Pour x > 0, f(x) = f(x^1/2) = … = f(x^1/2n) → f(1) par continuité, car x^1/2n → 1. Pour x < 0, f(x) = f(x²) = f(1). En 0, la continuité donne f(0) = f(1). Donc f est constante et vaut f(1). Remarque : f étant constante, b) et c) sont aussi vraies ; la réponse attendue est celle qui sort de la démonstration, a).
13. a) f = 0 sur ℝ : tout réel x est limite d'une suite de rationnels r_n, et f(x) = lim f(r_n) = 0. (c, « f = 0 sur ℝ* », est contenue dans a ; b est fausse.)
14. a) f est dérivable sur ℝ : sur ℝ*, c'est un produit et une composée de fonctions dérivables ; en 0, (f(x) − f(0))/x = x sin(1/x), et |x sin(1/x)| ≤ |x| → 0, donc f'(0) = 0. (b et c sont des conséquences de a.)

Intégrales (15 à 20)

15. b) π/2 + ln 2 − 2 : par parties, ∫₀¹ ln(1 + x²)dx = [x ln(1 + x²)]₀¹ − ∫₀¹ 2x²/(1 + x²)dx = ln 2 − 2∫₀¹(1 − 1/(1 + x²))dx = ln 2 − 2(1 − π/4) = π/2 + ln 2 − 2.
16. a) π/2 : avec u = cos x, du = −sin x dx : ∫₀^π sin x/(1 + cos²x)dx = ∫₋₁¹ du/(1 + u²) = [arctan u]₋₁¹ = π/4 + π/4 = π/2.
17. b) ½[(ln 2)² − (ln 3)²] : la dérivée de ln(x/(x + 1)) = ln x − ln(x + 1) est 1/x − 1/(x + 1) = 1/(x(x + 1)). L'intégrande est donc u'·u avec u = ln(x/(x + 1)), de primitive u²/2. Entre ½ et 1 : ½[ln²(1/2) − ln²(1/3)] = ½[(ln 2)² − (ln 3)²]. Les bornes sont peu lisibles sur le scan ; ½ et 1 est la seule lecture qui donne l'une des propositions.
18. b) 2 : deux intégrations par parties donnent ∫₀^k x²e^−xdx = 2 − (k² + 2k + 2)e^−k → 2.
19. a) ln((e + e⁻¹)/2) : l'intégrande est u'/u avec u = e^x + e^−x, d'où [ln(e^x + e^−x)]₀¹ = ln(e + e⁻¹) − ln 2.
20. b) π/4 : c'est l'aire d'un quart de disque de rayon 1 (ou x = sin t : ∫₀^π/2 cos²t dt = π/4).

Nombres complexes (21 à 24)

21. b) Im(z₂) = 4 Re(z₁) : Δ = (1 + 5i)² + 16(1 − i) = −24 + 10i + 16 − 16i = −8 − 6i = (1 − 3i)². z = [(1 + 5i) ± (1 − 3i)]/4, soit z₁ = (1 + i)/2 et z₂ = 2i. Alors Im(z₂) = 2 = 4 × ½ = 4 Re(z₁). (Contrôle : z₁z₂ = i − 1 = −(1 − i), conforme au produit des racines.)
22. a) 2⁹(1 − i√3) : 1 + i√3 = 2e^iπ/3 et 1 − i = √2 e^−iπ/4, donc le quotient vaut √2 e^i7π/12. À la puissance 20 : 2¹⁰ e^i35π/3 = 2¹⁰ e^−iπ/3 = 2¹⁰(½ − i√3/2) = 2⁹(1 − i√3).
23. b) {[1, θ/2] ; [1, −θ/2] ; [1, θ/2 + π] ; [1, π − θ/2]} : en posant Z = z², Z² − 2Z cos θ + 1 = 0 donne Z = e^iθ ou e^−iθ, donc z = ±e^iθ/2 ou ±e^−iθ/2 : quatre racines de module 1 et d'arguments θ/2, θ/2 + π, −θ/2, π − θ/2.
24. a) |cotan(θ/2)| : 1 + cos θ + i sin θ = 2cos(θ/2)e^iθ/2 et 1 − cos θ − i sin θ = 2 sin(θ/2)(sin(θ/2) − i cos(θ/2)) = −2i sin(θ/2)e^iθ/2. D'où |z| = |cos(θ/2)|/|sin(θ/2)| = |cotan(θ/2)| (θ ∉ 2πℤ garantit sin(θ/2) ≠ 0).