Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2019 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA du Maroc 2019 (le sujet indique que le concours 2019-2020 s'est déroulé le 23 juillet 2019). Durée : 1 h 30. Elle compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : suites, intégrales, trigonométrie, probabilités, complexes et produits télescopiques. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.

💡 Méthode : quand une formule générale est proposée (Q1, Q16, Q18), testez-la sur n = 0 ou n = 1 avant tout calcul : c'est souvent le moyen le plus rapide d'éliminer trois propositions. Et si aucune proposition ne correspond à un calcul vérifié, ne forcez pas : passez à la question suivante.

Suites et intégrales (Q1 à Q7)

1. Q1 → A) (an + b)/(bn + a). En calculant v_n+1 − v_n, on trouve la raison r = b²/(b² − a²), et v₀ = b/(b²/a − a) = ab/(b² − a²). Donc v_n = b(a + nb)/(b² − a²) et u_n = (a + b/v_n)/b = (an + b)/(bn + a). Contrôle : n = 0 donne b/a = u₀, et n = 1 donne 1, valeur obtenue avec la relation de récurrence.
2. Q2 → B) I = [1/3, 1[. Pour 1 ≤ k ≤ n : 1/(3n) ≤ 1/(2k + n) ≤ 1/(n + 2). La somme de n termes est donc comprise entre 1/3 et n/(n + 2) < 1.
3. Q3 → C) ln(√3). Somme de Riemann : u_n = (1/n)Σ1/(1 + 2k/n) → ∫₀¹dx/(1 + 2x) = ½ln 3 = ln √3 ≈ 0,549.
4. Q4 → D) ln((3 + √5)/2) + √5/2. Par parties : I = [x√(4 + x²)]₀¹ − ∫x²/√(4 + x²)dx = √5 − I + 4∫dx/√(4 + x²). Donc 2I = √5 + 4[ln(x + √(4 + x²))]₀¹ = √5 + 4ln((1 + √5)/2), et I = √5/2 + 2ln((1 + √5)/2) = √5/2 + ln((3 + √5)/2), car ((1 + √5)/2)² = (3 + √5)/2.
5. Q5 → D) x = kπ/6. cos⁴u + sin⁴u = 1 − 2sin²u·cos²u = 1 − ½sin²(2u). L'équation équivaut à sin(6x) = 0, soit 6x = kπ.
6. Q6 → B) λ = 1. Avec p = ((7 + 3√5)/2)^1/4 et q = ((7 − 3√5)/2)^1/4 : pq = ((49 − 45)/4)^1/4 = 1 et p⁴ + q⁴ = 7. Alors (p² + q²)² = 7 + 2 = 9, p² + q² = 3, et λ² = p² + q² − 2pq = 1. Comme p > q, λ = 1 (et λ⁴ = 1).
7. Q7 → D) πa²/4. C'est l'aire d'un quart de disque de rayon a (ou x = a·sin t : a²∫₀^π/2cos²t dt = πa²/4).

Probabilités (Q8 à Q10)

8. Q8 → C) 5/216. Racine double ⇔ b² = 4ac. b = 2 : ac = 1 → (1,1). b = 4 : ac = 4 → (1,4), (2,2), (4,1). b = 6 : ac = 9 → (3,3). b impair impossible. 5 cas sur 6³ = 216.
9. Q9 → aucune proposition ne correspond. Avec 4 jaunes, 3 rouges et 3 bleues (10 boules) et deux tirages sans remise : P(2^e rouge) = (3/10)(2/9) + (7/10)(3/9) = 6/90 + 21/90 = 27/90 = 3/10 (par symétrie, chaque tirage a la même loi que le premier). La valeur 27/90 n'est pas parmi les propositions (17/90, 15/90, 19/90, 13/90) : l'énoncé tel qu'imprimé et les propositions ne concordent pas.
10. Q10 → aucune proposition ne correspond. Si la première boule est jaune, il reste 9 boules dont 3 rouges : P(2^e rouge | 1^re jaune) = 3/9 = 1/3. Les propositions ont toutes le dénominateur 17 et ne peuvent pas provenir de cette urne (même l'inverse, P(1^re jaune | 2^e rouge) = 12/27 = 4/9, ne figure pas).

Complexes et trigonométrie (Q11 à Q15)

11. Q11 → A) 3π/8. z = (√2 − 1) + i a une partie réelle positive et tan(arg z) = 1/(√2 − 1) = √2 + 1 = tan(3π/8) (car tan(π/8) = √2 − 1).
12. Q12 → B) −√(2 − √2)/2. |z|² = (√2 − 1)² + 1 = 4 − 2√2, donc cos(3π/8) = (√2 − 1)/√(4 − 2√2) = √(2 − √2)/2 ; et cos(5π/8) = −cos(3π/8).
13. Q13 → C) 1/4. a·sin(π/5) = ½sin(2π/5)cos(2π/5) = ¼sin(4π/5) = ¼sin(π/5), d'où a = 1/4.
14. Q14 → B) √5/4. cos(π/5) = (1 + √5)/4 et cos(2π/5) = (√5 − 1)/4 (leur produit vaut bien 1/4 et leur différence 1/2). b² = (1 − cos²(π/5))(1 − cos²(2π/5)) = [(10 − 2√5)/16][(10 + 2√5)/16] = 80/256 = 5/16, et b > 0.
15. Q15 → B) un cercle. AM − 4BM = AM − 4(AM − AB) = −3AM + 4AB. La condition s'écrit AM·(AM − (4/3)AB) = 0, c'est-à-dire MA·MP = 0 avec P défini par AP = (4/3)AB : c'est le cercle de diamètre [AP].

Produits, arithmétique et suite implicite (Q16 à Q20)

16. Q16 → D) (3n + 6)/(n + 4). (k² + 5k + 6)/(k² + 5k + 4) = [(k + 2)/(k + 1)] × [(k + 3)/(k + 4)]. Les deux produits télescopent : Π_k=0ⁿ(k + 2)/(k + 1) = n + 2 et Π_k=0ⁿ(k + 3)/(k + 4) = 3/(n + 4). Donc u_n = 3(n + 2)/(n + 4).
17. Q17 → D) 7. Le chiffre des unités de 23ⁿ est celui de 3ⁿ, qui suit le cycle 3, 9, 7, 1. 2019 = 4 × 504 + 3 : chiffre 7.
18. Q18 → réponse probable : A. Avec x = e : (x − x⁻¹)(x + x⁻¹)(x² + x⁻²)…(x²ⁿ + x⁻²ⁿ) = x²ⁿ⁺¹ − x⁻²ⁿ⁺¹. Le produit imprimé commence à k = 1 (premier facteur e² + e⁻²), ce qui donne exactement (e²ⁿ⁺¹ − e⁻²ⁿ⁺¹)/(e² − e⁻²), dénominateur absent des propositions. La proposition A est la valeur exacte du produit pris à partir de k = 0 (facteur e + e⁻¹ inclus) ; c'est vraisemblablement la réponse attendue.
19. Q19 → B) décroissante. f_n est strictement croissante sur [0, +∞[ avec f_n(0) = −2 < 0 : u_n existe et est unique. f_n+1(u_n) = f_n(u_n) + u_n² = u_n² > 0 = f_n+1(u_n+1), donc u_n+1 < u_n.
20. Q20 → B) 0. n·u_n² = 3 − e^u_n ≤ 2, donc 0 ≤ u_n ≤ √(2/n) → 0.

Grille des réponses