Modèle de concours d'accès aux Écoles Nationales des Sciences Appliquées (ENSA Maroc) 2018 — Épreuve : Mathématiques

Ce modèle est l'épreuve de Mathématiques du concours d'accès en 1^re année des ENSA Maroc, session de juillet 2018. Durée : 1 h 30 ; calculatrices, téléphones et documents non autorisés. Elle compte 20 questions à choix multiples (A, B, C ou D) : suites, limites, fonctions, intégrales, géométrie dans un cube et loi binomiale. Voici une correction proposée, avec la justification de chaque réponse.

💡 Méthode : dans l'exercice du cube, placez tout de suite les coordonnées des 8 sommets dans le repère (A, AB, AD, AE) ; ensuite chaque question (vecteur, droite, plan, intersection) n'est plus qu'un calcul de deux lignes.

Suites, limites et fonctions (Q1 à Q8)

1. Q1 → D) 2. Théorème de Cesàro : u_n − u₀ = Σ(u_k+1 − u_k), et la moyenne de termes qui tendent vers 2 tend vers 2, donc u_n/n → 2.
2. Q2 → A) 0. |sin²n − cos³n| ≤ 2 : le quotient est majoré en valeur absolue par 2/n → 0.
3. Q3 → B) 0. Avec t = ln x → 0⁺ : t·ln t → 0 (croissances comparées).
4. Q4 → A) u_2n − u_n ≥ 1/2. u_2n − u_n = Σ_k=n+1²ⁿ1/k comporte n termes tous ≥ 1/(2n), donc la somme est ≥ n × 1/(2n) = 1/2.
5. Q5 → A) u_2¹⁰ ≥ 6. u_2¹⁰ = u₁ + Σ_j=1¹⁰(u_2^j − u_2^j−1) ≥ 1 + 10 × 1/2 = 6 d'après Q4 (la valeur réelle est ≈ 7,5).
6. Q6 → B) 1/√(1 + x²). θ = Arctan x ∈ ]−π/2, π/2[, donc cos θ > 0 et 1 + tan²θ = 1/cos²θ donnent cos θ = 1/√(1 + x²).
7. Q7 → A) constante. f(x) = f(x/2) = … = f(x/2ⁿ) → f(0) par continuité en 0 : f(x) = f(0) pour tout x.
8. Q8 → D) f(a) − a·f'(a). x·f(a) − a·f(x) = (x − a)f(a) − a(f(x) − f(a)), donc le quotient vaut f(a) − a·(f(x) − f(a))/(x − a) → f(a) − a·f'(a).

Intégrales (Q9 et Q10)

9. Q9 → C) π/4 − 2/3. x⁴/(x² + 1) = x² − 1 + 1/(x² + 1) : 1/3 − 1 + π/4 = π/4 − 2/3.
10. Q10 → C) 2(√3·ln 2 − π/9). Intégration par parties : [(x³/3)ln(x² + 1)]₀^√3 − (2/3)∫x⁴/(x² + 1)dx = √3·ln 4 − (2/3)[x³/3 − x + Arctan x]₀^√3 = 2√3·ln 2 − (2/3)(√3 − √3 + π/3) = 2√3·ln 2 − 2π/9.

Exercice 1 — Le cube ABCDEFGH (Q11 à Q16)

Coordonnées : A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1). Milieux : I(1/2, 0, 0), J(0, 1/2, 1), K(1, 1/2, 0).

11. Q11 → C) (−1, 1, −1). FD = D − F = (0 − 1, 1 − 0, 0 − 1).
12. Q12 → C) x = −t, y = t + 1, z = −t. Pour t = 0 on obtient D(0, 1, 0), et le vecteur directeur (−1, 1, −1) est FD (pour t = −1 on retrouve F). A et D (identiques) ont pour direction (1, 1, −1), B a (−1, −1, −1).
13. Q13 → A) orthogonale au plan (IJK). IJ = (−1/2, 1/2, 1) et IK = (1/2, 1/2, 0). FD·IJ = 1/2 + 1/2 − 1 = 0 et FD·IK = −1/2 + 1/2 + 0 = 0 : FD est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
14. Q14 → B) a = 1, b = −1, c = 1, d = −1/2. Le plan a pour vecteur normal (1, −1, 1) : x − y + z + d = 0, et I donne 1/2 + d = 0. Vérification : J : 0 − 1/2 + 1 − 1/2 = 0 ; K : 1 − 1/2 + 0 − 1/2 = 0.
15. Q15 → A) (1/2, 1/2, 1/2). On reporte (−t, t + 1, −t) dans l'équation : −t − t − 1 − t − 1/2 = 0, soit t = −1/2, d'où M(1/2, 1/2, 1/2), centre du cube.
16. Q16 → D) rectangle en I. IJ² = 1/4 + 1/4 + 1 = 3/2, IK² = 1/4 + 1/4 = 1/2, JK² = 1 + 0 + 1 = 2 = IJ² + IK² (Pythagore) ; c'est aussi IJ·IK = −1/4 + 1/4 + 0 = 0.

Exercice 2 — Répondre au hasard à un QCM (Q17 à Q20)

17. Q17 → D) 4²⁰. 4 choix indépendants pour chacune des 20 questions.
18. Q18 → A) 3²⁰/4²⁰. Chaque réponse est fausse avec probabilité 3/4, indépendamment : (3/4)²⁰.
19. Q19 → B) C(20, n)·3²⁰⁻ⁿ/4²⁰. Loi binomiale de paramètres 20 et 1/4 : C(20, n)(1/4)ⁿ(3/4)²⁰⁻ⁿ = C(20, n)·3²⁰⁻ⁿ/4²⁰.
20. Q20 → A) Σ_n=6²⁰C(20, n)·3²⁰⁻ⁿ/4²⁰. « Au moins 6 » : on additionne P(A_n) pour n allant de 6 à 20.

Grille des réponses